第2课时 正方形的判定
【基础作业】
1.下列命题中,正确的是 ( )
A.有一组邻边相等的四边形是菱形
B.有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.一组对边平行的四边形是平行四边形
2.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是 ( )
A.选①②
B.选②③
C.选①③
D.选②④
3.已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,请添加一个条件: ,使得 ABCD为正方形.
4.如图,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM=DN.
(1)求证:四边形EFMN是正方形.
(2)若AB=7,AE=3,求四边形EFMN的周长.
【巩固作业】
5.如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB边的中点,点F在BC边上,点B关于直线EF的对称点记为B',连接B'D,B'E,B'F.当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时,B'D的长为 ( )
A. B. C.2 D.3
6.正方形ABCD的边长为4,点M,N在对角线AC上(可与点A,C重合),MN=2,点P,Q在正方形的边上.下面四个结论中,
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形;
②存在无数个四边形PMQN是菱形;
③存在无数个四边形PMQN是矩形;
④至少存在一个四边形PMQN是正方形.
所有正确结论的序号是 .
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形.
(2)当∠BAC= °时,四边形AEBD是正方形.
【素养作业】
8.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD的中点时,有①AF=DE;②AF⊥DE成立.
试探究下列问题:
(1)如图1,若E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立 (请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)
(2)如图2,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,试直接写出AF与DE的关系,不必说明理由;
(3)如图3,在(2)的基础上,连接AE和EF,若M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.
参考答案
1.B 2.B
3.答案不唯一,如:∠BAD=90°
4.解:(1)证明:∵AE=BF=CM=DN,
∴AN=DM=CF=BE.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE(SAS),
∴EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN,
∴四边形EFMN是菱形.
∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,
∴∠ENA+∠DNM=90°,
∴∠ENM=90°,∴四边形EFMN是正方形.
(2)∵AB=7,AE=3,
∴AN=BE=AB-AE=4,
∴EN==5,
∴正方形EFMN的周长=4×5=20.
5.A 6.①②④
7.解:(1)证明:∵O为AB的中点,OE=OD,
∴四边形AEBD是平行四边形.
∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴平行四边形AEBD是矩形.
(2)90.
8.解:(1)上述结论①,②仍然成立.
理由:∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°.
在△ADF和△DCE中,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠DAF=∠CDE.
∵∠ADG+∠EDC=90°,
∴∠ADG+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.
(2)AF=DE,AF⊥DE.
(3)四边形MNPQ是正方形.
证明:如图,设MQ,DE分别交AF于点G,O,PQ交DE于点H,
∵M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,
∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,
∴四边形OHQG是平行四边形.
∵AF=DE,
∴MQ=PQ=PN=MN,
∴四边形MNPQ是菱形.
∵AF⊥DE,
∴∠AOD=90°,
∴∠HQG=∠AOD=90°,
∴四边形MNPQ是正方形.
218.2.3 正方形
第1课时 正方形的性质
【基础作业】
1.有下列四边形:①正方形,②矩形,③菱形.其中对角线一定相等的是 ( )
A.①②③ B.①②
C.①③ D.②③
2.如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为 ( )
A.
B.
C.2
D.2
3.如图,正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为BA延长线上一点,且CE=AF.连接DE、DF.求证:DE=DF.
【巩固作业】
4.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,P为边BC上一点,且BP=OB,则∠COP的度数为 ( )
A.15°
B.22.5°
C.25°
D.17.5°
5.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC上的一点,且CE=3,连接DE,动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动,设点M的运动时间为t秒,
当△ABM和△DCE全等时,t的值是 ( )
A.3.5 B.5.5
C.6.5 D.3.5或6.5
6.如图,正方形ABCD的边长为8,E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE,BC于点H,G,则BG的长为 .
7.如图1,在边长为4的正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,连接AE,过点E作EF⊥AE,交边CD于点F,若DF=2,求BE的长.
下面是小明、小华和小东三位同学关于本题不同视角下的部分思维过程:
小明:从直线BD是正方形的对称轴角度看,连接EC,如图2,则EA=EC,∠ECD=∠EAD.又∵∠ADC=∠AEF=90°,……
小华:从EF⊥AE的角度看,可以过点E作BC的平行线,交AB,CD于点M,N,如图3,通过证明△AME≌△ENF,……
小东:从EF⊥AE的角度看,还可以过点E作BD的垂线,交DC的延长线于点P,如图4,……
请结合上面三位同学的视角,选择正确的思维过程,求BE的长.
8.如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH.
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
【素养作业】
9.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的动点,且BE=CF,连接BF,DE,则BF+DE的最小值为 ( )
A.4 B.2
C.4 D.2
10.已知:正方形ABCD的两条对角线相交于点O,E是直线OC上的一动点,过点A作AG⊥BE交于点G,交BD于点F.
(1)若动点E在线段OC上(不含端点),如图1,求证:OF=OE.
(2)若动点E在线段OC的延长线上,如图2,试判断△OEF的形状,并说明理由.
参考答案
1.B 2.B
3.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠DAB=∠C=90°,
∴∠FAD=180°-∠DAB=90°.
在△DCE和△DAF中,
∴△DCE≌△DAF(SAS),
∴DE=DF.
4.B 5.D
6.1
提示:如图,连接AG,EG.∵E是CD的中点,∴DE=CE=4.∵HG垂直平分AE,∴AG=EG.设CG=x,则BG=8-x,在Rt△ABG和Rt△GCE中,根据勾股定理,得AG2=AB2+BG2,EG2=CE2+CG2.∵HG垂直平分AE,∴AG=EG,∴82+(8-x)2=42+x2,解得x=7,∴BG=BC-CG=8-7=1.
7.解:如图,过点E作BC的平行线,分别交AB,CD于点M,N.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴∠END=∠EMB=90°,
∴∠FEN+∠EFN=90°,且∠FEN+∠AEM=90°,
∴∠AEM=∠EFN.
∵EN+EM=AD=AB=AM+BM,
在△BME中,∠ABD=45°,
∴BM=EM,∴AM=EN.
又∵∠AEM=∠EFN,∠AME=∠ENF,
∴△AEM≌△EFN(AAS),∴EM=FN=BM.
∵BM=CN,
∴BM+FN=BM+CN=CF=DC-DF=4-2=2,
∴MB=EM=1,∴BE==.
8.解:(1)证明:在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,
∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.
(2)AH⊥EF.理由:如图,连接GC交EF于点O.
∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°.
又∵DG=DG,AD=CD,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCG.
∵∠ECF=90°,
GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC.
由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
9.C
10.解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴OA=OB,∠AOB=∠BOC=90°.
∵AG⊥BE于点G,
∴∠AGE=90°,
∴∠GAE+∠AEG=∠OBE+∠BEO=90°,
∴∠GAE=∠OBE.
在△AOF和△BOE中,
∴△AOF≌△BOE(ASA),∴OF=OE.
(2)△OEF是等腰直角三角形.理由:如图,连接EF,
与(1)同理可证明△AOF≌△BOE(ASA)∴OF=OE.
又∵∠BOC=90°,
∴△OEF是等腰直角三角形
2
