第2课时 勾股定理的实际应用
【基础作业】
1.一个正常运行的机器人会按照人类的指令执行操作,若一个人给机器人输入指令:“先沿正东方向行走6米,再沿正南方向行走8米”,则机器人在执行操作后所到达的位置距离出发点 ( )
A.6米 B.8米 C.14米 D.10米
2.如图,以直角三角形的两条直角边为边,在直角三角形外作两个正方形,以斜边为直径向外作半圆,若两个正方形的面积分别等于9和4,则半圆的面积为 .
3.如图,将长为8 cm的橡皮筋放置在桌面上,固定两端A和B,然后把中点C向上竖直拉升3 cm到点D,则橡皮筋被拉长 cm.
4.如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,求船向岸边移动的长度.
【巩固作业】
5.如图,从笔直的公路l旁一点P出发,向西走6 km到达l;从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是 ( )
A.从点P向北偏西45°走3 km到达l
B.公路l的走向是南偏西45°
C.公路l的走向是北偏东45°
D.从点P向北走3 km后,再向西走3 km到达l
6.乐乐在学习中遇到了这样的问题:
在如图所示的三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,将△ABC沿某一条直线剪开,使其变成两个三角形,且要求其中的一个三角形是等腰三角形,你有几种方法呢
经过思考,乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形,这条直线需要经过三角形的某个定点,请你帮助乐乐写出当这条直线经过定点A时,剪出的等腰三角形的面积是 .
7.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到如图2所示的“数学风车”,求这个“数学风车”的外围周长.
8.《九章算术》卷九中记载:今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何 译文:今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺,牵着绳索(绳索头与地面接触)退行,在距木柱根部8尺处时绳索用尽,问绳索长是多少
【素养作业】
9.在平面直角坐标系中,A(3,0),点B是坐标轴上的一点,且AB=5,则点B的坐标为 .
10.如图,这是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°.求警示牌的高CD的长(结果保留根号).
11.如图,长方体的长为20 cm,宽为10 cm,高为15 cm,点B与点C之间的距离为5 cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖,那么需要爬行的最短距离是多少
参考答案
1.D 2.π 3.2
4.解:∵在Rt△ABC中,∠CAB=90°,BC=17米,AC=8米,∴AB===15(米).
∵CD=10(米),
∴AD===6(米),
∴BD=AB-AD=15-6=9(米).
答:船向岸边移动了9米.
5.A 6.4.5或
7.解:设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x,则x2=122+52=169,∴x=13,∴“数学风车”的外围周长是(13+6)×4=76.
8.解:设绳索长为x尺,根据题意得
x2-(x-3)2=82,
解得x=.
答:绳索长为尺.
9.(-2,0)或(8,0)或(0,-4)或(0,4)
10.解:由题意可知AM=4米,∠MAD=45°,
∴DM=4米.
∵AM=4米,AB=8米,∴MB=12米.
∵∠MBC=30°,∴BC=2MC,
∴MC2+MB2=(2MC)2,
∴MC2+122=(2MC)2,
∴MC=4 米,则CD=(4-4)米.
答:警示牌的高CD的长为(4-4)米.
11.解:将长方体沿CF、FG、GH剪开,向右翻折,使面FCHG和面ADCH在同一个平面内,
连接AB,如图1,由题意可得BD=BC+CD=5+10=15 cm,AD=CH=15 cm.
在Rt△ABD中,根据勾股定理得AB===15 cm.
将长方体沿DE、EF、FC剪开,向上翻折,使面DEFC和面ADCH在同一个平面内,连接AB,如图2所示,
由题意得BH=BC+CH=5+15=20 cm,AH=10 cm.
在Rt△ABH中,根据勾股定理得AB==10 cm.
将长方体沿DC,CF,EF剪开,向左翻折,使面ADEI和面DCFE在同一平面,连接AB,如图3所示,
由题意可得BB'=B'J+BJ=15+10=25 cm,AB'=BC=5 cm.
在Rt△AB'B中,根据勾股定理得AB===5 cm.
∵15<10<5,
∴则需要爬行的最短距离是15 cm.
2第3课时 勾股定理的几何问题
【基础作业】
1.如图,数轴上点A表示的数为 ( )
A.-1 B.-
C. D.1-
2.如图,正方形网格中每个小正方形的边长为1,则连接正方形网格的任意两个格点,得到的线段长度为的线段有 ( )
A.4条 B.6条
C.8条 D.10条
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是 ( )
A.
B.4
C.8
D.4
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则线段BC的长为多少
【巩固作业】
5.如图,数轴上点A,B分别对应1,2,过点B作PQ⊥AB,以B为圆心,AB的长为半径画弧,交PQ于点C,以原点O为圆心,OC的长为半径画弧,交数轴于点M,则点M对应的数是 ( )
A.
