2023-2024学年四川省眉山高中高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省眉山高中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.的值为( )
A. B. C. D.
4.函数的零点一定位于区间( )
A. B. C. D.
5.已知是第四象限角，则( )
A. B. C. D.
6.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强基本再生数与世代间隔是流行病学基本参考数据某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间，单位：天的变化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔之间的关系近似满足，根据已有数据估计出时，据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至的倍至少需要参考数据：，( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
8.已知函数，不等式恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，，则下列说法不正确的是( )
A. 函数为奇函数
B. 当时，函数在其定义域内单调递增
C. 当时，函数的值域为
D. 当时，函数有最小值
10.已知，，均为实数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若且，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数在区间上单调递减
B. 的值域为
C. 若关于的方程恰有两个实数根，则的取值范围为或
D. 若在上恒成立，则满足条件的的最小值为
12.已知定义在上的函数满足，且的部分解析式为记，若有个零点，则的取值范围的必要不充分条件可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则 ______．
14.已知幂函数在上单调递增，则 ______．
15.已知，，且，则的最小值为______．
16.已知函数是定义在上的偶函数，且时，，则关于的不等式的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列各式的值．
；
若，求．
18.本小题分
已知角的终边经过点．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数，是奇函数．
求实数的值；
当时，求的值域．
20.本小题分
设全集为，已知集合，．
若，求；
若，求的取值范围．
21.本小题分
汉服文化是反映儒家礼典服制的文化总和，通过祭服、朝服、公服、常服以及配饰体现出来汉服文化从三皇五帝延续清代被迫中断，通过连绵不断的继承完善着自己，是一个非常成熟并自成体系的千年文化在当代，汉服文化正在通过汉服运动这一民间文化运动形式逐渐复兴近年来，盛行汉服沉浸式体验，人们喜欢身着汉服在充满传统文化特色的古镇游览拍照近天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量件与日租赁价格元件都是时间天的函数，其中，每件汉服的综合成本为元．
写出该店日租赁利润与时间之间的函数关系；
求该店日租赁利润的最大值注：租赁利润租赁收入租赁成本
22.本小题分
已知函数，，．
求函数的定义域，并证明在内的单调性；
设，对任意的，都存在，使得成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，，
则．
故选：．
结合补集的定义，即可求解．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题：，的否定是：，．
故选：．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．
由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．
【解答】
解：
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：在上单调递减，，，
所以的零点位于区间．
故选：．
根据函数的单调性和零点存在性定理来求得正确答案．
本题考查零点存在定理，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：是第四象限角，，
，
故选：．
由是第四象限角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值即可．
此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
由于关于的不等式的解集为，
所以，
即，
所以，
解得，
所以关于的不等式，
即为，
解得，
所以不等式的解集为．
故选：．
关于的不等式的解集为，得出，代入，即可求解．
本题考查不等式的解法，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：依题意，且时，，即
，所以，
所以，，令，
两边取以为底的对数得：，
则，
所以至少需要天．
故选：．
先求得，然后根据“的倍”列方程，化简求得需要的时间．
本题考查了对数的运算，利用给定函数模型解决实际问题，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，，
则，
是奇函数，
在上单调递减，在上单调递减，
在上单调递减，
又是奇函数，
在上单调递减，
不等式恒成立，即，
恒成立，
，解得，即的取值范围为．
故选：．
由题意令，，利用函数的奇偶性的定义可得是奇函数，结合在上单调递减，在上单调递减，可得在上单调递减，即在上单调递减，题意转化为，求解即可得出答案．
本题考查函数的恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，即为奇函数，A正确；
