重庆市万州第三中学2023-2024学年高二（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市万州三中高二（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.等比数列中，，，则与的等比中项为( )
A. B. C. D.
3.关于椭圆与双曲线的关系，下列结论正确的是( )
A. 焦点相同 B. 顶点相同 C. 焦距相等 D. 离心率相等
4.已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为( )
A. B. C. D.
5.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，小寒、雨水、清明日影长之和为尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
6.若直线与圆：相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是( )
A. 或 B. C. D.
7.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程即平面上任意一点的坐标满足的关系式为：”用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.若，是双曲线的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，则下列说法正确的是( )
A. 点在圆内 B. 圆关于对称
C. 半径为 D. 直线与圆相切
10.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知抛物线：，焦点为，动点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 直线的方程为 D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为______．
13.已知数列满足：，，且是递增数列，则实数的取值范围是______．
14.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见某学习小组通过单光源实验来演示月球背面由光源点射出的两条光线与：分别相切于点，，称两射线，上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域含边界为圆的“背面”若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知动点到点的距离等于到点的距离的倍，
求动点的轨迹的方程；
若直线与轨迹没有交点，求的取值范围．
16.本小题分
如图，平行六面体的底面是正方形，，，若，，．
用，，表示；
求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，且，，等差数列的前项和为，且，．
Ⅰ求数列、的通项公式；
Ⅱ如图，在平面直角坐标系中，有点、、、、，若记的面积为，求数列的前项和．
18.本小题分
在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面．
证明：；
若直线与平面所成的角为，为棱上一点不含端点，试探究上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
阅读材料并解决如下问题：
曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一法国数学家对曲线进行了图形化应用的测试，提出了算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论已知抛物线：上的动点到焦点距离的最小值为．
求的方程及其焦点坐标和准线方程；
如图，，，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，，，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线的斜率公式，倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．
【解答】
解：若直线经过两点，则直线的斜率等于．
设直线的倾斜角等于，则有．
再由可得，即，
故选A．
2.【答案】
【解析】解：等比数列中，，，
则与的等比中项为．
故选：．
根据已知条件，结合等比中项的性质，即可求解．
本题主要考查等比中项的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由椭圆，得，，
，所以椭圆的焦点在轴上，焦点，，，
由双曲线，得焦点在轴上，且，
所以；
所以椭圆与双曲线有相同的焦距．
故选：．
根据椭圆的标准方程可知，焦点在轴上，且，得，根据双曲线的方程可知，焦点在轴上，且，得，可得答案．
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：，则与共面，
同理，，
即、均与共面，故A、、D错误；
设，显然无法成立，即与不共面，故C正确．
故选：．
利用基底的概念及空间向量的共面定理一一分析即可．
本题主要考查基底的概念及空间向量的共面定理，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的实际运用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由题意知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，由此能求出结果．
【解答】
解：设从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，
设冬至日的日影长为尺，公差为尺，
冬至、立春、春分日影长之和为尺，小寒、雨水、清明日影长之和为尺，
，
解得，，
大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为：
尺．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意直线与圆：相离，可得：，即，
点是在以原点为圆心，为半径的圆内的点，
椭圆的长半轴的长为，短半轴的长为，
圆内含于椭圆，
点是椭圆内的点，
过点的一条直线与椭圆的公共点数为，
故选：．
通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点在椭圆内，进而可得结论．
本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意，平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
则两平面所成角的余弦值为．
故选：．
根据题意，由两平面的方程，得到两平面的法向量，由法向量夹角公式即可求得结论．
本题考查二面角的概念和求法，考查空间向量数量积运算，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：依题意，，
点与，与都关于原点对称，且，因此四边形是矩形，如图，
由双曲线得：，，
可得，，
所以，
于是，
显然四边形的外接圆半径为，
所以，
所以．
故选：．
根据给定条件，探求四边形的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出，再求出作答．
