陕西省宝鸡市渭滨区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省宝鸡市渭滨区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数是上的单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知幂函数的图象经过点，则( )
A. 函数为奇函数
B. 函数在定义域上为减函数
C. 函数的值域为
D. 当时，
10.下列命题中，不正确的有( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，且，则 D. 若，且，则
11.用二分法求函数的一个零点的近似值精确度为时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是( )
A. 函数在上有零点
B. 已经达到精确度，可以取作为近似值
C. 没有达到精确度，应该接着计算
D. 没有达到精确度，应该接着计算
12.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 若定义域为，则 B. 若值域为，则或
C. 若最小值为，则 D. 若定义域为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.钟表的分针在一个半小时内转过的角是______以弧度制表示．
14.若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是______．
15.如图，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图的扇形，其中，，则扇面曲边四边形的面积是______．
16.设函数的定义域为，且，且，当时，，若，求的值 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
计算．
18.本小题分
已知．
化简；
若，求的值．
19.本小题分
已知集合，集合，．
当时，求；
若是的充分条件，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集为，求，的值；
当时，方程有一个根大于，一个根小于，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求实数的值．
试判断的单调性，并用定义证明．
解关于的不等式．
22.本小题分
已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是．
求的解析式，并求其在上的增区间；
若在上有两解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
，
又，
．
故选：．
利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用诱导公式，两角差的正弦公式化简已知即可求解．
本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
．
故选：．
利用对数函数和指数函数的单调性求解．
本题主要考查了对数函数和指数函数的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为正实数，满足，即，
则，
当且仅当，即，时取等号．
故选：．
由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为是上的单调递减，
所以，解得．
故选：．
由已知结合二次及对数函数的单调性及分段函数的性质即可求解．
本题主要考查了分段函数的性质及二次函数，对数函数单调性的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由于函数的定义域为，所以，
所以函数的定义域为，
则，解得或，
所以的定义域为．
故选：．
由，且联立求解的取值集合即可得到答案．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可．
本题考查三角恒等变换，把所求角的三角函数转化为已知角的三角函数是解题的关键，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
由于，所以的定义域为，
，
所以是奇函数，当时，为增函数，为增函数，
所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，
由得，
即，则，解得，
所以不等式的解集是．
故选：．
构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由幂函数的图象经过点，求出，由此能求出结果．
【解答】
解：幂函数的图象经过点，
，解得，
，
是奇函数，故A正确；
的减区间为，，且当时，，时，，故B错误；
的值域为，故C错误；
当时，，
所以，故D正确．
故选AD．
10.【答案】
【解析】解：当时，显然错误；
当，，，时，显然错误；
根据不等式的性质可知，若，，则，C正确；
若，且，则成立，D正确．
故选：．
举出反例检验选项AB，结合不等式性质检验选项CD．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
由函数零点存在定理知，方程在区间有实根，
而，没有达到精确度的要求，应该接着计算．
故选：．
根据零点存在定理以及所给数据求解即可．
本题考查二分法的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，若函数定义域为，则恒成立，
当时，恒成立，满足题意，
当时，则有，解得，
所以实数的取值范围为，故选项A正确；
对于，若函数值域为，则能取尽大于零的所有实数，
当时，，不满足题意，
当时，则有，解得，
所以若值域为，则，故选项B错误；
对于，若函数最小值为，则有最小值，
由二次函数的图象和性质得，解得，故选项C正确；
对于，若定义域为，则的解集为，
由二次函数的性质和韦达定理得，解得，故选项D正确．
故选：．
根据对数函数的单调性以及二次函数的性质逐项分析计算即可．
本题主要考查了二次函数、对数函数的图象和性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：分针是顺时针旋转，
一个半小时顺时针旋转了，
也即顺时针旋转了，
所以转过的角是．
故答案为：
根据任意角和弧度制的知识求得正确答案．
本题考查任意角的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为“，使得”是假命题，
所以“，使得”是真命题，
所以，解得．
故答案为：．
根据特称命题的定义和一元二次不等式的恒成立问题求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，
由题意可得，扇形的面积是，
扇形的面积是．
所以扇面曲边四边形的面积是．
故答案为：．
由大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求得．
本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，
，，
即函数的周期为，，，
则，，在中，
令，得，则，，，
．
故答案为：．
由两个等式可以判断出函数的周期，结合代入法，函数的周期进行求解即可．
本题考查函数的性质，属于中档题．
17.【答案】解：原式；
原式
．
【解析】结合指数的运算性质即可求解；
结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：由题意，；
由得，所以．
【解析】根据诱导公式化简即可；
根据齐次式化简求值．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
19.【答案】解：由，即解得：，所以．
当时，，所以．
因为是的充分条件，所以．
当时，，解得：；
当时，要满足题意需，解之得：．
综上：实数的取值范围为．
【解析】根据，分别求出集合、，即可求出；
根据是的充分条件，课确定，然后分和分别确定的取值范围，再合并在一起．
本题主要考查其他不等式的解法，属于基础题．
20.【答案】解：由题意可知，和是方程的两个实数根，
所以，且，
解得，；
当时，函数的开口向上，
则由已知可得，即，解得或，
所以实数的取值范围是．
【解析】根据题意可得，是方程的两个实数根，然后利用韦达定理建立方程即可求解；
当时，，图象开口向下，从而根据题意可得，由此即可求出的取值范围．
本题考查一元二次不等式与其所对应二次函数之间的关系，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
21.【答案】解：因为函数是定义域为的奇函数，所以，
即恒成立，
所以，解得．
函数在上为减函数，
证明如下：
由函数，任取，且，
则，
因为，所以，又因为，
所以，即，
所以函数在上为减函数．
知，函数在上为减函数，
不等式可化为，
即，
令，得，解得，
即，解得，所以不等式的解集为．
【解析】根据题意，结合，列出方程，即可求解；
化简，结合函数单调性的定义及判定方法，即可求解；
根据题意，把不等式转化为，结合换元法和指数函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：由的相邻两条对称轴的距离是，则，
，
，
函数的图像关于原点对称，
，
，
所以．
由，，
得，；
令得，
得，
在增区间是；
令，
，
则，
所以
若有两解，
即在上有两解，
由的图象可得，，
即，
，
的取值范围是．

【解析】直接利用已知条件求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间；
利用方程和函数的图象的关系建立不等式的组，进一步求出的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象和方程的解的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
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