18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
【基础作业】
1.如图,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化,下面判断错误的是 ( )
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD的长为 .
3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=AO,求∠ABD的度数.
【巩固作业】
4.如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,矩形ABCD的面积为 .
5.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,若∠OCD=56°,则∠EAO的度数为 .
6.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形,任意切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为F,G,则EF+EG= .
7.在矩形ABCD中,AB=8,AD=7,点E在AB边上,AE=5.若P是矩形ABCD边上一点,且与点A,E构成以AE为腰的等腰三角形,则等腰三角形AEP的底边长是 .
8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.
(1)求证:DF=CF.
(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.
9.如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.
(1)实践与操作:利用尺规作线段AC的垂直平分线,垂足为O,交边AD于点E,交边BC于点F(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母).
(2)猜想与证明:试猜想线段AE与CF的数量关系,并加以证明.
10.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.
(1)求证:△PDE≌△CDF.
(2)若CD=4,EF=5,求BC的长.
【素养作业】
11.如图,在△ABC中,AH⊥BC于点H,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.
(1)求证:DF=HE.
(2)小明说:“我发现了∠BAC=∠FHE.”请你判断小明的说法是否正确,并给出理由.
参考答案
1.C 2.4
3.解:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴AO=OB.
∵AB=AO,
∴AB=AO=BO,
∴△ABO是等边三角形,
∴∠ABD=60°.
4.48 5.22° 6.
7.5或4
提示:如图.
①当AP=AE=5时,∵∠BAD=90°,
∴△AEP是等腰直角三角形,
∴底边PE=AE=5.
②当P1E=AE=5时,
∵BE=AB-AE=8-5=3,∠B=90°,
∴P1B==4,
∴底边AP1==4.
综上所述,等腰三角形AEP的底边长为5或4.
8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OC=AC,OD=BD,AC=BD,
∴OC=OD,∴∠ACD=∠BDC.
∵∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,
∴∠CDF=∠DCF,∴DF=CF.
(2)由(1)可知,DF=CF.
∵∠CDF=60°,∴△CDF是等边三角形,
∴CD=DF=6.
∵∠CDF=∠BDC=60°,OC=OD,
∴△OCD是等边三角形,
∴OC=OD=6,∴BD=2OD=12.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,
∴BC===6,
∴S矩形ABCD=BC·CD=6×6=36.
9.解:(1)如图,直线EF即所求.
(2)AE=CF.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO.
∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=CO.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴AE=CF.
10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°,AB=CD.
由折叠可得AB=PD,∠A=∠P=90°,∠B=∠PDF=90°,
∴PD=CD.
∵∠PDF=∠ADC,∴∠PDE=∠CDF.
在△PDE和△CDF中,
∴△PDE≌△CDF(ASA).
(2)如图,过点E作EG⊥BC于点G.
∴∠EGF=90°,EG=CD=4.
在Rt△EGF中,由勾股定理得FG==3.
设CF=x,由(1)知CF=PE=AE=BG=x.
∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE.
由折叠得∠BFE=∠DFE,
∴∠DEF=∠DFE,
∴DE=DF=x+3.
在Rt△CDF中,由勾股定理得DF2=CD2+CF2,
∴x2+42=(x+3)2,解得x=,
∴BC=2x+3=+3=.
11.解:(1)证明:∵AH⊥BC,
∴∠AHB=∠AHC=90°.
∵D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,
∴HE=AC,DF=AC,
∴DF=HE.
(2)正确.理由如下:
∵D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,
∴DE和DF为△ABC的中位线,
∴DE=AF=AB,DF=AE=AC,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∴∠BAC=∠FDE.
又∵DE=AB=FH,
且DF=HE,EF=FE,
∴△DEF≌△HFE,
∴∠FDE=∠FHE,
∴∠BAC=∠FHE.
2第2课时 矩形的判定
【基础作业】
1.证明:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°,
∴AD∥BC,AB∥DC(①),
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠B=90°,
∴四边形ABCD是矩形(②).
在证明过程中,依据①、②分别表示 ( )
A.①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示对角线相等的平行四边形是矩形
B.①表示同旁内角互补,两直线平行;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.①表示两直线平行,同旁内角互补;②表示对角线相等的平行四边形是矩形
2.在 ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA=1,要使平行四边形ABCD为矩形,则BD的长度是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,在不添加任何辅助线的前提下,要想四边形ABCD成为一个矩形,只需添加的一个条件是 .
4.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,且∠1=∠2,求证:四边形ABCD是矩形.
5.如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中选择一个合适的选项作为已知条件,使 ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是 (填序号).
(2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形.
【巩固作业】
6.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,AD上的动点,P是线段EF的中点,PG⊥BC,PH⊥CD,G,H为垂足,连接GH.若AB=8,AD=6,EF=4,则GH的最小值是 .
7.如图,点M,O,N在同一直线上,OB,OC分别是∠AOM与∠AON的平分线,AB⊥OB,AC⊥OC,垂足分别为B,C,连接BC交AO于点E.
(1)求证:四边形ACOB是矩形.
(2)猜想BC与MN的位置关系,并证明你的结论.
【素养作业】
8.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当线段AB与线段AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形 请说明理由.
参考答案
1.B 2.B 3.∠A=90°(答案不唯一)
4.证明:∵∠1=∠2,
∴OB=OC.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OC=OA,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
5.解:(1)①(选②也可以).
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,∴∠A+∠D=180°.
在△ABM和△DCM中,
∴△ABM≌△DCM(SAS),∴∠A=∠D,
∴∠A=∠D=90°,∴ ABCD为矩形.
(选②,先证△ABM≌△DCM(SSS),∴可先得∠A=∠D=90°)
6.
8
提示:如图,连接AC,AP,CP.
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=6,∠BAD=∠B=∠C=90°,
∴AC===10.
∵P是线段EF的中点,
∴AP=EF=2.
∵PG⊥BC,PH⊥CD,
∴∠PGC=∠PHC=90°,
∴四边形PGCH是矩形,
∴GH=CP.
当A,P,C三点共线时,CP最小,最小值为AC-AP=10-2=8,
∴GH的最小值是8.
7.解:(1)证明:∵OB,OC分别是∠AOM与∠AON的平分线,
∴∠AOM=2∠AOB,∠AON=2∠AOC.
∵点M,O,N在同一直线上,
∴∠AOM+∠AON=180°,
∴2∠AOB+2∠AOC=180°,
∴∠AOB+∠AOC=90°,
∴∠BOC=90°.
∵AB⊥OB,AC⊥OC,
∴∠ABO=∠ACO=90°=∠BOC,
∴四边形ACOB是矩形.
(2)BC∥MN.
证明:由(1)知,四边形ACOB是矩形,
∴OE=CE,
∴∠AOC=∠BCO.
∵OC是∠AON的平分线,
∴∠AOC=∠NOC,
∴∠BCO=∠NOC,
∴BC∥MN.
8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC,
∴∠ABE=∠CDF.
∵E,F分别为OB,OD的中点,
∴BE=OB,DF=OD,
∴BE=DF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:
∵AC=2OA,AC=2AB,
∴AB=OA.
∵E是OB的中点,
∴AG⊥OB,
∴∠OEG=90°,
同理CF⊥OD,
∴AG∥CF,
∴EG∥CF.
∵EG=AE,OA=OC,
∴OE是△ACG的中位线,
∴OE∥CG,
∴EF∥CG,
∴四边形EGCF是平行四边形.
∵∠OEG=90°,
∴四边形EGCF是矩形
2