本题考查双曲线的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：圆：的标准方程为：，
圆心为，半径为，
A.因为，所以点在圆外，故A错误；
B.因为，即圆心不在直线上，故B错误；
C.由圆的标准方程知，半径为，故C正确；
D.因为圆心为到直线的距离为，
与圆的半径相等，故直线与圆相切，故D正确．
故选：．
把圆的方程化为标准方程后，再逐项验证即可．
本题考查直线与圆的位置关系，方程思想，考查点到线的距离，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，
若，，
则，，
所以，，A正确，B错误，
故当时，取得最小值，C正确，
因为，，，，
故时，，，，，，
时，，
又，，所以是增数列，
的最小值为，故D正确．
故选：．
推导出，，从而，，故当时，取得最小值；由，，，，能求出的最小值．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：设点、，先证明出抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，即，即，可得，
所以，抛物线在点处的切线方程为，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入两切线方程可得，
所以，点、的坐标均满足方程，
又因为两点确定一条直线，故直线的方程为，对；
联立可得，，
由韦达定理可知，，，
故直线、的斜率之积为，故，对；
因为，则，可得，
所以，，
易知直线经过抛物线的焦点，
，所以，，则，对；
，
，则
，
当且仅当时，等号成立，故面积的最小值为，错．
故选：．
设点、，推导出抛物线在点处的切线方程为，同理可得出抛物线在点处的切线方程为，将点的坐标代入两切线的方程，可推导出直线的方程，然后将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，逐项判断可得出合适的选项．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，向量的数量积的应用，考查转化是以及计算能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为直线与直线具有相同的法向量，所以直线与直线平行，
设直线的方程为，将点代入可得：，
可得，
所以直线的方程为：．
故答案为：．
由题意可知直线平行于已知直线，设直线的方程，将的坐标代入，可得参数的值，即求出直线的方程．
本题考查与已知直线平行的直线的设法，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，数列满足：，，
若是递增数列，且对于任意的，都有成立，
对于任意，，即，
变形可得：恒成立，
又由且，则，
所以，即实数的取值范围是．
故答案为：．
根据题意是递增数列可知，进而可得关于的不等式，解可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图，
设过点的切线方程为，所以，解得，
所以直线的方程为，即，令，解得，
直线的方程为，即，令，解得，
因为圆：处于圆的“背面”，
所以．
当圆与圆外切且圆与或相切时，取最大值，
由圆与圆外切得，圆与相切时
又，所以，所以，
即，解得或，结合，
所以，所以的最大值为，
同理圆与相切时的最大值为，
综上可得的最大值为．
故答案为：．
设过点的切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径求出，即可得到直线、的方程，从而求出的取值范围，当圆与圆外切且圆与或相切时，取最大值，从而求出的最大值，即可得解．
本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
15.【答案】解：不妨设点的坐标，
因为动点到点的距离等于到点的距离的倍，
所以，
即，
整理得，
故轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其方程为；
联立，消去并整理得，
因为直线与圆没有交点，
所以，
即，
解得，
则的取值范围为
【解析】由题意，设出点坐标，根据已知条件列方程，化简求得动点的轨迹的方程．
将直线与轨迹的方程联立，结合判别式列不等式即求得的取值范围．
本题考查轨迹方程以及直线与圆的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
16.【答案】解：根据题意，可得，
结合，，，得．
，，，
因为，
所以，
，
，
因此，可求出，
所以异面直线与夹角的余弦值为．
【解析】根据向量加法法则，结合平行六面体的性质，算出用，，表示的表达式；
利用向量的数量积的定义与性质，算出与的模长与数量积，进而算出，，即可得到本题的答案．
本题主要考查向量的数量积与夹角公式、异面直线所成角的求法等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ设数列公比为，由已知，
由题意得：
得，又，
解得，，
则．
设数列的公差为，
由题意得：
解得，，
则
Ⅱ由Ⅰ有，
，
故
n

得，
．
故．
【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于较难型．
Ⅰ利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．
Ⅱ利用Ⅰ的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和．
18.【答案】解：证明：因为平面平面，，平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
因为四边形为菱形，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以；
设，由可知，平面，则直线在面内的射影为，
故直线与平面所成的角为，所以，
和均为边长为的等边三角形，
以为原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图，
由平面，可得平面的一个法向量为，
因为，，，，
所以，设，，
设平面的法向量，
则，
令，可得，，故，
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，解得或舍，
所以，即，所以的长为．
【解析】由面面垂直得到线面垂直，从而得到，结合，得到线面垂直；
在第一问的基础上，得到直线与平面所成的角为，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值，从而建立方程，求解即可．
本题考查线线垂直的证明和平面与平面的夹角的求法，属于中档题．
19.【答案】解：因为抛物线上的点到焦点距离的最小值为，
转化为到准线距离的最小值为，
所以，
所以，
因此抛物线的标准方程为，其焦点坐标为，准线方程为．
设，，，，，，
抛物线上过点的切线方程为显然存在．
将切线方程与抛物线方程联立，得：
，消去，整理得，
所以，
从而有，
所以抛物线上过点的切线方程为，
同理可得抛物线上过点，的切线方程分别为，，
两两联立，可以求得交点，，的纵坐标分别为，，，
则．
同理可得，
即，
当时，，
故，即．
因此．
【解析】因为抛物线上的点到焦点距离的最小值为，转化为到准线距离的最小值为，即可求值；
将切线方程与抛物线方程联立，得，消去，整理得，利用判别式等于，得出有，进而确定抛物线切线方程的，得出交点坐标即可求解．
本题考查抛物线性质的应用，属于难题．
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