2023-2024学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.正项等比数列，，则( )
A. B. C. D.
2.直线的方程为，则的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.椭圆的焦点在轴上，长轴长等于，离心率，则椭圆的标准方程是( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，点，点是点关于轴的对称点，则( )
A. B. C. D.
5.抛物线：上的点与焦点的距离是，则( )
A. B. C. D.
6.如图，正三棱柱中，点为正方形的中心，点为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
7.双曲线：的左焦点为，点，直线与的两条近线分别交于，两点，且，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最小值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面与平面平行，若平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图，图形中黑色小点个数：，，，，称为三角形数，如图，图形中黑色小点个数：，，，，称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则( )
A. B. C. D.
11.在长方体中，，，点是正方形内部或边界上异于的一点，则下列说法正确的是( )
A. 若平面，则
B. 不存在点，使得
C. 若，则存在的值为
D. 若直线与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长度为
12.已知双曲线：，过其右焦点的直线与它的右支交于、两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点，设，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为定值
B. 若，则
C. 若，过点且斜率为的直线与有个交点，则
D. 若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，，则 ______．
14.已知等差数列的前项和为，且，，则 ______．
15.已知点，，若在直线上至少存在个不同的点，使得为直角三角形，则实数的取值范围为______．
16.表示以点为中心的椭圆，如图所示，为椭圆：的左焦点，为直线上的一点，为椭圆上的一点，以为边作正方形按逆时针排列，当在椭圆上运动时，的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
的顶点是，，．
求边上的高所在直线的方程；
求过点，，的圆方程．
18.本小题分
如图，在多面体中，平面，，，，，，，为的中点．
求证：平行；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知数列是递增的等差数列，，是与的等比中项．
求的通项公式；
记，求数列的前项和．
20.本小题分
如图，矩形是圆柱的一个轴截面，、分别为上下底面的圆心，为的中点，，．
当点为弧的中点时，求证：平面；
若点为弧的靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知正项数列前项和为，满足，数列满足，记数列的前项和为．
求数列的通项公式；
求满足不等式的正整数的最大值．
22.本小题分
已知点，关于坐标原点对称，，圆过点，且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过曲线上的动点作圆：的切线，，交曲线于，两点，对任意的动点，都有直线与圆相切，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：正项等比数列，，
则．
故选：．
利用等比数列的性质求解．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由于直线的方程为，
所以直线的倾斜角满足：，
由于，
故．
故选：．
直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果．
本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由于，故，由于，故；
，故，
所以椭圆的方程为．
故选：．
直接利用椭圆的性质求出椭圆的方程．
本题考查的知识要点：椭圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：由于点是点关于轴的对称点，
故C；
由点，
故．
故选：．
直接利用点的对称和两点间的距离公式求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，点的对称，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：抛物线的准线方程为，抛物线：上的点与焦点的距离是，
由抛物线的定义可知：，解得．
故选：．
求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求出即可．
本题考查的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：在正三棱柱中，取中点，连接，，，
由点为正方形的中心，得，，
而，，于是，，
由为棱的中点，得，，则四边形是平行四边形，有，
即或其补角就是异面直线与所成的角，
显然正三棱柱所有棱长都相等，令棱长为，
则，，，等腰底边上的高，
，
所以异面直线与所成角的正切值为．
故选：．
根据给定条件，取的中点，结合平行公理，利用异面直线所成角的定义，借助等腰三角形的性质求解即可．
本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
7.【答案】
【解析】解：设直线的方程为，因为，
可得，即，
双曲线的渐近线的方程为，
联立，可得，，
即，
联立，解得，，
即，
所以，整理可得：，所以，
可得，即，
所以双曲线的渐近线的方程为
故选：．
设直线的方程，分别于双曲线的渐近线的方程联立，可得，的纵坐标，再由向量的关系，可得，的坐标的关系，进而可得，的关系，求出渐近线的方程．
本题考查双曲线的质的应用，向量的运算性质的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，可得，即有，
设，则，，
则，，
可得，即有，由，可得，，
又
，
而，
而，可得，则，当时，取得等号，
则的最小值为．
故选：．
由递推式可得，构造等比数列，，推得，由等比数列的通项公式和求和公式，结合基本不等式，可得所求最小值．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：平面与平面平行，平面的一个法向量为，
则平面的法向量是，，
，故A正确；
，故C正确．
故选：．
平面与平面平行，平面的一个法向量为，则平面的法向量是，．
本题考查平面与平面平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据三角形数可知，，
则，，，，
累加得，，
，
显然满足上式，
，
，故A正确，D正确，
根据正方形数可知，，
，故B错误，
，，
，故C正确．
故选：．
根据三角形数可知，，利用累加法得，根据正方形数可知，，进而判断各个选项即可．
本题主要考查了归纳推理，考查了累加法求数列的通项公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A：
因为平面平面，
若平面，则平面，
又因为平面，且平面平面，所以故 A正确；
对于选项B：以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，，点是正方形内部或边界上异于的一点，
所以，，，，，
，，，，，，但，不同时为，
，，
若，则，解得，
所以存在点在正方形对角线上且异于，使得若，故B错误；
