(共18张PPT)
三角函数
第五章
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
5.4 三角函数的图象与性质
课程标准 核心素养
借助单位圆能画出正弦函数、余弦函数的图象. 通过对正弦函数、余弦函数的图象的学习，提升“直观想象”“逻辑推理”的核心素养.
课前自主预习
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
(0,0)
(π，0)
(2π，0)
(0,1)
(π，－1)
(2π，1)
[微体验]
1．思考辨析
(1)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上形状相同，只是位置不同．( )
(2)正弦函数y＝sin x的图象关于x轴对称．( )
答案 (1)√ (2)×
答案 A
解析 由“五点法”可知选A．
(1)下列叙述正确的是( )
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
答案 D
解析 分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
课堂互动探究
探究一 正弦函数、余弦函数图象的特征
(2)对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 D
解析 如图所示为y＝cos x的图象．
可知三项描述均正确．
[方法总结]
1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．
2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
[跟踪训练1] (多选题)关于三角函数的图象，下列说法正确的是( )
A．y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称
B．y＝cos(－x)与y＝cos |x|的图象相同
C．y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称
D．y＝cos x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称
答案 BD
解析 对B，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对D，y＝cos(－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知AC均不正确．
用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sin x(0≤x≤2π)；
(2)y＝1＋cos x(0≤x≤2π)．
解 利用“五点法”作图．
(1)列表：
描点作图，如图．
探究二 用“五点法”作三角函数图象
[跟踪训练2] 利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
探究三 正弦函数、余弦函数图象的简单应用
[方法总结]
1．求f(x)－Asin x＝0(A≠0)或f(x)－Acos x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y＝－1与y＝1之间，只需考虑－A≤f(x)≤A的x的范围，在该范围内f(x)的图象与Asin x或Acos x的图象的交点的个数即方程根的个数．
2．准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解．
[跟踪训练3] 方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．
解析 作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
答案 2(共20张PPT)
三角函数
第五章
第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
5.4 三角函数的图象与性质
课程标准 核心素养
借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0, 2π]上的性质. 通过对正弦函数、余弦函数的性质的学习，提升“直观想象”“数学抽象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
1．函数的周期性
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
知识点1 正弦函数、余弦函数的周期性
最小的正数
2．正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数，____________(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是__________.
(2)余弦函数是周期函数，____________(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是__________.
2kπ
2π
2kπ
2π
[微体验]
1．思考辨析
(1)因为sin(45°＋90°)＝sin 45°，所以90°是函数y＝sin x的一个周期．( )
(2)所有周期函数都有最小正周期．( )
(3)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________．
解析 函数y＝2cos x＋5的最小正周期为T＝2π.
答案 2π
正弦函数是____________，余弦函数是____________.
[微体验]
1．函数y＝f(x)＝－sin x的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案 A
解析 因为x∈R，f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
知识点2 正弦函数、余弦函数的奇偶性
奇函数
偶函数
课堂互动探究
探究一 正弦函数、余弦函数的周期问题
[变式探究] 本例(2)中函数改为y＝cos |x|，则其周期又是什么？
解 由诱导公式得y＝cos |x|＝cos x.
所以其周期T＝2π.
探究二 正弦函数、余弦函数的奇偶性问题
(2)已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
答案 A
解析 函数的定义域为R, 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin x＋|a|，所以|a|＝0，从而a＝0.
[方法总结]
判断函数奇偶性的两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(－x)与f(x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
探究三 正弦函数、余弦函数周期性与奇偶性的综合
[方法总结]
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A、ω≠0)或y＝Acos ωx(A、ω≠0)．
随堂本课小结(共19张PPT)
三角函数
第五章
第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
5.4 三角函数的图象与性质
课前自主预习
知识点1 正弦函数、余弦函数的单调性
[微体验]
1．函数y＝2＋2cos x的单调递增区间是_____________________．
解析 函数的递增区间为[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)．
答案 [2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)
2．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)
解析 ∵0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π]上单调递减，∴cos 1>cos 2>cos 3.
答案 cos 1>cos 2>cos 3
知识点2 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
[微体验]
1．函数y＝2sin x－1的值域是________．
解析 ∵x∈R，∴－1≤sin x≤1，∴－3≤2sin x－1≤1，∴y∈[－3,1]．
答案 [－3,1]
课堂互动探究
探究一 求正弦函数、余弦函数的单调区间
[方法总结]
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．
探究二 比较三角函数值大小问题
[方法总结]
比较三角函数值大小的方法
(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值；
(2)不同名的函数化为同名函数；
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
探究三 正弦函数、余弦函数值域或最值问题
[方法总结]
求正、余弦函数最值问题的关注点
(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值要注意对a的讨论．
(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．
(3)换元后配方利用二次函数求最值．(共21张PPT)
三角函数
第五章
5.4.3 正切函数的性质与图象
5.4 三角函数的图象与性质
课前自主预习
知识点 正切函数的图象与性质
奇
2．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
3．函数y＝|tan x|的周期为________．
答案 π
课堂互动探究
探究一 正切函数的周期性与奇偶性
[方法总结]
求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
探究二 正切函数的周期性与奇偶性
探究三 正切函数的单调性(共16张PPT)
三角函数
第五章
第一课时 两角差的余弦公式
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
5.5 三角恒等变换
课程标准 核心素养
经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 通过对两角差余弦公式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
知识点 两角差的余弦公式
公式 cos(α－β)＝_______________________
简记符号 __________________
使用条件 α，β为任意角
cos αcos β＋sin αsin β
C(α－β)
[微体验]
1．思考辨析
(1)cos(α－β)＝cos α－cos β.( )
(2)cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( )
(3)若α，β为两个锐角，则cos(α－β)答案 (1)× (2)× (3)×
2．cos 15°等于________．
3．计算：cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝________.
