2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.如图，空间四边形中，，，，且，，则等于( )
A. B.
C. D.
3.过点，的直线方程是( )
A. B. C. D.
4.直线与圆的位置关系为( )
A. 相交、相切或相离 B. 相交或相切 C. 相交 D. 相切
5.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
6.设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
7.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层座，第二层座，第三层座，第四层座，第五层座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为，公差为的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有( )
A. 八层 B. 十层 C. 十一层 D. 十二层
8.如图，在正方体中，为线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则平面与底面所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，其中，则下列说法正确的有( )
A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线过定点
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等
10.记为等差数列的前项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆，若在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 面积的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
12.已知点在圆上，点，，则( )
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知椭圆的两个焦点分别为，，点是椭圆上一点，则的周长为______．
14.等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于______．
15.是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为，则 ______．
16.如图，在长方体中，是的中点，点是上一点，，，，动点在上底面上，且满足三棱锥的体积等于，则直线与所成角的余弦值的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知是等差数列的前项和，且．
求数列的通项公式．
求的最大值．
18.本小题分
已知直线：和圆：．
判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
求过点且与圆相切的直线方程．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，是棱上一点．
求证：平面平面；
若是的中点，求平面和平面的夹角的余弦值．
20.本小题分
已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程．
21.本小题分
已知点，分别为椭圆：的左，右顶点，点，直线交于点，且是等腰直角三角形．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设过点的动直线与相交于，两点，当坐标原点位于以为直径的圆外时，求直线斜率的取值范围．
22.本小题分
抛物线：过点，直线不经过点，直线与抛物线交于和两点，使得．
求抛物线的方程和准线方程．
直线是否经过定点？如果是，请求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，
点，，
则，即，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性表示与应用问题，属于基础题．
根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可．
【解答】
解：由题意知，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得直线的两点式方程为：，
化为一般式可得：
故选：．
写出直线的两点式方程，化为一般式即可．
本题考查直线的两点式方程，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：方法一：直线的方程可化为，
该直线恒过定点．
因为，
所以点在圆的内部，
所以直线与圆相交．
方法二：圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径为．
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交．
故选：．
方法一：求出直线过的定点，确定定点在圆内部，确定直线与圆相交；
方法二：求出圆的圆心和半径，从而利用点到直线距离公式确定圆心到直线距离，与半径比较得到直线与圆相交．
本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，，
则．
故选：．
根据题意，由等差数列的性质可得，进而计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，若，，三点共线，
则，
，，，
，
，解得：．
故选：．
根据共线向量得到关于的方程组，解出即可．
本题考查了共线向量问题，考查对应思想，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：设该塔共有层，
则，
整理得，
解得或舍，
即该塔共有层．
故选：．
设该塔共有层，根据等差数列的求和公式计算即可．
本题考查了等差数列的求和公式应用问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面角的余弦值的取值范围求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
当与重合时，平面即为平面，此时平面与底面所成的二面角的平面角为，当与重合，与重合时，平面是平面，此时平面与底面所成的锐二面角的平面角为，由此能求出平面与底面所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围．
【解答】
解：在正方体中，为线段上的一个动点，
为线段上的一个动点，
当与重合时，平面即为平面，
此时平面与底面所成的二面角的平面角为，余弦值为，
当与重合，与重合时，平面是平面，
此时平面与底面所成的锐二面角的平面角为，余弦值为．
平面与底面所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两条直线的位置关系，考查直线的一般式方程、直线与直线平行、直线与直线垂直等基础知识，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
对于，当时，直线的斜率为，直线的斜率为，则直线与直线垂直；对于，若直线与直线平行，则，解得或；对于，当时，，则无论取何值，直线过定点；对于，当时，直线：在轴上的截距为，在轴上的截距为，则直线在两坐标轴上的截距不相等．
【解答】
解：直线：，
对于，当时，直线的斜率为，直线的斜率为，则直线与直线垂直，故A正确；
