2023-2024学年重庆重点中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆重点中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列的前项和为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.北京年冬奥会于年月日开幕，月日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
4.两个等差数列和的前项和为，，且则( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率为( )
A. B. C. D.
6.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件：个球都是红球，事件：个球中恰有个红球，事件：个球至少有个红球，事件：个球不都是红球，则下列说法正确的是( )
A. 事件与事件互斥 B.
C. 事件与事件对立 D.
7.中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为，且，，不全相等若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：；；；若，则其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
8.设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学四年级名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图根据此图，下列结论中正确的是( )
A.
B. 估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过
C. 估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为
D. 四年级学生一分钟跳绳超过次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为
10.已知数列满足，，是的前项和，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，则下列说法正确的是( )
A. 过点恰有条直线与抛物线有且只有一个公共点
B. 若，为上的动点，则的最小值为
C. 直线与抛物线相交所得弦长为
D. 抛物线与圆交于，两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的半径为______．
13.已知圆：与中心在原点、焦点在轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为______．
14.年北京冬奥会开幕式中，当雪花这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．
若第个图中的三角形的周长为，则第个图形的周长为______；若第个图中的三角形的面积为，则第个图形的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正项数列的前项和为，且满足．
证明：数列是等差数列；
设数列的前项和，证明：．
16.本小题分
如图，在边长为的正方形中，是的中点，是的中点，将，分别沿，折叠，使，点重合于点，如图所示．
证明：平面平面；
在四棱锥中，，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，抛物线在第一象限与椭圆交于点，点为抛物线的焦点，且满足．
求椭圆的方程；
设直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线：的垂线，垂足为、，与轴的交点为若、、的面积成等差数列，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知抛物线：，过点作不与轴垂直的直线，分别与抛物线交于，和、两点．
若，两点的纵坐标之和为，求直线的斜率；
证明：；
若点为线段的中点，点为线段的中点，求的值．
注：表示直线的斜率．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的通项公式；
在的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，可得，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为，，，，
则从这四个项目中任选两项的情况有，，，，，，共种情况，
其中没有选择冰壶的有，，，共种情况，
所以所求概率为．
故选：．
记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为，，，，用列举法写出所有的基本事件及没有选择冰壶的所有事件，从而求出没有选择冰壶的概率．
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：已知抛物线：的焦点为，
则，
又抛物线：的准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可得，
又为坐标原点，
则，
则点在线段的中垂线上，
则，
即，
即抛物线的方程为，
又点在抛物线上，
则，
则．
故选：．
由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：由等差数列的性质可得，所以，
，所以，
所以．
故选：．
由等差数列的性质可得，再代值计算即可．
本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，设，分别表示甲在两轮活动中猜对个，个成语的事件，
，分别表示乙在两轮活动中猜对个，个成语的事件，
则有，
设事件“星队”在两轮活动中猜对个成语，
所以．
故“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率是．
故选：．
根据题意，设，分别表示甲在两轮活动中猜对个，个成语的事件，，分别表示乙在两轮活动中猜对个，个成语的事件，设事件“星队”在两轮活动中猜对个成语，则，且与互斥，与，与分别相互独立，结合相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案．
本题考查互斥事件、相互独立事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，
两袋各摸出一个球，记事件：个球都是红球，
事件：个球中恰有个红球，事件：个球至少有个红球，
事件：个球不都是红球，
记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，
则，，相互独立，
，
由此可得：，可能同时发生，故A错误；
，互为对立事件，故C正确；
因为，所以，故B错误；
因为，所以，D错误．
故选：．
记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，则，，相互独立，从而，由此可得：，可能同时发生；，互为对立事件；由，则；由，得．
本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：令得底面曲线方程为，
建筑的室内地面是面积为的圆，
，且，得，故正确，
，，，不全相等，
，故错误，
由得，即，则，与，，不全相等矛盾，故错误，
若，即，，，故正确，
故正确是，
故选：．
令得底面曲线方程为，利用底面曲线是圆，然后分别进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，根据底面曲线是圆，利用圆的面积分别进行判断是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：当时，，所以，
由，当时，，
所以，
所以，两边同除以，所以，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，所以，
由对任意恒成立，即，
所以，
设，则，所以数列为递减数列，
所以，所以，
所以的最小值为，
故选：．
根据与的关系，构造等差数列求得数列的通项公式，即可求得，根据数列的单调性，即可求得的最小值．
本题考查数列与不等式的综合应用，考查等差数列的定义及通项公式，数列的单调性，考查转化思想，计算能力，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：频率分布直方图得，
解得，故A正确；
根据频率分布直方图得其平均数为：
，
估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数没超过，故B错误；
由频率分布直方图知，，
，
中位数落在区间内，设中位数为，
则，可得，
