第2课时 中位线定理
【基础作业】
1.如图,这是屋架设计图的一部分,其中∠A=30°,D是斜梁AB的中点,BC,DE垂直于横梁AC,AB=16 m,则DE的长为 ( )
A.8 m B.4 m C.2 m D.6 m
2.如图,把两根钢条OA,OB的一个端点连在一起,C,D分别是OA,OB的中点,若CD=4 cm,则该工件内槽宽AB的长为 cm.
3.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,E是AD的中点,△BCD的周长为18,求△DEO的周长.
【巩固作业】
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE的中点,连接BF.若AC=16,BC=12,则BF的长为 ( )
A.5 B.4 C.6 D.8
5.如图,在△ABC中,AB=3,AC=5,AD平分∠BAC,AD⊥BF于点D,E为BC的中点,连接DE,则DE的长是 ( )
A.0.5 B.0.75 C.1 D.2
6.如图,在△ABC中,已知AB=8,BC=5,D,E分别为BC,AC的中点,BF平分∠ABC交DE于点F,则EF的长为 .
7.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,AE=BE,BF=CF,连接EF,AD=3,CD=2,则EF的长为 .
8.如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为 .
9.如图,在△ABC中,AD是中线,AE是角平分线,点F在AE上,∠CFA=90°,试判断DF与AB的位置关系,并说明理由.
10.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M,N分别是AB,CD的中点,MN分别交BD,AC于点E,F.请写出OE与OF的大小关系,并加以证明.
【素养作业】
11.如图,在△ABC中,A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点…,依此类推,若△ABC的周长为1,则△AnBnCn的周长为 .
参考答案
1.B 2.8
3.解:∵E是AD的中点,O是AC的中点,
∴OE=CD=AB,DE=AD=BC,OD=BD.
又∵△BCD的周长为18,
∴OE+DE+OD=×18=9,
即△DEO的周长为9.
4.A 5.C 6.1.5 7. 8.
9.解:DF∥AB.
理由:如图,延长CF交AB于点G.
∵AE是角平分线,∴∠GAF=∠CAF.
在△AGF和△ACF中,
∴△AGF≌△ACF(ASA),
∴GF=CF,即F是GC的中点.
∵AD是△ABC的中线,
∴D是BC的中点,∴DF是△BCG的中位线,
∴DF∥AB.
10.解:相等.证明如下:
如图,取AD的中点G,连接MG,NG.
∵G,N分别为AD,CD的中点,∴GN是△ACD的中位线,∴GN=AC.
同理可得GM=BD.
∵AC=BD,∴GN=GM=AC=BD,
∴∠GMN=∠GNM.
又∵MG∥OE,NG∥OF,
∴∠OEF=∠GMN=∠GNM=∠OFE,
∴OE=OF.
11.
218.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定
【基础作业】
1.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为 ( )
A.1∶2∶3∶4 B.1∶4∶2∶3
C.1∶2∶2∶1 D.1∶2∶1∶2
2.如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AD=BC B.AB∥DC
C.AB=DC D.∠A=∠C
3.下列命题是假命题的是 ( )
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对角分别互补的四边形是平行四边形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
4.在所给的9×9方格中,每个小正方形的边长都是1.按要求画平行四边形,使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上.
(1)在图1中画一个平行四边形,使它的周长是整数.
(2)在图2中画一个平行四边形,使它的周长不是整数.(注:图1、图2在答题纸上)
5.如图,点E在四边形ABCD的边AD上,连接CE,并延长CE交BA的延长线于点F,已知AE=DE,FE=CE.
(1)求证:△AEF≌△DEC.
(2)若AD∥BC,求证:四边形ABCD为平行四边形.
【巩固作业】
6.如图,在 ABCD中,AB=8,E是AB上一点,AE=3,连接DE,过点C作CF∥DE,交AB的延长线于点F,则BF的长为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
7.八年级(1)班的一个互助学习小组组长收集并整理了组员们讨论如下问题时所需的条件.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上.
求证:四边形AECF是平行四边形.
条件分别是①BE=DF;②∠B=∠D;③∠BAE=∠DCF;④四边形ABCD是平行四边形.其中所填的条件符合题目要求的是 ( )
A.①② B.①②③
C.①④ D.④
8.如图,AC∥HD∥GE,AG∥BF∥CE,则图中一共有平行四边形 ( )
A.7个 B.8个
C.9个 D.10个
9.如图,在△ABC中,AB=AC=8,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上,EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是 .
10.如图,在平行四边形ABCD中,AD=12 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动,点Q在BC边上,以每秒4 cm的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点Q也停止).设运动时间为t(t>0)秒,当t= 时,以P,D,Q,B四点组成的四边形为平行四边形.
11.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)求证:AC=EF.
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.
【素养作业】
12.如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.
(1)求点C的坐标.
(2)如图2,在平面内是否存在一点H,使得以A,C,B,H为顶点的四边形为平行四边形 若存在,请写出点H坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.D 2.C 3.C
4.(1)解:答案不唯一,如:
5.证明:(1)在△AEF和△DEC中,
∴△AEF≌△DEC(SAS).
(2)∵△AEF≌△DEC,∴∠AFE=∠DCE,∴AB∥CD.
∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.
6.C 7.C 8.C 9.16 10.4.8或8或9.6
11.证明:(1)∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴AB=2BC.
又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴AB=2AF,
∴AF=BC.
在Rt△AFE和Rt△BCA中,
∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL),
∴AC=EF.
(2)∵△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°,AC=AD,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°=∠EFA,
∴EF∥AD.
∵AC=EF,AC=AD,
∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
12.
解:(1)如图,过点C作CD⊥x轴.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=AB,∠CAB=90°.
∵∠DAC+∠DCA=90°,∠DAC+∠OAB=90°,
∴∠DCA=∠OAB,且AC=AB,∠CDA=∠AOB=90°,
∴△ACD≌△BAO(AAS),
∴OA=CD=2,AD=OB=4,
∴OD=6,
∴点C的坐标为(-6,-2).
(2)设点H(x,y).
∵OA=2,OB=4,
∴A(-2,0),点B(0,-4).
若四边形ABHC是平行四边形,
∴AH与BC互相平分,
∴=,=,
∴x=-4,y=-6,
∴点H的坐标为(-4,-6).
若四边形ABCH是平行四边形,
∴AC与BH互相平分,
∴=,=,
∴x=-8,y=2,
∴点H的坐标为(-8,2).
若四边形CAHB是平行四边形,
∴AB与CH互相平分,
∴=,=,
∴x=4,y=-2,
∴点H的坐标为(4,-2).
综上所述,点H的坐标为(-4,-6)或(-8,2)或(4,-2)
2
