(共24张PPT)
三角函数
第五章
5.1.1 任意角
5.1 任意角和弧度制
课程标准 核心素养
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 通过对任意角和弧度制的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
1．角的分类
知识点1 角的分类及加减运算
逆时针
顺时针
没有
2．角的加、减法
(1)两角相等：如果两角α、β的旋转方向相同且旋转量相等，就称α＝β.
(2)角的加法：设α、β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.
(3)角的减法：
①把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α.
②角的减法：α－β＝α＋(－β)．
[微思考]
1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？
提示：不确定，因为角的旋转量和旋转方向不确定，因而角不确定．
2．时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________．
1．象限角：以角的__________为坐标原点，角的__________为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
2．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．
知识点2 象限角
顶点
始边
[微体验]
下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中错误的序号为________．
解析 由象限角定义可知①②③④都不正确．
答案 ①②③④
1．前提：α表示任意角．
2．表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个__________的和．
知识点3 终边相同的角
周角
[微体验]
思考辨析
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( )
(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．( )
(3)终边相同的角的表示不唯一．( )
解析 由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确．
答案 (1)√ (2)√ (3)√
(1)下列说法中，正确的是________(填序号)．
①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称．
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
课堂互动探究
探究一 与任意角有关的概念辨析
解析 (1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．
(2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，
β＝－(760°－720°)＝－40°.
答案 (1)②⑤ (2)－40°
[方法总结]
判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．
[跟踪训练1] 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．
解 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
(1)下面与－850°12′终边相同的角是( )
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
答案 B
解析 与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.
探究二 终边相同角的表示
(2)写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．
∴S中适合－360°≤ β <720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
[方法总结]
在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
[跟踪训练2] 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．
解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
探究三 区间角的表示及应用
解 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
[变式探究1] 若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
[变式探究2] 若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 由题干图可知满足题意的角的集合为
{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β ≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β ≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β ≤n·180°＋105°，n∈Z}
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β ≤n·180°＋105°，n∈Z}．
[方法总结]
表示区间角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角．
2．“锐角”，“0°～90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是0°<α<90°；0°～90°的角是0°≤α<90°；小于90°的角为α<90°；第一象限的角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．
随堂本课小结
3．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
提醒：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；
(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．(共21张PPT)
三角函数
第五章
5.1.2 孤度制
5.1 任意角和弧度制
课前自主预习
知识点1 角度制与弧度制
半径长
圆心角
弧度
4．角的弧度数的求法
正角的弧度数是一个__________，负角的弧度数是一个__________，零角的弧度数是________.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝________.
[微思考]
“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
提示：“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
正数
负数
0
知识点2 角度与弧度的换算
2π rad
π rad
180°
知识点3 扇形的面积和弧长公式
αR
[微体验]
1．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为________．
课堂互动探究
探究一 角度与弧度的换算
探究二 用弧度制表示终边相同的角
[方法总结]
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
(1)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，求扇形的圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
探究三 扇形面积和弧长的计算问题
[变式探究] 在本例(1)中，若扇形的周长6 cm改为40 cm，则当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
1．角度制与弧度制的互化
角度制与弧度制是角的两种不同的度量方法，但不论用角度还是弧度，任何一个角都有唯一的一个实数与之对应，且在同一个问题中，通常选取一种度量单位，不能把角度制与弧度制混用．
随堂本课小结(共20张PPT)
三角函数
第五章
第一课时 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
5.2 三角函数的概念
课程标准 核心素养
借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 通过对三角函数概念的学习，提升“直观想象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
知识点 三角函数的定义
纵坐标y
横坐标x
[微体验]
1．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝_________，cos α＝__________，tan α＝__________.
