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第1讲 平面向量的概念及运算
1．C
【分析】图像是个有向线段，可知其表达是一个向量.
【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.
故选：C.
2．C
【分析】由求解.
【详解】因为，
所以，
为使它们平衡，需加力，
故选：C
3．B
【解析】根据共线向量的运算及向量模的概念即可判断真假.
【详解】对于①向量与反向，且，向量与的方向相同正确；
对于②，向量与的方向相同，故②说法不正确；
③向量与同向，则向量与的方向相同正确，
故①③说法正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查了共线向量加法的运算，向量模的概念，属于容易题.
4．A
【分析】根据向量相等与共线定义即可判断结果．
【详解】单位向量的长度，则A正确，
两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，B错；
当时，与可能不共线，则C错；
两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故D错，
故选：A.
5．A
【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得；
【详解】解：
故选：A
6．A
【分析】向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，可求与的夹角.
【详解】设，，以为邻边作平行四边形，如图所示，
则有，，
由，则四边形为菱形，，
则有与的夹角为.
故选：A．
7．A
【解析】根据向量的定义即可判断；
【详解】解：速度、位移、力、加速度4个物理量是向量，它们都有大小和方向.
故选：
【点睛】本题考查向量的定义的理解，属于基础题.
8．D
【分析】通过零向量的概念判断A；
通过向量的概念判断B；
通过共线向量的定义判断C；
通过共线向量的定义判断D.
【详解】的方向是任意的，和任意向量都平行，故A正确；
向量的是既有大小又有方向的量，任意移动还是原向量，故B正确；
共线向量是方向相同或相反的向量，故C正确；
起点相同的共线向量可以是方向相反的向量，终点不一定相同，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查向量的方向问题，是基础题.
9．A
【分析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.
【详解】，.
故选：A.
10．D
【分析】先根据图得到，再根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】由题意，
所以.
故选：D.
11．B
【分析】结合图象，根据向量的线性运算法则求解即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
12．B
【解析】由于，，从而得，而由是的中点，可得，进而可得结果
【详解】解：因为，，
所以，
因为是的中点，所以，
所以，
所以，
故选：B
13．ABD
【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可
【详解】对于①，，所以①符合题意，
对于②，，所以②符合题意，
对于③，，所以③不符合题意，
对于④，，所以④符合题意，
故选：ABD
14．AB
【分析】利用平面向量的线性运算可判断AB选项；取，可判断C选项；取，可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，若，则、不一定相等，C错；
对于D选项，若，则、不一定相等，D错.
故选：AB.
15．ABC
【分析】根据相等向量的概念，可判断A错；根据相反向量的概念，可判断B错；根据向量相等，可得四点可能共线，判断C错；根据但单位向量的概念，可判断D对.
【详解】若，只能表示和的长度相等，不能说明为相等向量，A错误；
相反向量是方向相反，模相等的两个向量，B错误；
若，则A，B，C，D四点可能共线，不能构成平行四边形，C错误；
单位向量是模长等于1的向量，两个单位向量之和的模长可能仍然为1（如两单位向量夹角为时），故D正确.
故选：ABC.
16．AC
【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.
【详解】对于A：如下图所示，可知在内部，故成立；
对于B：如下图所示，可知在外部，故不成立；
对于C：因为，
如下图所示，可知在内部，故成立；
对于D：因为，
如下图所示，可知在外部，故不成立；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中CD选项中的向量关系式要根据进行化简.
17．BCD
【详解】对于A，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；
对于B，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；
对于C，若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误；
对于D，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，故D错误.
故选：BCD.
18．ABC
【分析】根据向量共线定理判断各选项即可.
【详解】因为方向相同，且，所以，A正确，
因为方向相同，且，所以，B正确，
因为方向相反，且，所以，C正确，
因为方向相反，且，所以，D错误，
故选：ABC.
19．或
【分析】由平面向量的线性运算法则即可求出结果.