B.
C.
D.
6.等边三角形的边长为4,则该三角形的高为 ( )
A.2 B.2
C.2 D.2
7.在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,P为边BC的三等分点,连接AP,求AP的长.
8.如图,每个小正方形的边长都为1.
(1)求四边形ABCD的周长.
(2)求点A到BC的距离.
【素养作业】
9.如图,在△ABC中,∠A=45°,AC=,AB=+1,求BC的长.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,CD⊥AB,垂足为D,CD=8.求AC的长.
参考答案
1.B 2.C 3.D
4.解:∵∠C=90°,∴DC===1.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=2∠B,∴∠B=∠BAD,
∴BD=AD=,∴BC=+1.
5.B 6.C
7.解:根据题意,画出图形如图所示.
在图1中,CP=CB=1,∴AP==;
在图2中,CP=CB=2,∴AP==.
综上所述,AP的长为或.
8.解:(1)由勾股定理得AB==,
BC==2,CD==,
AD==,
则四边形ABCD的周长=+3+.
(2)如图,连接AC.设点A到BC的距离为h.
△ABC的面积=×(2+5)×5-×1×5-×2×4=11,
则×2×h=11,
解得h=,即点A到BC的距离为.
9.解:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠A=45°,CD⊥AB,∴△ADC是等腰直角三角形,即AD=CD.
设AD=CD=x,在Rt△ADC中,由勾股定理得AC2=AD2+CD2,
即()2=x2+x2,解得x=1.
∵AB=+1,AD=CD=1,
∴BD=AB-AD=.
在Rt△BDC中,由勾股定理得BC===2,
∴BC的长为2.
10.解:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
在Rt△BCD中,BD==6.
设AC=AB=x,则AD=x-6,
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,即x2=(x-6)2+82,
解得x=,即AC=.
217.1 勾股定理
第1课时 认识勾股定理
【基础作业】
1.在△ABC中,∠A=25°,∠B=65°,则下列式子成立的是 ( )
A.AC2+AB2=BC2
B.AB2+BC2=AC2
C.AC2-BC2=AB2
D.AC2+BC2=AB2
2.若一个直角三角形的两条直角边的长分别为2和5,则斜边的长为 ( )
A. B.3 C.3 D.
3.在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为 .
4.勾股定理在《九章算术》中的表述是:“勾股各自乘,并而开方除之,即弦.”即c=(a为勾,b为股,c为弦),若“勾”为2,“股”为3,则“弦”最接近的整数是 .
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别表示∠A,∠B,∠C的对边.
(1)若a=,b=1,求c的长.
(2)若a=10,∠B=60°,求b,c的长.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,AB=17 cm,AD=8 cm,求△ABC的周长.
【巩固作业】
7.活动探究:我们知道,已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如在△ABC中,∠A=30°,AC=3,CD=CB,∠A所对的边为,满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图所示的△ABC是一个直角三角形),则满足已知条件的三角形的第三边长为 ( )
A.2 B.2-3
C.2或 D.2或2-3
8.已知直角三角形的两条边长分别为5 cm、12 cm,则第三边长为 .
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD的长为 .
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C的对边.
(1)如图1,已知a=7,c=25,求b的值.
(2)如图2,已知c=25,a∶b=4∶3,分别求a,b的值.
【素养作业】
11.如图,在长方形ABCD中,点E、F分别在边CD、BC上,且DC=3DE=9,将长方形沿直线EF折叠,使点C恰好落在AD边上的点P处,求FP的长.
参考答案
1.D 2.D 3.2 4.4
5.解:(1)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,a=,b=1,
∴c===.
(2)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=30°.
∵a=10,∴c=2a=20,b===10.
6.解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,BD=CD.
在Rt△ABD中,AD⊥BC,AB=17,AD=8,
∴由勾股定理得BD===15(cm).
∵BD=CD,∴BC=2BD=30(cm),
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=17+17+30=64(cm).
答:△ABC的周长为64 cm.
7.C 8.13 cm或 cm 9.5
10.解:(1)b==24.
(2)设a=4x,b=3x,可得c==5x=25,
解得x=5,即a=4x=20,b=3x=15.
11.解:∵DC=3DE=9,
∴DE=3,EC=6.
根据折叠的性质得EC=EP=6,∠PEF=∠CEF,∠EPF=∠C=90°.
根据长方形的性质得∠D=90°,
在Rt△DPE中,∵EP=2DE=6,
∴∠DPE=30°,∠DEP=60°,
∴∠PEF=∠CEF=×(180°-60°)=60°,
∴∠PFE=30°,
∴EF=2EP=12,
∴根据勾股定理,得FP==6
2
