2023-2024学年江苏省盐城市东台市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市东台市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则下列选项正确是( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为年月日四川省汶川县发生里氏级地震，年月日甘肃积石山县发生里氏级地震，则汶川地震所散发出来的能量与积石山县地震所散发出来的能量的比值为( )
A. B. C. D.
4.函数，若，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
5.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则( )
A. B. C. D.
6.已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
8.已知，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.幂函数，，则下列结论正确的有( )
A. B. 函数在定义域内单调递减
C. D. 函数的值域为
10.狄利克雷是德国数学家，是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，于年提出函数是与之间的一种对应关系的现代观点，用其名字命名的“狄利克雷函数”为，则下列结论中正确的有( )
A. 是偶函数 B.
C. D.
11.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A. 的最小正周期为
B. 为偶函数
C. 在区间内的最小值为
D. 的图象关于直线对称
12.已知函数，则下列结论正确的有( )
A. ，
B. 函数有且仅有个零点
C. 方程有唯一解
D. 直线与的图象有个交点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算 ______．
14.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为______．
15.若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为______．
16.已知函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知．
化简函数；
若，求．
19.本小题分
某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求出函数的单调递减区间；
若在区间恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
国内某大型机械加工企业在过去的一个月内共计天，包括第天，其主营产品在第天的指导价为每件元，且满足，第天的日交易量万件的部分数据如下表：
第天
万件
给出以下两种函数模型：，，其中，为常数请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量万件的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式；
若该企业在未来一个月共计天，包括第天的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的．
21.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求实数的值并用定义证明函数在上单调递增；
若方程在内有解，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知非常值函数的定义域为，如果存在正实数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质．
判断下列函数是否具有性质？并说明理由；
；．
若函数具有性质，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，则，，均是集合中的元素，故B正确，，C错误，
又，故D错误．
故选：．
根据元素与集合间的关系可解．
本题考查元素与集合间的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由于，当时，则，
当时，则；
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
直接利用三角函数的值及充分条件和必要条件求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的值，充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则汶川县发生里氏级地震时，，甘肃积石山县发生里氏级地震时，，
所以，，，
所以．
故选：．
由已知结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数，且，
，
解得，
，，
，
．
故选：．
由可得，进而比较，和的大小关系即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，
由三角函数定义可知，即，
，解得或舍去．
故选：．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，以及三角函数的同角公式，即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式的应用，考查了方程思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，
当时，单调递增，且，
又，
或，即或，
解得或．
故选：．
依题意，可得当时，单调递增，且，或，分别解之后取并即可．
本题考查函数奇偶性的性质与应用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意的系数的应用，以及诱导公式的应用．
先根据诱导公式进行化简为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．
【解答】
解：，
函数的图象经过向右平移而得到函数的图象．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，
又由，则有，
设，，则，
，
设，，
易得，由于，则有，故在上递增，
故，
即，则的取值范围是．
故选：．
根据题意，分析可得且，设，，易得，设，，分析的单调性，可得的最小值，即可得答案．
本题考查对数的运算，涉及不等式的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，为幂函数，
