2023-2024学年山东省泰安重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省泰安重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
2.直线和直线垂直，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知在等比数列中，，则的值是( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱台中，且，设，点在棱上，满足，若，则( )
A.
B.
C.
D.
5.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆，直线，圆上恰有个点到直线的距离等于，则圆与圆的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
7.已知圆：上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.数列满足，前项和为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知直线：，圆：，点为圆上的任意一点，下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆恒有两个公共点
C. 直线被圆截得最短弦长为
D. 当时，点到直线距离最大值是
11.设等差数列的前项和为，，且，则( )
A. 是等比数列
B. 是递增的等差数列
C. 当时，的最大值为
D. ，，
12.已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于，两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是( )
A. B. 的最小值为
C. ，，三点共线 D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为______．
14.已知正方体的所有棱长均为，为线段上的动点，则到平面的最大距离为______．
15.已知数列满足，，则的通项公式 ______．
16.设，是椭圆：左、右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，．
求，的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在长方体中，，，，点，分别为棱，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知动点与两个定点，的距离的比是．
求动点的轨迹的方程；
直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程．
20.本小题分
已知数列的前项和为，且，
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
21.本小题分
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
证明：平面；
若点在线段上异于点，，平面与平面的夹角为，求的值．
22.本小题分
已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为．
求双曲线的渐近线方程；
记双曲线的上、下顶点为，，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：准线方程为的抛物线的标准方程是：．
故选：．
利用抛物线的简单性质求解抛物线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
2.【答案】
【解析】解：由题意直线和直线垂直，
所以或，C正确．
故选：．
由直线垂直的充要条件列出方程求解参数即可．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，解得．
故选：．
利用等比数列的性质计算出答案．
本题考查了等比数列的性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
所以．
故选：．
直接利用向量的线性运算，即可求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意知：，
则有，，，，，
由累加可得，
即
．
故选：．
通过累加和等比数列的求和即可得答案．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，得，
则圆心，半径，
因为圆上个点到直线的距离是，
由直线，
则圆心到直线的距离，
故由题可知，则，
故圆的圆心为，半径是，
又圆的圆心为，半径是，
则，因为，所以两圆的位置关系是相交．
故选：．
结合图形，由圆上恰有个点到直线的距离等于得，即得圆的圆心与半径，再由圆心距与两半径和差的关系判断两圆位置关系即可，
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：双曲线，
，，
，，
，
设双曲线的右焦点为，则，
在双曲线的右支上，
，即，
圆：，
圆心，半径，在圆上，
，
则，
当，，三点共线且位于另两点之间时，取得最小值为，
此时，
的最小值为．
故选：．
根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：当为奇数时，，
可得，
则，
而，，，
则前项和为，
解得．
故选：．
分别讨论为奇数和偶数，由等差数列的求和公式求得，再令，，，可得前项中偶数项的和，计算可得所求首项．
本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项，，故A正确；
对于选项，因为，则、不共线，故B错误；
对于选项，，所以，，故C正确；
对于选项，，
，，
，
所以，故D正确．
故选：．
利用空间向量的坐标运算可判断选项；利用空间向量平行的坐标表示可判断选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断选项．
本题主要考查了空间向量的坐标运算，考查了空间向量平行的坐标表示，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，直线：，令，解得，
所以直线恒过定点，故A正确；
对于，因为直线定点，且，
所以定点在圆内，所以直线与圆恒有两个公共点，故B正确；
对于，当直线与过定点和圆心的直线垂直时直线被圆截得的弦长最短，
定点和圆心的距离为，所以最短弦长，故C错误；
对于，当时，直线：，圆心到直线的距离是，