对于，，，，
若，则，即，
结合，，令，，，
所以，
因为，
所以，
，
所以若，则不存在的值为，故C错误；
对于，，可取平面的法向量为，
若直线与平面所成角的正切值为，
则直线与平面所成角的正弦值为，
化简并整理得，结合，，所以如图所示：
点的轨迹长度为以为圆心，为半径的四分之一圆周长，即，故D选项正确．
故选：．
分别对选项逐一求解即可．
本题考查向量与立体几何的综合应用，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：因为的内切圆与边相切于点，如图，，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，，
因为在轴上，所以，
所以
，
所以，，，
双曲线的方程为：，
对于，因为直线与双曲线的右支交于、两点，
则当垂直于轴时，最短且最小值为，
所以的最小值不是定值，故A错误；
对于，若，则，所以，故B正确；
对于，若，则，，，双曲线的方程为，
直线的方程为，
联立，消得，
则，解得，
所以，故C错误；
对于，若，则，，，双曲线的方程为，
如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，，
设，，与圆分别相切于点，，，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，
所以是双曲线的右顶点，
轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，
则，
设直线的倾斜角为，且，，
在，中，
有，，
，，，
设，
所以，
令，
由对勾函数的性质可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
记的内切圆面积为，的内切圆面积为，
故
所以的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确．
故选：．
结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得、，从而求得双曲线的方程．结合双曲线的渐近线、直线和双曲线的交点、焦点弦的最小值、三角形内切圆面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：由于，，则．
故答案为：．
直接利用向量的坐标运算和数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，，，，也成等差数列，
其首项，第二项，则其公差，
则，
则．
故答案为：．
根据题意，等差数列中，，，，也成等差数列，分析其首项和公差，求出的值，进而计算可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，，，三点共线，构不成三角形，，
如图，为直角三角形，有三种情况：
当是直角顶点时，直线上有唯一点满足条件，
当是直角顶点时，直线上有唯一点满足条件，
当是直角顶点时，此时至少有一个点满足条件，
由直径对的圆周角是直角，知直线和以为直径的圆有公共点即可，
，解得，
，实数的取值范围为．
故答案为：．
当时，，，三点共线，构不成三角形，从而，为直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以为直径的圆有公共点即可，由此能求出的取值范围．
本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意将椭圆逆时针旋转，
得到为动点的轨迹方程，
设与已知直线平行的直线为，
联立得，化简得，
相切时满足，
解得，
两平行直线最短距离即为所求．
故答案为：．
通过旋转变换得点的轨迹方程，当过点的椭圆的切线与已知直线平行时，可能取最小值，由此即可得解．
本题考查椭圆方程的应用，属于中档题．
17.【答案】解：，，，
，
边上的高斜率为，过，
边上的高所在的直线方程为，即；
设过点，，的圆的方程为，
因为，，三点在圆上，将其三点代入方程得，
，解得，
所以过点，，的圆的方程为．
【解析】根据题意，计算，边上的高斜率为，过，利用点斜式计算，最后整理成一般式即可；
设的外接圆的方程为，因为，，三点在圆上，将其三点代入方程，求解，，，最后将其转化为标准方程即可．
本题考查直线的一般式方程和圆的标准方程，属于基础题．
18.【答案】解：证明：取中点，连接，，
在多面体中，平面，，，，
，，，为的中点，
，，
，，平面平面，
平面，平行；
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
点到平面的距离为：
．
【解析】取中点，连接，，推导出，，从而平面平面，由此能证明平行；
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查线面平行的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，
是与的等比中项，
，即，
化简整理，得，
解得舍去，或，
，．
由，可得
，
则，
．
【解析】先设等差数列的公差为，再根据等差数列的通项公式与等比中项的性质列出关于公差的方程，解出的值，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出的表达式，进一步计算出数列的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列的通项公式的运用，等比中项的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】证明：结合题意：易知底面是以为圆心，以为直径的半圆，
因为点为弧的中点，
所以，
因为矩形是圆柱的一个轴截面，
所以面，
因为面，
所以，
因为，且，平面，
所以平面C.
解：取弧的中点，
连接，
由可知：平面，且易得，，，
故以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，点为弧的靠近点的三等分点，
所以，，，，，
所以，，
因为为的中点，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，
即，
设，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】结合线面垂直的判定定理证明．
先以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出对应的坐标，然后结合空间向量的应用求解．
本题考查了线面垂直的判定定理，重点考查了空间向量的应用，属中档题．
21.【答案】解：由题意：，
当时，有，解得，舍去，
当时，有，
由得：，即，
因为，所以，
当时，由，得，矛盾，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
由得：，
所以
，
又，
由，得，
即，即，
令，
则，
当时，，所以数列从第项起是递减数列，
又，，，，
所以满足不等式的正整数的最大值为．
【解析】根据求解即可；
先利用分组求和法求出，再建立不等式，构造新的数列并判断其单调性即可得解．
本题考查利用数列的前项和求通项，考查数列求和及利用函数性质研究数列，属中档题．
22.【答案】解：设点，由圆过点，，得，
又圆与直线相切，则，
连接，而是的中点，于是，
因此，化简得，
所以曲线的方程为．
由设，过点作圆的切线：，，，
令，则切线：，由对称性得直线，则，解得，
下面证明在任意情况下直线必与圆相切，
由直线与圆：相切，得，切线，的斜率分别为，，
整理得，，，
又切线与曲线：相交于，，，
由，消去得，
显然，是方程，即的两个根，
于是，即，又，是方程，
即的两个根，于是，即，
显然直线，即，
而，，
即，，
所以直线，即，
圆心到直线的距离，
所以直线必与圆相切，即．
【解析】根据给定条件，利用圆的性质探求关系等式，再列出方程化简即得；
设，切线：，，，取求出值，再由任意点求出直线方程，并证明与圆相切即可得解．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
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