则，解得或舍去，故A正确；
故，
的定义域为，值域为，故D正确，
，故函数在定义域内不单调，故B错误；
，，
则，故C错误．
故选：．
根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数；
，
，即是偶函数，A正确；
同理可得，，B正确；
，，
，C错误；
由得，，D正确．
故选：．
利用狄利克雷函数，对四个选项逐一判断可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由图知，的最小正周期为，选项A正确；
因为，，则，因为为在内的最小零点，则，得，
所以，从而不是偶函数，选项B错误；
因为，，结合图象得在区间内的最小值为，选项C正确；
因为，则为的零点，不是最值点，选项D错误．
故选：．
选项A，由图知的最小正周期为；
选项B，求出的解析式，从而不是偶函数；
选项C，计算和的值，判断在区间内的最小值为；
选项D，判断为的零点，不是最值点．
本题考查了函数的部分图象求解析式问题，也考查了函数思想和数形结合思想，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，
项，在中，作出函数图象如下图所示，
由上图可知，，故正确；
项，在中，当时，，
即与的交点，
作出函数图象如下，
可知函数有且仅有个零点，B正确；
项，在中，，
作出两函数的图象如下图所示，
两函数有个交点，方程有解，
方程不止有唯一解，故C错误；
项，
由图可知，直线与的图象有个交点，D正确．
故选：．
项，作出函数图象即可得出结论；项，将零点问题转化为与的交点，作出函数图象即可得出零点个数；项，根据函数得出函数的表达式，作出两函数图象即可得出方程的解的个数；项，作出直线与两函数图象即可得出交点个数．
本题考查了分段函数的应用，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
由已知结合指数幂的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知，弧的长为，弧的长为，
则，
，
，
该扇形的中心角的弧度数为．
故答案为：．
根据已知条件，先求出小圆弧的半径，再结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于任意的，，都有，
令，则，解得，
令，则，即，
令，则，，
，
又的定义域关于原点对称，则是奇函数，
，即，
．
故答案为：．
利用赋值法令，则，解得，，则，即，构造函数，则，，结合题意可得是奇函数，即，即可得出答案．
本题考查抽象函数问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和逻辑推理能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：令，
则方程等价为，
即．
由得当或时，只有一个根，
当时，有两个不同的根，
若，此时，
此时方程，得或，
当时，无解，此时方程在内只有一个解不满足条件．
若方程在内有两个不同的解，
等价为当时，有两个不同的交点，
即，
或者当时，有个交点，
时，，时，，
此时，
综上或．
故答案为：．
利用换元法设，方程等价为，根交点个数，确定中的取值范围，即可求出的范围．
本题考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数根的个数关系是解决本题的关键，考查转化思想和运算能力，属于难题．
17.【答案】解：，
时，，
；
，，
当时，；
当时，，即，
综上所述，．
【解析】解不等式求出集合，再根据交集的定义求；
由，得到，再根据集合间的包含关系列不等式即可．
本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：；
因为，则，
所以．
【解析】利用诱导公式化简即可；
由题意求得，化齐次式为求解
本题主要考查了诱导公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
19.【答案】解：由表格可知，，所以，
所以，，所以，，
由，得，
所以，
要求原函数的单调递减区间，只需，，
解得，，
的单调递减区间为
，，
，，
在区间恒成立，，
实数的取值范围是．
【解析】根据最低点的坐标求出的值，再利用最值点的横向距离求出周期，进而求出的值，然后结合复合函数同增异减求出的单调区间；
利用换元思想能求出实数的取值范围．
本题考查三角函数的据图求式，以及单调区间、最值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型是递增的指数型函数，
又模型为递减的反比型函数，故选择模型，
观察表格中的组数据，，，，
从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，
即，解得，，
可以检验，相对合理，
从而；
由可得，
当时，由基本不等式得，
当且仅当时取到最小值，
当时，，
由单调性的性质可得在上单调递减，
故在时，有最小值，最小值为万元，
又，
综上所述，当时取得最小值．
【解析】根据数据的变化得到选择模型，并选择中间两组数据，待定系数法求出，检验后得到答案；
求出的解析式，分和两种情况，结合函数单调性求出最小值，比较后得到结论．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
21.【答案】解：函数是上的奇函数，解得，
，经检验，为奇函数，符合题意；
在上单调递增，
证明：令，则，
，
即，在上单调递增；
由是上的奇函数，可化为，
由在上单调递增可得：，即，
，
，令，
当，即时，，当，即时，，
当时，，
实数的取值范围是．
【解析】由，可求得，利用定义证明函数在上单调递增即可；
由是上的奇函数，原式可化为，结合在上单调递增可得，配方可求得实数的取值范围．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：不具有性质，具有性质，理由如下：
假设具有性质，
即存在正数，使得恒成立，
则对恒成立，
，此时无解，
故假设不成立，所以不共有性质；
取，则，
即存在正数使对恒成立，
所以具有性质；
因为函数具有性质，
所以存在正数，使都有：
恒成立，
令，则对恒成立．
下证：
若，取，则，矛盾；
若，
取，则，矛盾；
所以；
即，
又因为当且仅当，时，
对恒成立，
因为，所以，
所以的最小值为．
【解析】根据函数新定义建立方程求解，即可判断函数是否具有性质；
由题意可知恒成立，令，则对恒成立，根据和分别得出矛盾，从而得，再根据余弦函数的周期性建立不等式求解即可．
本题属于新概念题，考查了正、余弦函数的性质，理解定义是关键，属于中档题．
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