2023-2024学年云南省玉溪市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省玉溪市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中是奇函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.计算：( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则( )
A. B. C. D.
6.为了得到函数的图象，只要把的图象上的所有的点( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
7.已知：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
8.用函数表示函数和中的较大者，记为：若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知幂函数，恒过点，则( )
A. 的定义域是 B. 是偶函数
C. 在定义域上单调递增 D. 无最小值
10.化学中会用值来判断溶液的酸碱度，值是溶液中氢离子浓度的负常用对数值，若设某溶液所含氢离子浓度为，可得，则以下说法正确的是参考数据( )
A. 若氢离子浓度扩大为原来的倍，则值降低
B. 若氢离子浓度扩大为原来的倍，则值升高
C. 若氢离子浓度扩大为原来的倍，则值降低
D. 若氢离子浓度扩大为原来的倍，则值降低
11.下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D.
12.已知函数的所有零点从小到大依次记为，，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若点在角的终边上，则 ______．
14.已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为______．
15.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式中“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得类比上述过程，则 ______．
16.已知定义在上的函数满足与均是上的偶函数，且，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，．
当时，求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若对一切实数都成立，求的值；
已知，令，求在上的最小值．
19.本小题分
若．
求的值；
求的值．
20.本小题分
某公司生产新能源汽车电池组，每年需要固定投入万元，每生产组电池，需再投入万元假设该公司生产的新能源汽车电池组全年最高能售出万组，在万组内生产的电池组能全部售完，根据以往的经验，新能源汽车电池组销售收入万元关于年销售量组的函数为．
求年利润万元关于年销售量的函数利润收入成本；
求该公司生产新能源汽车电池组的最大年利润及此时的年销售量．
21.本小题分
已知函数的图象与轴交于点，若，是方程的两个相邻的实根，且．
求的解析式；
求的单调递减区间．
22.本小题分
已知是定义在上的奇函数，且当时，．
求的解析式；
若，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据交集的概念进行求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于选项：且定义域为，
故为奇函数；
对于选项：且定义域为，
故为偶函数；
对于选项：的定义域为，故是非奇非偶函数；
对于选项：的定义域为，
，所以是非奇非偶函数．
故选：．
利用的计算结果来确定正误，利用定义域不关于原点对称就可判断选项为非奇偶函数．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以要使函数有意义，需满足且，
所以函数的定义域为．
故选：．
根据二次根式的性质，结合零次幂的性质进行求解即可．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
由已知利用特殊角的三角函数值以及二倍角的正切公式即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值以及二倍角的正切公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，可得，
所以．
故选：．
根据分段函数的解析式即可求解．
本题主要考查函数值的求解，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由于，，而，
所以，想要得到函数的图象，
只要把的图象上的所有的点向右平移个单位长度即可．
故选：．
由题意，根据三角函数的平移变换即可求解．
本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：充分性：：因为，即，所以，充分性成立；
必要性：：，不妨取，，，必要性不成立，
即是的充分不必要条件．
故选：．
先得到充分性成立，再举出反例，得到必要性不成立，即得结论．
本题考查了充必要条件的判断，考查了推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：的定义域为，且，
故为偶函数，且在上单调递增，
同理可得为偶函数，
当时，单调递减，
故在上单调递增，且时，，
故，
作出函数的图象，结合函数图象可知，的最小值为．
故选：．
先得到和为偶函数，再得到在上单调递增，并得到，得到的解析式，画出其函数图象，求出最小值．
本题以新定义为载体，主要考查了函数最值的求解，单调性及奇偶性的应用是求解问题的关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设，恒过点，解得，
即；定义域为；值域为，故无最小值；，故为偶函数；
，在上单调递增，在上单调递减，
故选：．
根据待定系数法求解幂函数的表达式，即可由幂函数的性质结合选项逐一求解．
本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
所以氢离子浓度扩大倍，则值降低，故A正确，B错误，
因为，
所以氢离子浓度扩大为原来的倍，则值降低，故C正确，D错误．
故选：．
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：，则，则，故A正确；
对于：若，取，，则，故B错误；
对于：若，则，故C正确；
对于：，故D正确．
故选：．
根据不等式的性质即可逐一求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由，可得，
函数的零点个数，即为与函数的图象交点个数．
由图象可得与函数的图象有个交点，即，故A正确，B错误；
由，，
可得，即的图象关于直线对称，
即有，
则，故C正确，D错误．
故选：．
由题意可得函数的零点个数，即为与函数的图象交点个数，结合图象可得交点个数；推得的图象关于直线对称，可得零点的和．
本题考查函数与方程的关系，以及函数的对称性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设为坐标原点，因为，由已知得，，
．
故答案为：．
由题意，根据任意角的三角函数的定义、诱导公式，计算可得答案．
本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设扇形所在圆半径为，则扇形弧长，于是，解得，
所以扇形的面积．
故答案为：．
根据给定条件，求出扇形所在圆半径，再利用扇形面积公式计算即得．
本题考查了扇形面积的求解，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解舍去负根，
可得要求的式子．
令，
则两边平方得，则，
即，解得，或舍去．
故答案为：．
通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解舍去负根，再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．
本题考查类比推理的思想方法，从方法上类比，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：定义在上的函数满足与均是上的偶函数，
由偶函数的定义可知：，所以是的对称轴；
由偶函数的定义可知：，所以是的对称轴；
方法：利用二级结论同异可得周期为，
方法：利用迭代计算周期：
，
即
迭代：令
迭代入有：
所以的周期为，且，
所以．
故答案为：．
计算出的周期，然后再计算的值．
本题考查了抽象函数的定义与性质应用问题，是中档题．
17.【答案】解：；
当时，，
，故A，，
，所以的取值范围是．
【解析】直接计算即可；
关键在于，然后计算就可以得出答案．
本题考查集合的运算，集合之间的关系，属于基础题．
18.【答案】解：因为，即，
而恒成立，
则，
所以的值为；
由已知有，
当时，，
当且仅当，即时取得最小值，
故在上的最小值为．
【解析】求出函数的最小值，使最小值大于等于，求出答案；
求出，利用基本不等式求出最值，得到答案．
本题考查函数的最值的求法及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
19.【答案】解：因为，
所以；
，
又，
所以，
故．
【解析】把角用来表示，利用诱导公式即可求解；
先利用同角三角函数的基本关系进行化简，再利用诱导公式和二倍角公式即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到诱导公式，倍角公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：当时，；
当时，，
所以；
当时，，
当时，取得最大值为；
当时，，
当且仅当，即时取得最大值，
因为，所以，
该公司年销售量为组时年利润最大为万元．
【解析】根据利润收入成本，即可求解，
根据二次函数的性质以及基本不等式即可求解最值．
本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：由题得，且，得，
，是方程的两个相邻的实根，且，
，解得，
由，
可得，或，即或，
所以的解析式为或；
当时，由，解得，
的单调递减区间为；
当时，由，解得，
的单调递减区间为．
【解析】由题意，结合，得，由题意利用正弦函数的周期性可求的值，即可得解；
利用正弦函数的单调性即可求解．
本题考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
22.【答案】解：由题意知，即，解得．
当时，；
当时，，
根据奇函数的定义可知，，
故；
由，
得在区间上恒成立．
又，所以在区间上恒成立．
设，
函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上单调递减．
又函数在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
所以，
故实数的取值范围为．
【解析】根据奇函数的性质进行求解即可；
利用变量分离法，结合指数函数的性质、函数单调性的性质、对数型函数的单调性的性质进行求解即可．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了不等式恒成立问题，通常运用常变最分离法，通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解，属于中档题．
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