所以点到直线的距离的最大值是，故D正确．
故选：．
利用直线系方程求得直线所过定点的坐标可判断；根据直线定点在圆内可判断；当直线与过定点和圆心的直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，求出弦心距，利用勾股定理可判断；转化为圆心到直线的距离可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
因为，所以，
又，所以，．
对于选项，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，故A正确．
对于选项，易知，
则，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
又，故是递减的等差数列，故B错误．
对丁选项，因为，
所以；
因为，所以，
故当时，的最大值为，故C错误．
对于选项，因为，，，
，
由基本不等式知，当且仅当时取等号，
所以，故D正确．
故选：．
根据等差数列的通项公式和求和公式及其性质，对于选项，当由为定值即可判断；对，，根据的正负即可判断单调性；对，，因为，所以即可得解；对，由结合基本不等式即可得解．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式及其性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：如图：
设直线：，联立方程组，
可得，且，则，不正确；
由，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，不正确；
设，：，联立，可得，且，
则，结合分析得，即直线过点，C正确；
由，
，D正确．
故选：．
设直线：联立抛物线，应用韦达定理判断；由，结合抛物线定义及基本不等式求最小值判断；设，：联立抛物线，应用韦达定理得，结合分析求参数判断；应用向量的坐标运算求判断．
本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查向量知识的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
则，
故边上的高所在直线的斜率为，
所求直线过点，
故边上的高所在直线的方程为，即．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，
设平面的法向量为，
则，
令得，，，
故，
故点到平面的距离为
，
故当时，取得最大值，最大值为．
故答案为：
建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，从而求出点到平面的距离，求出最大值．
本题考查点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：数列满足，，
，
故，当时，也满足．
故答案为：．
根据数列的递推关系式求出的表达式，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知：，，可得：，，
，可得，解得，
故答案为：．
利用椭圆的定义，结合已知条件以及勾股定理，推出离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，可得，，
即，，，
则，；
，可得，
则．
【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；
由等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，，
所以，，．
，又，平面，且，平面．
解：，，设平面的法向量为，
可得，取，
得，又，设直线与平面所成角为，
所以．
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量的数量积证明然后证明平面．
设平面的法向量为，设直线与平面所成角为，利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，属于中档题．
19.【答案】解：设点，
动点与两个定点，的距离的比是，
，即，
则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为；
由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是，不符合条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
此时直线的方程为或．
综上，直线的方程是或．
【解析】直接利用条件求出点的轨迹方程，结合圆的定义即可求解；
直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程．
本题主要考查了点的轨迹方程的求解，还考查了直线与圆位置关系的应用，属于中档题．
20.【答案】解：当时，由，得，
两式相减，得，
，，
当时，，，则．
数列是以为首项， 为公比的等比数列，
；
由得，
，
，
上面两式相减可得
，
化为．
【解析】利用数列的递推关系式判断数列是等比数列，然后求解通项公式；
由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的定义和通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：连接，
因为，，所以，
所以三角形是等腰直角三角形，而为斜边的中点，
所以，且，
因为，是的中点，
所以，
所以在中，，，，
所以，即，
又是的中点，，
则，又，面，，
所以平面；
解：由可知，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，即，
平面的一个法向量为，
所以，解得：或舍去，
所以，又，，
则，即，
所以．
【解析】利用勾股定理逆定理可以证明底面直角三角形的性质，结合侧棱相等，可以确定是底面的垂线，进而利用线面垂直的性质进行证明即可；
由已知可建立空间直角坐标系，转化为向量的运算即可求解．
本题考查空间位置关系的判定和空间向量的应用，属于中档题．
22.【答案】解：设双曲线方程为，由上顶点坐标可知，
则由可得，
双曲线的渐近线方程为；
由可得，，设，，
设直线的方程为，
由，得，
且，
则，
，
设，，
，
又，
得，
，
即，
化简得，
解得，所以直线过定点．

【解析】根据离心率和上顶点确定，，进而可得渐近线方程；
直线的方程为，与双曲线联立，利用韦达定理，结合，可得的值，进而可得定点．
本题考查双曲线的方程和性质，直线与双曲线的位置关系，属难题．
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