求下列各式的值：
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
(2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°.
课堂互动探究
探究一 给角求值(化简)问题
[变式探究1] 将本例改为化简：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
解 原式＝cos(α＋β－β)＝cos α.
[方法总结]
灵活运用两角差公式进行化简求值
(1)把非特殊角转化为特殊角的和差，正用公式直接求解．
(2)先观察待求式与公式右边是否相符，即“余弦在前，正弦在后，符号相反”，可行时可通过化负角为正角，化大角为小角，调整角度和名称统一，构造公式．
[跟踪训练1] －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
探究二 给值(或式)求值问题(共23张PPT)
三角函数
第五章
第二课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
5.5 三角恒等变换
课程标准 核心素养
能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 通过对两角和与差的正弦、余弦、正切公式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
(1)推导方法：在两角差的余弦公式中以－β代替β.
(2)公式：__________________________________________.
(3)简记符号：__________________.
(4)使用条件：α，β为任意角．
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
知识点1 两角和的余弦公式
C(α＋β)
知识点2 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和
的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝______________________ α，β∈R
两角差
的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝______________________ α，β∈R
sin αcos β＋cosα sin β
sin αcos β－cosα sin β
2．sin(30°＋45°)＝________.
3．sin 36°cos 6°－cos 36°sin 6°＝________.
知识点3 两角和与差的正切公式
课堂互动探究
探究一 给角求值(化简)问题
[方法总结]
解决给角化简求值问题的策略
(1)注意分析式子的结构特点，合理选择正余弦的和差公式．
(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用．
(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角三角函数．
(4)注意对角的变换，即合理拆角或凑角．
探究二 给值(或式)求角问题
[方法总结]
解决给值(式)求角问题的方法
解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．
探究三 条件求值问题
[方法总结]
(1)给值(式)求值的策略
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．(共15张PPT)
三角函数
第五章
第三课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
5.5 三角恒等变换
课程标准 核心素养
能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 通过对二倍角的正弦、余弦、正切公式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课堂互动探究
探究一 给角求值(化简)问题
[方法总结]
应用二倍角公式化简求值的三个关注点
(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值．
(2)当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角．
(3)对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围．
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
[变式探究] 将本例(3)变为sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°，如何求值？
a=B
(a+B)
sin 2a=
a=B
C(@+B)
C2o:cos 2a=
a=B
T(@+B)
T2g:tan 2a=
二
2sin a cos a
2c0s2a-1
cos2a -sin2a
1-2sin2a
sin 2a
2tan a
cos 2a
1-tan2a(共21张PPT)
三角函数
第五章
5.5.2 简单的三角恒等变换
5.5 三角恒等变换
课程标准 核心素养
能用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 通过对简单的三角恒等变换的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
知识点1 降幂公式与半角公式
知识点2 辅助角公式
课堂互动探究
探究一 降幂、半角公式的应用
[方法总结]
三角函数式条件求值的一般步骤
(1)先化简所求的三角函数式；
(2)从角和三角函数名称两方面来寻找已知条件和所求式子之间的联系；
(3)明确关系，代入求值．
探究二 辅助角公式的应用
[方法总结]
(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．(共22张PPT)
三角函数
第五章
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
课程标准 核心素养
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．
2．能借助图象理解参数ω、φ、A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 通过对函数y＝Asin(ωx＋φ)的学习，提升“数学建模”“直观想象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
模型准备(匀速圆周运动)→模型假设(三角函数模型)→模型建立(H＝rsin(ωt＋φ)＋h)．
知识点1 匀速圆周运动的函数模型
1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
知识点2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
[微思考]
(1)把函数y＝sin x的图象向右平移2个单位能得到函数y＝sin(x＋2)的图象吗？
提示：不能，应得到y＝sin(x－2)的图象．
2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
[微体验]
把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到________的图象．
课堂互动探究
探究一 “五点法”作函数图象及相关问题
解 列表：
[方法总结]
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
探究二 三角函数图象的平移变换
探究三 三角函数图象的伸缩变换(共15张PPT)
三角函数
第五章
5.7 三角函数的应用
课程标准 核心素养
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 通过对三角函数的应用的学习，提升“数学建模”“数学抽象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义.
知识点 A, ω， φ的物理意义
最大距离
一次
次数
φ
A
ωx＋φ
3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次．
解析 观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．
答案 0.8
课堂互动探究
探究一 三角函数模型在物理学中的应用
探究二 三角函数模型在实际生活中的应用
[变式探究1] 若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？
y(cm)
E
2
0.4
0.81.2
0
B
D
F
x(s)
