第2课时 平行四边形对角线的性质
【基础作业】
1.平行四边形的对角线一定具有的性质是 ( )
A.相等
B.互相平分
C.互相垂直
D.互相垂直且相等
2.如图,在 ABCD中,下列说法错误的是 ( )
A.AC平分BD
B.AC⊥BD
C.AB=CD
D.∠BAD=∠BCD
3.如图,在 ABCD中,AC,BD为对角线,BC=10,BC边上的高为6,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.6 B.15 C.30 D.60
4.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为 ( )
A.13 B.17 C.20 D.26
5.若 ABCD一条边的长为10 cm,则 ABCD的两条对角线的长可以是 ( )
A.4 cm,6 cm B.6 cm,8 cm
C.8 cm,10 cm D.10 cm,12 cm
【巩固作业】
6.如图,在 ABCD中,AC与BD相交于点O,过点O作直线m交线段AB于点E,交线段CD于点F,则图中的全等三角形有 ( )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
7.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC,AH⊥BD于点H,若AB=2,BC=2,则AH的长为 .
8.如图,在 ABCD中,AB=3,BC=5,以B为圆心,任意长为半径作弧,分别交BA、BC于点P、Q,再分别以P、Q为圆心,大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点M,连接BM并延长,交AD于点E,则DE的长为 .
9.如图,在 ABCD中,O为对角线BD的中点,EF过点O且分别交AB,DC于点E,F,连接DE,BF.
求证:(1)△DOF≌△BOE;
(2)DE=BF.
【素养作业】
11.如图,若ABCD是老张家的一块平行四边形田地,P为水井,现要把这块田地平均分给两个儿子,为了用水方便,要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻.请你帮老张家设计一下.画出图形,并说明理由.
参考答案
1.B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7. 8.2
9.证明:(1)∵O为对角线BD的中点,∴OD=OB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DF∥EB,∴∠DFE=∠BEF.
在△DOF和△BOE中,
∴△DOF≌△BOE(AAS).
(2)∵△DOF≌△BOE,∴DF=EB.
∵DF∥EB,∴四边形DFBE是平行四边形,
∴DE=BF.
10.解:设计图形如图所示.
理由:因为平行四边形的对角线互相平分,
所以找到对角线的交点与水井点P的连线的所在直线即可.
218.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形对边、对角的性质
【基础作业】
1.下列性质中,平行四边形具有而非平行四边形不具有的是 ( )
A.内角和为360° B.外角和为360°
C.不确定性 D.对角相等
2.如图,在平行四边形ABCD中,∠B+∠D=100°,则∠A等于 ( )
A.50° B.65°
C.100° D.130°
3.如图,在 ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为 .
4.某同学要证明命题“平行四边形的对边相等”是正确的,他画出了图形,并写出了如下已知和不完整的求证.
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形.
求证:AB=CD, .
(1)补全求证部分.
(2)请写出证明过程.
【巩固作业】
5.如图,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,那么添加的条件不能是 ( )
A.AE=CF B.BE=FD
C.BF=DE D.∠1=∠2
6.如图,在 ABCD中,AB=6,BC=8,∠C的平分线交AD于点E,交BA的延长线于点F,则AE+AF的值等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
7.如图, ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0)、(3,0)、(1,2),则顶点B的坐标是 .
8.如图,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在D1处,折痕为EF,若∠BAE=55°,则∠D1AD的度数为 .
9.一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍,那么这个平行四边形的四个内角各是多少度
10.如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
【素养作业】
11.在平面直角坐标系xOy中,平行四边形的三个顶点O(0,0),A(3,0),B(3,2),则其第四个顶点C的坐标不可能是 ( )
A.(0,2) B.(6,2)
C.(0,-2) D.(4,2)
12.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD的平分线交于点E,且点E刚好落在AD上,分别延长BE、CD交于点F.
(1)CE与BF之间有什么位置关系 并证明你的猜想.
(2)AB与AD之间有什么数量关系 并证明你的猜想.
13.问题:如图,在 ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.
答案:EF=2.
探究:(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时,求AB的长;
②当点E与点C重合时,求EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,求的值.
参考答案
1.D 2.D 3.10
4.
解:(1)BC=DA.
(2)证明:如图,连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC.
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(ASA),
∴AB=CD,BC=DA.
5.A 6.C 7.(4,2) 8.55°
9.解:设平行四边形的一个内角的度数为x,则它的邻角的度数为3x,根据题意,得x+3x=180°,解得x=45°,∴3x=135°,
∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°,135°,45°,135°.
10.解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°.
∵∠A=40°,
∴∠ADC=140°.
∵DF平分∠ADC,
∴∠CDF=∠ADC=70°,
∴∠AFD=∠CDF=70°.
∵DF∥BE,
∴∠ABE=∠AFD=70°.
11.D
12.解:(1)CE⊥BF.
理由:∵BF平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠EBC.
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCD=2∠BCE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴2∠EBC+2∠BCE=180°,
∴∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠BEC=90°,即CE⊥BF.
(2)AD=2AB.
理由:∵BF平分∠ABC,
∴∠ABE=∠FBC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,
∴∠FBC=∠AEB,
∴∠AEB=∠ABE,
∴AB=AE,同理可证CD=DE,
∴AD=AE+ED=AB+CD=2AB.
13.解:(1)①如图1所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD,
∴∠DEA=∠BAE.
∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE,
∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD=5.
同理,BC=CF=5.∵点E与点F重合,
∴AB=CD=DE+CF=10.
②如图2所示.
∵点E与点C重合,∴DE=DC=5.∵CF=BC=5,∴点F与点D重合,∴EF=DC=5.
(2)分三种情况.
(i)如图3所示.
同(1)得AD=DE,
∵点C,D,E,F相邻两点间的距离相等,
∴AD=DE=EF=CF,
∴=.
(ii)如图4所示.
同(1)得AD=DE=CF,
∵DF=FE=CE,
∴=.
(iii)如图5所示.
同(1)得AD=DE=CF,
∵DF=DC=CE,∴=2.
综上所述,的值为或或2.
2