解析 当α的终边与x轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
答案 0 －1 0
课堂互动探究
探究一 已知角的终边上一点求三角函数值
探究二 已知角α终边所在直线求三角函数值
[跟踪训练2] 已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α＋cos α的值．
探究三 含参数的三角函数定义问题
[方法总结]
当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
1．任意角的三角函数定义
三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(或坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．
2．本节课的易错点是已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．
随堂本课小结(共17张PPT)
三角函数
第五章
第二课时 三角函数值的符号及公式一
5.2.1 三角函数的概念
5.2 三角函数的概念
课前自主预习
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．
知识点1 三角函数在各象限的符号
[微思考]
三角函数在各象限的符号由什么决定？
提示 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．
知识点2 公式一
同一
sin α
cos α
tan α
(1)α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( )
A．sin α B．cos α
C．tan α D．cos α或tan α
答案 B
解析 α是第四象限角，则cos α为正．
课堂互动探究
探究一 三角函数在各象限的符号
(2)若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ________0.(填“＞”“＜”或“＝”)
解析 由sin θ·tan θ＞0，知sin θ与tan θ同号， θ是第一或第四象限角．又cos θ·tan θ＜0，得θ是第三或第四象限角．∴θ只能是第四象限的角．∴sin θ＜0，cos θ＞0.∴sin θ·cos θ＜0.
答案 ＜
[变式探究] 对于本例(2)，若改为“sin θ·tan θ＜0，cos θ·tan θ＞0”，则sin θ·cos θ的符号又如何判断呢？
解析 ∵sin θ·tan θ＜0，∴θ是第二或第三象限角．又cos θ·tan θ＞0，∴θ是第一或第二象限角．∴θ只能是第二象限的角．∴sin θ＞0，cos θ＜0.∴sin θ·cos θ＜0.
答案 <
[方法总结]
判断三角函数值在各象限符号攻略
基础：准确判断三角函数中各角所在象限；
关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度而将角所在象限判断错误．
[跟踪训练1] (1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
(2)下列各式：
①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π.
其中符号为负的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 D
探究二 公式(一)的应用
[方法总结]
利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤
1．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
2．公式一的作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．应用公式一要把握好其结构特征：
(1)左、右为同一三角函数；
(2)公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏．
随堂本课小结(共19张PPT)
三角函数
第五章
5.2.2 同角三角函数的基本关系
5.2 三角函数的概念
课前自主预习
知识点 同角三角函数的基本关系
答案 (1)√ (2)× (3)×
4．sin2 2 016°＋cos2 2 016°＝________.
解析 sin2 2 016°＋cos2 2 016°＝1.
答案 1
课堂互动探究
探究一 利用同角三角函数的基本关系求值
探究二 三角函数式的化简
[方法总结]
三角函数式化简的方法
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
探究三 利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式
[方法总结]
1．简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边．
(2)证明左、右两边等于同一个式子．
(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
2．证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则
(1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等．
(2)原则：由繁到简，变异为同．
[跟踪训练2] 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.(共18张PPT)
三角函数
第五章
第一课时 诱导公式二～四
5.3 诱导公式
课程标准 核心素养
借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(的正弦、余弦、正切). 通过对诱导公式的学习，提升“直观想象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
知识点 诱导公式二～四
[微体验]
1．思考辨析
(1)诱导公式中的角α只能是锐角．( )
(2)任意角α与－α的终边与单位圆的交点关于x轴对称．( )
(3)任意角α与π－α的终边与单位圆的交点关于y轴对称．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．sin 210°＝________；
3．tan(－60°)＝________；
课堂互动探究
探究一 给角求值问题
[方法总结]
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
探究二 给值求值问题
[方法总结]
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．
探究三 利用诱导公式化简(共15张PPT)
三角函数
第五章
第二课时 诱导公式五～六及应用
5.3 诱导公式
课前自主预习
知识点 诱导公式五～六
[微体验]
1．思考辨析
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )
答案 (1)× (2)×
课堂互动探究
探究一 利用诱导公式化简求值
探究二 证明恒等式问题
[方法总结]
证明等式的常用方法
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其常用的证明方法有：
(1)从等式的一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)“左右归一法”：即证明等式左、右两边都等于同一个式子．
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
随堂本课小结
atp:y=x
sin(罗-a=
公式五
X
cos(罗-a)=
以-代a
sin(7+a)=cos a
公式六
cos(受+片