当时，函数在和内单调递增，但在定义域不是单调递增函数，B错误；
当时，若，则，当且仅当时取等号，
当时，根据对称性可知，，C正确；
当时，若时，函数没有最小值，D错误．
故选：．
结合函数的奇偶性，单调性及最值取得条件检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性，单调性的判断，还考查了函数最值的求解，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，显然错误；
若且，则，即，B正确；
若，
由不等式的性质可得，，，即，C正确；
若，则，此时无法得到，D错误．
故选：．
举出反例检验选项A；结合不等式的性质检验选项B，，即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，，
画出的图象如下图所示，
由图可知，在上单调递减，选项错误；
由图可知，当时，取得最大值为，
所以的值域为，所以选项正确；
由图可知，当时，有两个解，所以选项错误；
对于选项，在上恒成立，即在上恒成立，
直线过点，当，即时，不等式在上恒成立，符合题意，
当，即时，由消去并化简得，
令解得正根舍去，则，
不等式在上恒成立，则，即，
综上所述，的最小值为，选项正确．
故选：．
画出的图象，根据图象对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了分段函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：满足是偶函数，
的部分解析式为，
作出的图象如下，
又有个零点，令，
关于的方程在上有两个不等实根，
则，
又
的取值范围的必要不充分条件可以是．
故选：．
作出的图象，有个零点，令，则关于的方程在上有两个不等实根，利用二次方程的实根分布即可求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：函数，
则，
故．
故答案为：．
根据已知条件，依次将的值代入到函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：幂函数，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，
则，当且仅当，时取等号．
故答案为：．
由已知得，，代入到所求式子，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
16.【答案】或或
【解析】解：函数定义域为，
函数定义域为，
函数是上的偶函数．
函数的对称轴为，
函数可以由函数向左平移一个单位得到，
故函数对称轴为，
，
，
当时，有，
故此时，
当时，令，可得，
解得或，
当时，令，可得，
此时不等式无解，
当时，令，可得，
解得，
综上所述，不等的解集为或或．
由已知结合函数的奇偶性及对称性即可求解不等式的解集．
本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：
；
若，则，即，
所以，即．
【解析】由已知结合指数幂及对数的运算性质即可求解；
结合指数幂的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：因为角的终边经过点，
所以；
．
【解析】利用任意角的三角函数的定义以及特殊角的三角函数值即可求解；
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，特殊角的三角函数值，诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：因为为奇函数且，
所以，即，
经检验时，为奇函数，符合题意；
时，，
所以，
，
即函数的值域为
【解析】由已知结合奇函数性质即可求解；
由已知结合指数函数及反比例函数的性质即可求解．
本题主要考查了奇函数性质的应用，还考查了函数性质在函数值域求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：集合，
当时，，
则，
故或；
，
则，
令，解得，此时，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为．
【解析】结合交集、补集的定义，即可求解；
根据已知条件，推得，再分类讨论，即可求解．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
21.【答案】解：
；
当时，，
当时，取得最大值，最大值为，
当时，
，
令，解得，
由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，
由于，
故时，的最大值为，
因为，所以该店日租赁利润的最大值为元．
【解析】由题意得到，得到函数关系式；
分与两种情况，结合二次函数和对勾函数单调性，求出最大值．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：，，
的定义域为，即．
，
在上单调递减，证明如下：
任取，
则，
在上单调递减．
根据复合函数单调性同增异减可知，
在上单调递减，
的最小值为．
对任意的，都存在，使得成立，
，
，
令，，令，
当时，，在上单调递减，
最小值为，则成立，也即成立，符合题意；
当时，的图象开口向下，对称轴，
则在区间上单调递减，最小值为，
则，成立，符合题意；
当时，的图象开口向上，对称轴，
若，即，则在上单调递增，最小值为，
则，所以时，成立，符合题意．
若，即时，
则的最小值为，
则，所以时，成立，符合题意．
若，即时，则在上单调递减，
的最小值为，则，
所以时，成立，符合题意．
综上所述，的取值范围是．
【解析】根据对数型函数的定义域的求法求得，利用单调性的定义证得在内单调递减．
通过求在上的最小值、在上的最小值，结合对分类讨论以及恒成立、能成立来求得的取值范围．
本题考查了函数的单调性，函数不等式问题，二次函数的性质，属于难题．
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