估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为，故C正确；
由频率分布直方图知，超过次以上的频率为，
估计该小学四年级优秀率为，故D正确．
故选：．
根据频率分布直方图矩形面积和等于可得，经计算可得平均数为，中位数约为，优秀率为，即可得出正确选项．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和中位数的估计，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，，，
由得，，由，，所以，
当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则，
故对任意的，，故A错，对；
由，，则
，故B正确；
可得：，则有，于是当时，
，
当时，也成立，D正确．
故选：．
由，可得，两式相减可得，推得对任意的，，可判断；由，结合等差数列的求和公式，可判断；由，结合不等式的性质，可判断．
本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为抛物线：的焦点到准线的距离为，所以，
抛物线的方程是过点可以作条直线与抛物线相切，而直线与抛物线相交，只有个交点，
可知过点恰有条直线与抛物线有且只有一个公共点，故A不正确；
抛物线的准线方程是，设到准线的距离为，则；
过作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义知，
所以，所以的最小值为，故B正确；
抛物线的焦点为，直线过焦点，不妨设直线与抛物线的两个交点分别是，，
则，又得，则，所以，故C正确；
抛物线与圆交于，两点，则，关于轴对称．
设，则，解得，
所以，故D不正确．
故选：．
求解抛物线方程，判断直线与抛物线交点个数判断的正误；结合图象，通过抛物线的性质，判断的正误；利用弦长，结合抛物线的性质判断的正误；求解弦长，判断的正误．
本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合应用，圆与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：设圆锥母线长，底面圆半径为，
侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为，半圆弧长为，
，
，
表面积是侧面积与底面积的和，
，
，
，
解得，
圆锥的底面半径为．
故答案为：．
设圆锥母线长为，底面圆半径为，根据侧面展开图得到，再求表面积与底面半径和直径．
本题考查圆锥的底面圆半径的求法，考查圆锥的结构特征与表面积公式等基础知识，考查运算求解能力和空间想象能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：将圆的方程化为标准式为，
则圆的圆心为，半径为，
因为双曲线的焦点在轴上，
故设双曲线方程为，
则其渐近线方程为，
由题意得，
即，
所以，
所以．
故答案为：．
由圆的性质，结合双曲线的性质求离心率即可．
本题考查了圆的性质，重点考查了双曲线的性质，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：记第个图形为，三角形边长为，边数，周长为，面积为，
有条边，边长；
有条边，边长有条边，边长
分析可知，即，即，
当第个图中的三角形的周长为时，即，，
所以，
由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即，
即，
利用累加法可得，
数列是以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，
故是以为公比的等比数列，
当第个图中的三角形的面积为时，，即，此时有条边，
则，
所以，所以，
故答案为：．
由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解；
由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解．
本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查数列的求和，是中档题．
15.【答案】证明：正项数列满足，
当时，解得；
整理得，
所以常数，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
由得：，
所以，
所以，
所以．
【解析】直接利用递推关系式的变换求出数列是等差数列；
利用的结论，进一步求出，再利用放缩法求出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，放缩法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
16.【答案】解：解法一：证明：在正方形中，，，
所以在四棱锥中，，，
因为平面平面，平面，平面，
所以为二面角的平面角，
因为在正方形中，，
所以在四棱锥中，，
所以，即二面角为直二面角，
所以平面平面．
由得，，，两两垂直，
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
所以，，，，
可得，，，
设平面的法向量，
则所以
取，则，
设平面的法向量，则，
所以
令，则，，
所以，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
解法二：在正方形中，，分别是，的中点，
所以在四棱锥中，，，
所以≌，
所以，即，
又在正方形中，，
所以在四棱锥中，，
由于，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
依题，，，，
所以平面，
所以，
设，可得，
由，，得平面，
因为平面，
所以平面平面，
过作垂直，垂足，
以为原点，过作的平行线为轴，，所在直线为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
在中，，，，
可得，，，，
所以，，
可得，，，
设平面的法向量，
所以，
令，则，，
所以，
取平面的一个法向量，
则，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】解法一：根据题意可得，，由二面角的定义为二面角的平面角，由勾股定理可得，即二面角为直二面角，即可得出答案．
由得，，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，计算，，即可得出答案．
解法二：根据题意可得≌，则，又，又线面垂直的判定定理可得平面，进而可得答案．
由线面垂直判定定理可得平面，则，推出平面，过作垂直，垂足，以为原点，过作的平行线为轴，，所在直线为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，又平面的一个法向量，则，，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由题意，，则点 在椭圆上，
得，，即 ，
联立，解得，，
椭圆的方程为．
依题意，直线与轴不重合，故可设直线的方程为．
联立，消去：．
设，，则有，且．
设，，的面积分别为，，，
，，成等差数列，，即，
则；
即，得，
又，，
于是，，
，解得，即或．
所以实数的取值范围为或
【解析】由题意，，则点 在椭圆上，代入椭圆方程可得，根据离心率可得，解方程组即可求出，，即可求出椭圆的方程；
联立直线与椭圆方程，消元，利用韦达定理求出根据、、的面积成等差数列，可得
，即，化简可得，解此不等式即可求出结果．
本题考查椭圆的定义和方程，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
18.【答案】解：设，，，，
则，．
依题意，两式相减可得，
故，
则，即直线的斜率为．
证明：由知，，
同理，，，
因为，
，
所以．
记，，，
联立，得，
故，，
所以，，
同理可得，，，
故，
即．

【解析】解设出点的坐标，利用和的方程式相减即可得出答案．
分别用，，，表示出，，，，即可得出结论
利用坐标得出，，，，再表示出相应的斜率，即可得出答案．
本题考查抛物线方程的综合应用，属于难题．
19.【答案】解：由，可得，解得；
时，，化为：．
数列是等比数列，公比为，首项为．
，
，
，．
当时，，解得．
，
时，，，
，即．
当为大于或等于的偶数时，，即，当且仅当时，．
当为大于或等于的奇数时，，当且仅当时，．
当时，，即．
综上可得：的取值范围是．
【解析】由，可得，解得；时，，化为：即可得出．
，时，，相减可得：当时，，解得．
，时，，，即当为大于或等于的偶数时，当为大于或等于的奇数时，当时，，即即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法、不等式的解法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
第1页，共1页