2023-2024学年安徽省宿州市泗县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省宿州市泗县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的平方根是( )
A. B. C. D.
2.点关于轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知一组数据：，，，，这组数据的中位数和众数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.下列命题，是真命题的是( )
A. 直角三角形的一个内角为，则另外一个锐角为
B. 如果，那么
C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D. 如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是或
6.如图，已知，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.我国古典数学文献增删算法统宗六均输中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里数羊，如果乙给甲只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙只羊，则两人的羊数相同，设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，可列方程组为( )
A. B.
C. D.
9.如图，，于点，为钝角，的平分线与的平分线交于点，则的度数为( )
A.
B.
C.
D. 无法确定
10.甲、乙两车从城出发匀速行驶至城在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离千米与甲车行驶的时间小时之间的函数关系如图所示则下列结论：
，两城相距千米；
乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；
乙车出发后小时追上甲车；
当甲、乙两车相距千米时，或．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.的立方根是______．
12.已知，为二元一次方程组的解，则 ______．
13.平面内点到轴的距离是______．
14.如图，由四个边长为的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是______．
15.如图，平面直角坐标系内，动点第次从点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的规律，第次运动到点的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
17.本小题分
解方程组：
；
．
18.本小题分
完成下面证明：
如图，平分，求证．
证明：平分
______
．
______．
______
19.本小题分
如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线．
作出关于直线的轴对称图形；
在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为______，______结果用含，的式子表示．
20.本小题分
某校学生会向全校名学生发起了“爱心一日捐”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了统计图如图所示请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受随机抽样调查的学生人数为______图中的值是______；
求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为元的学生人数．
21.本小题分
放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒支，如果整盒买比单支买每支可优惠元．小贤要买支笔芯，本笔记本需花费元；小艺要买支笔芯，本笔记本需花费元．
求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
小贤和小艺都还想再买一件单价为元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，并分别与轴相交于点、．
求交点的坐标；
求的面积；
请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量的取值范围．
23.本小题分
学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．
【学有所用】如图，在等腰中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：；
【尝试提升】如图，在中，，是边上一点，使，过上一点，作，垂足为点，作，垂足为点，已知，，求的长．
【拓展迁移】如图，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的平方根是，
故选：．
根据平方根的定义即可求出答案．
本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质横坐标不变，纵坐标互为相反数进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、与不是同类二次根式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数为，众数为．
故选：．
根据中位数和众数的概念求解即可．
本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5.【答案】
【解析】解：直角三角形的一个内角为，
该直角三角形的另一个锐角为：，
选项A不正确，
即直角三角形的一个内角为，则另外一个锐角为是假命题；
，
或，
选项B不正确；
即如果，那么是假命题；
有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，
选项C不正确；
即有两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题；
的立方根为，的立方根为，
如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是或，
选项D正确．
即如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是或是真命题．
故选：．
根据直角三角形的一个内角为，另外一个锐角为可对选项A进行判断；根据如果，那么或可对选项B进行判断；根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等可对选项C进行判断；根据立方根的定义可对选项D进行判断，综上所述可得出答案．
此题主要考查了命题，直角三角形的性质，全等三角形的判定定理，有理数的乘法的意义，立方根的意义，熟练掌握直角三角形的性质，全等三角形的判定定理，理解有理数的乘法的意义，立方根的意义是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图：
，
，
，
，
，
，
故选：．
先利用平行线的性质可得，然后利用对顶角相等可得，，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、正比例函数图象经过第二、四象限，则所以，则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项符合题意；
B、正比例函数图象经过第二、四象限，则所以，则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项不符合题意；
C、正比例函数图象经过第一、三象限，则所以，则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项不符合题意；