对于，若直线与直线平行，则，解得或，故B错误；
对于，当时，，则无论取何值，直线过定点，故C正确；
对于，当时，直线：在轴上的截距为，在轴上的截距为，直线在两坐标轴上的截距不相等，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为．
，，，且，解得：，，
，．
故选：．
利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出．
本题主要考查等差数列的前项和，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由椭圆的方程可得，，，
中，当时，则在短轴的顶点处，即，
可得，所以，所以A正确；
中，，所以不正确；
中，，所以C正确；
中，，当且仅当时取等号，所以D正确．
故选：．
由椭圆的方程可得，的值，进而可得的值，由椭圆的性质判断出所给命题的真假．
本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，考查转化思想与数形结合思想，属于中档题．
求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的距离范围，即可判断与；画出图形，由图可知，当过点的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与点之间的距离，再由勾股定理求得，即可判断与．
【解答】
解：，，
过点、的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离，
点到直线的距离的范围为，
，，，
点到直线的距离小于，但不一定大于，故A正确，B错误；
如图，当过点的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大，
此时，
，故CD正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】解：由题意作图如右图，
椭圆的标准方程为，
，，，
，
，
的周长为；
故答案为：．
由题意知，，，从而可得，．
本题考查了数形结合的思想应用及椭圆的定义的应用．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，
，
即
故，
故，
故答案为：．
利用等差数列的性质得，从而化简解即可．
本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：
，
，
，
，
的面积为
，
故答案为：
根据离心率求得和的关系，进而求得和的关系，利用推断出，利用勾股定理可知，利用三角形的面积求得，进而利用配方法求得，化简整理求得，进而利用和的关系式求得，则的值可求得．
本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合思想的运用以及基本的运算能力．
16.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
，
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得，
而，
则点到平面的距离，
，，
在等腰中，
到的高为，
则，
而，即，解得或，
由，，得，
则，设直线与所成的角为，
则，
，
当且仅当时取等号，所以的最大值为．
故答案为：．
先建立空间直角坐标系，再结合向量法，求出平面的法向量，再结合点到平面的距离公式，即可求解．
本题主要考查棱锥体积的应用，考查转化能力，属于难题．
17.【答案】解：等差数列的前项和，
当时，，
当时，，
显然满足上式，
所以数列的通项公式是．
由于，而，
于是当时，，
所以的最大值是．
【解析】利用公式进行求解．
利用给定的前项和，结合二次函数求出最值即得．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：由圆：可得，圆心，半径，
圆心到直线：的距离为，
所以直线与圆相交，
直线被圆截得的弦长为．
若过点的直线斜率不存在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．
【解析】利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
利用直线与圆相切，以及点到直线的距离公式的关系求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
19.【答案】解：因为，，，，
取中点，连接，则，
，，
所以，即，
又平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：
因为是的中点，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
所以平面的法向量为，
显然，平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，为锐角，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【解析】利用面面垂直的判定定理证明．
利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，
且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为．
若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意；
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得．
因为线段的中点为，所以，，
所以，解得，双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率，
故过点的直线与双曲线有两个交点．
所以直线的方程为．
【解析】根据已知条件渐近线与直线垂直，右顶点到该条渐近线的距离为，列等量关系即可求得双曲线方程；
用点差法，设而不求，即可得到直线的斜率，进而求得直线的方程．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ由题意知：是等腰直角三角形，，，
设，由，则，
代入椭圆方程，解得，
椭圆方程为分
Ⅱ由题意可知，直线的斜率存在，方程为，设，，
则，整理得：，
由韦达定理可知：，，分
由直线与有两个不同的交点，则，
即，解得：，分
由坐标原点位于以为直径的圆外，则，即，
则
，
解得：，分
综合可知：，解得或，
直线斜率的取值范围分
【解析】Ⅰ由题意可知：由，求得点坐标，即可求得椭圆的方程；
Ⅱ设直线，代入椭圆方程，由韦达定理，由，由坐标原点位于以为直径的圆外，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线斜率的取值范围．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查及算能力，属于中档题．
22.【答案】解：点代入得，解得，
抛物线的方程是：，准线方程是：；
是过定点，理由如下：
如图，设，，
显然直线的斜率不等于，设的方程为：，
联立方程消去得：，
令得：，则有，
，，
由得：，
把代入得：，
化简得：，
把代入得：，
化简得：，即，
解得：或者，
不符合式，舍去，
或当时，的方程是过点，舍去．
当时，的方程是，过定点．
【解析】点坐标代入抛物线的方程可得答案；
设，，设的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标表示可得答案．
本题考查了直线与抛物线的综合运用，属于中档题．
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