2023-2024学年广东省部分名校高一（上）期末数学试卷（二）（含解析）

2023-2024学年广东省部分名校高一（上）期末数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在一个五边形，它是轴对称图形”的否定是( )
A. 存在无数个五边形，它是轴对称图形 B. 存在一个五边形，它不是轴对称图形
C. 任意一个五边形，它是轴对称图形 D. 任意一个五边形，它不是轴对称图形
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知某扇形的面积为，半径为，则该扇形圆心角正角的弧度数为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过取：( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 是奇函数
C. 的图象关于直线轴对称 D. 的值域为
10.已知，且，，则函数与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数满足，则的解析式可以是( )
A. B.
C. D.
12.已知函数且，下列结论正确的是( )
A. 是偶函数
B. 的图象与直线一定没有交点
C. 若的图象与直线有个交点，则的取值范围是
D. 若的图象与直线交于，两点，则线段长度的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数则 ______．
14.已知是角终边上一点，则 ______．
15.若，则的最大值是______．
16.已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
求；
求．
18.本小题分
已知函数是偶函数．
求实数的值；
判断函数在上的单调性，并用定义证明．
19.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
当时，求的最小值及取最小值时的集合．
20.本小题分
已知函数且，且．
求的解析式；
若函数在上的最小值为，求的值．
21.本小题分
某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价单位：元与销量单位：万件的数据如下：
元
万件
为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：，，．
选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式；
已知每生产一件该产品，需要的成本单位：元与销量单位：万件的关系为，不考虑其他因素，结合中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？
22.本小题分
已知函数，，且．
若，函数，求的定义域；
若，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：“存在一个五边形，它是轴对称图形”的否定是：任意一个五边形，它不是轴对称图形．
故选：．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，整理得：，
对于，整理得：，
则．
故选：．
直接利用不等式的解法求出集合的交集．
本题考查的知识要点：不等式的解法，集合的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：某扇形的面积为，半径为，
设该扇形的圆心角为，
则，
解得．
故选：．
利用扇形面积公式求解．
本题考查扇形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以，
因为，所以，
因为，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
首先解指数不等式和分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数的图象与直线没有交点．
若函数的图象与直线没有交点，
则，整理得，又，
则的最小值为．
故选：．
利用函数的图象与直线没有交点．结合题意列式可求得答案．
本题考查正切函数的图象与性质的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性能求出结果．
本题考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，解得．
故选：．
由已知结合分段函数的单调性即可求解．
本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：的物块经过后的温度，
的物块经过后的温度．
要使得两块物体的温度之差不超过，则，
即，
解得．
故选：．
根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为函数，
所以，A正确；
，，既不是奇函数，也不是偶函数，B错误；
，既不是最大值，也不是最小值，故图象不关于直线轴对称，C错误；
故D对．
故选：．
直接根据三角函数的性质依次判断即可．
本题主要考查三角函数的性质，考查计算能力，属于基础题也是易错题．
10.【答案】
【解析】解：对于：由于，所以，故函数与的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故A错误；
对于：由于，所以，故函数与的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故B正确；
对于：由于，所以，故函数与的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，由选项C的函数图象都为单调递减函数，故C错误；
对于：由于，所以，故函数与的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故D正确．
故选：．
直接利用指数函数和对数函数的性质判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：若显然不恒成立，A错误．
若，因为，即，B正确．
若，因为，时，，，
所以，则，即，所以，C正确．
若，因为在上单调递减，且，
令，则，
即，所以在上单调递增，与的单调性矛盾，D错误．
故选：．
由已知结合函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：定义域为，，所以是偶函数，A正确；
当时，在上单调递减，在上单调递增，，此时的图象与直线没有交点．
当时，在上单调递增，在上单调递减，，此时的图象与直线没有交点，故的图象与直线一定没有交点，B正确．
令，则，即若的图象与直线有个交点，则，解得，
所以的取值范围是，C正确．
由，解得，
所以，D错误．
故选：．
由已知结合函数的奇偶性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，．
故答案为：．
将的值依次代入解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为是角终边上一点，
根据三角函数的定义，可得，
则．
故答案为：．
根据题意，利用三角函数的定义，求得，结合三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解．
本题考查了三角函数的定义，重点考查了三角函数的诱导公式和基本关系式，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：，
，，
，
．
故答案为：
利用圆的参数方程，，，于是，问题即可解决．
本题考查基本不等式，可以由“”求得，也可以由参数方程结合辅助角公式解决，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，，
因为在上有且仅有个零点，所以，，解得．
故答案为：．
根据的范围求出的范围，再根据余弦函数的性质以及整体代换思想化简即可求解．
本题考查了余弦函数的性质，涉及到余弦函数零点问题，属于基础题．
17.【答案】解：集合，，
．
，
．
【解析】利用交集定义能求出．
先求出，再由补集定义能求出．
本题考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：函数是偶函数，
则对任意的都有，
，
则，
即，解得；
由得，
函数在上单调递减，
证明如下：
设任意的，
则
，
因为，所以，
又因为，
所以，
即，
所以函数在上单调递减．
【解析】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查根据定义证明函数的单调性问题．
根据函数的奇偶性的定义求出的值即可；
根据函数的单调性的定义证明即可．
19.【答案】解：的最小正周期．
，．
当取最小值时，，即．
当或时，或．
故的最小值为，取最小值时的集合为．
【解析】由正弦函数的周期公式可求得答案；
利用正弦函数的性质可求得时，的最小值及取最小值时的集合．
本题考查了正弦函数的周期性与最值的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为，所以，解得或，
所以．
．
令当且仅当时，等号成立，
因为函数在上单调递增，
所以．
因为在上的最小值为，
所以，解得．
综上，的值为．
【解析】由指数的运算性质，解方程可得所求；
由二次函数的单调性和最值，以及基本不等式，可得所求值．
本题考查指数的运算性质和二次函数的单调性、最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：若选择模型，
将，代入，得，解得，，
所以；
经验证，，均不满足，
所以模型不合适．
若选择模型，
因为过点，所以模型不合适．
若选择模型，
将，代入，可得，解得，，
所以，
经验证，，均满足，
所以模型最合适，且．
，
要使生产的产品可以获得利润，则，
因为，所以，
即，
因为，所以，
所以该产品的销售单价应该高于元．
【解析】讨论选择模型，选择模型，选择模型，验证是否满足题意即可．
由题意，利用模型列不等式求解即可．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：，的定义域为．
．
因为且，，所以恒成立．
若，则函数是增函数．
因为，所以，即．
设，要使时，恒成立，
只需或；
解得．
故符合题意．
若，则函数是减函数．
因为，所以，即．
结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立．
故不符合题意．
综上，的取值范围为．
【解析】直接利用函数的关系式求出函数的定义域；
利用函数的单调性及函数的恒成立问题以及二次函数的性质判断参数的取值范围．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质，判别式和函数的恒成立问题，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
第1页，共1页