D、正比例函数图象经过第一、三象限，则所以，则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项不符合题意；
故选：．
根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
8.【答案】
【解析】解：设甲有羊只，乙有羊只，
根据题意得：，
故选：．
根据乙给甲只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数乙的羊数；如果甲给乙只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9.【答案】
【解析】解：过点作，
，
，
，
，
，
于点，
，
，
的平分线与的平分线交于点，
，，
，
，
．
故选：．
过点作，利用平行线的性质与判定可求解，结合垂直的定义可求解，再利用角平分线的定义可得，最后由三角形的内角和定理可求解．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，构造平行线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知、两城市之间的距离为，
甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，
正确．
设甲车离开城的距离与的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开城的距离与的关系式为，
把和代入可得，
解得，
，
令，可得，解得，
即甲、乙两直线交点的横坐标为，
此时乙出发的时间为小时，即乙出发小时追上甲，
不正确．
令，可得，
即，解得或，
当时，，此时乙车还没出发，
当时，乙已到达城，，
综上可知，当的值为或或或时，两车相距，
不正确．
故选：．
先根据图象的出甲乙之间的距离与时间的关系即可解答．
本题考查一次函数的时间应用，理解图象是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：的立方根是．
故答案为：．
根据立方根的定义解答即可．
本题考查的是立方根，熟知如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，得，
则．
故答案为：．
两式相减即可得出答案．
本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练运用整体思想是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：点到轴的距离是：．
故答案为：．
根据点到轴的距离为点的横坐标的绝对值解答即可．
本题考查点的坐标．解题的关键是明确点到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以、为、的中点，
，
．
．
中边上的高是．
故答案为：．
求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高．
本题考查了勾股定理，直角三角形面积的计算，正方形各边相等的性质，本题中，正确的运用面积加减法计算结果是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题知，
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
，
由此可见，点的纵坐标每个循环一次，横坐标每隔个增加，
所以点的坐标可表示为．
令，
解得，
所以，
故点的坐标为．
故答案为：．
根据所给图形，得出点的坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据所给图形发现点坐标的变化规律是解题的关键．
16.【答案】解：
，
，，
原式．
【解析】先根据单项式乘以多项式和完全平方公式计算，再合并同类项，最后将，代入原式计算即可．
本题考查了整式的混合运算以及整式的化简求值，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．
17.【答案】解：方程组可化为，
得，，
解得；
把代入得，，
解得，
故方程组的解为；
原方程组可化为，
得，，
解得；
把代入得，，
解得，
故方程组的解为．
【解析】先用加减消元法求出的值，再用代入消元法求出的值即可；
先把方程组中的方程去分母，再用加减消元法或代入消元法求解即可．
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
18.【答案】解：角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】
此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
根据角平分线的性质得到，而，则得到，根据“内错角相等两直线平行”即可得到结论．
【解答】
证明：平分
角平分线的定义
．
．
内错角相等两直线平行．
故答案为：角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行．
19.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
点，
的坐标为．
故答案为：，．
根据轴对称的性质即可画出关于直线的轴对称图形，
根据轴对称的性质即可写出点关于直线的对称点的坐标．
本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
20.【答案】
【解析】解：调查的学生数是：人，
．
故答案为：，；
平均数是：元，众数是：元，中位数是：元；
该校本次活动捐款金额为元的学生人数大约有：人．
根据捐款数是元的，所占的百分比是，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得的值；
根据平均数、众数、中位数的定义即可求解；
利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：设笔记本的单价为元，单独购买一支笔芯的价格为元，
依题意，得：，
解得：．
答：笔记本的单价为元，单独购买一支笔芯的价格为元；
小贤和小艺带的总钱数为元．
两人合在一起购买所需费用为元．
元，元，，
他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设笔记本的单价为元，单独购买一支笔芯的价格为元，根据“小贤要买支笔芯，本笔记本需花费元；小艺要买支笔芯，本笔记本需花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
22.【答案】解：由，解得，
；
直线与直线中，令，则，，
解得与，
，，
，
；
如图所示：
自变量的取值范围是．
【解析】联立解析式，解方程组即可求得交点的坐标；
求得、的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
根据图象求解即可．
本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．
23.【答案】证明：连接，由题意得，，，
，
，
，
又，，
，
；
解：由知，；
解：由直线、的表达式知，点、、的坐标分别为：、、，
则，
则为等腰三角形；
当点在线段上时，
由知，，则，则，
则，
过点作轴的平行线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，
则：：：：；
当点在延长线上时，
由知，当点在延长线上时，同理可得：．
即，
则无解；
当点在延长线上时，
同理可得：，
即，
同理可得：：：；
综上，或．
【解析】根据即可证明；
由知，，即可求解；
当点在线段上时，由知，，则，则，进而求解；当点在延长线上时，同理可解．
此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的应用、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是相交添加常用辅助线，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．
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