【详解】若点靠近点，则由平面向量的线性运算法则可得
；
若点靠近点，则由平面向量的线性运算法则可得
；
故答案为：或.
20．24
【分析】每个小正方中有两个符合条件，找到正方形个数即可.
【详解】由题意知，的格点图中包含12个小正方形，每个小正方形的对角线长为
与平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.
故答案为：24.
21．
【分析】将转化为用来表示，解方程求得的值.
【详解】依题意,，解得.
【点睛】本小题主要考查向量的加法和减法运算，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
22．
【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则进行运算.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查向量的运算，明确向量加法和减法的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
23． ， ，，，， ，，，，
【解析】（1）在图形中找出与向量相等的向量，即找出和已知向量大小相等，方向相同的向量．
（2）与向量共线且模相等的向量，是指所有与已知向量方向相同或相反的向量，且长度相等.
（3）与向量共线且模相等的向量，是指所有与已知向量方向相同或相反的向量，且长度相等.
【详解】解：解：（1）与向量相等的向量是，；
（2）与向量共线且模相等的向量是，，，， ，
（3）与向量共线且模相等的向量，，，，
故答案为：（1），；
（2），，，，；
（3），，，，.
【点睛】向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合．
24．
【分析】依据向量加法法则去求解即可.
【详解】
故答案为：.
25．
【分析】结合向量的线性运算的加法法则得出，
根据题意求出即可.
【详解】因为,
所以,
又正方体的边长为1，所以对角线,
即，所以.
故答案为：
26．4
【分析】由向量的平行四边形法则，由向量共线，是的重心，可得，代入可得.
【详解】
因为的中点，所以，
因是的重心，所以，所以
，
故，
故答案为：4
27．
【分析】由已知可知与共线反向，令，然后由和列方程求解即可.
【详解】解：因为平面向量与的夹角是，
所以设，即，
因为，所以，得，
因为，所以，
所以，
故答案为：
【点睛】此题考查共线向量，向量的模，向量的坐标运算，属于基础题.
28．
【分析】由题意计算出的值，可得的值.
【详解】解：由
可得,
故：，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查向量的加法运算与向量的摸的求法，属于基础题型.
29．①；② ；③
【解析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解.
【详解】①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，其规律是首尾相连，同时注意加法运算结果是向量，属于中档题.
30．(1)；
(2).
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用向量的线性运算求解作答.
【详解】（1）.
（2）.
31．(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
32．(1)；(2)证明见解析.
【分析】(1)延长AG交BC于D，由重心定理可得，在中用表示出即可得解；
(2)利用(1)的结论，借助向量的线性运算即可得解.
【详解】(1)延长AG交BC于D，如图，
因点为的重心，则D是BC边中点，并且有，即，
又是的中线，则有，于是得,
所以；
(2)由(1)知：，取所在平面内任意一点O，
则有，即，亦即，
所以.
33．(1)答案见详解图形
(2)
【分析】（1）作中点，延长至，使得，结合向量线性运算的加法公式和点乘运算化简即可；
（2）将向量结合线性运算的加法和减法运算表示成以为基底的向量，由对应关系即可求解，，值．
【详解】（1）作中点，延长至，使得，
则
（2）结合向量线性运算的加法与减法运算可得
，
又，所以.
34．(1)
(2)
【分析】(1)利用向量加法的结合律，将已知式子变形为，从而可化简得出答案.
(2) 利用向量加法的结合律，将已知式子变形为，从而可化简得出答案
【详解】（1）
（2）
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第1讲 平面向量的概念及运算
一、向量的概念及表示
1.向量：既有大小又有 的量叫做向量.
2.数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量．
3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
4.向量的表示方法：如，，等.
5.有向线段可以表示向量，但向量不是有向线段．
二、向量的有关定义
1.向量的模：向量的 叫向量的模.
2.向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
3.零向量：长度为 的向量叫零向量.记作，它的方向是 的．
4.单位向量：长度等于1个单位的向量.
5.平行向量：方向 或 的非零向量，叫平行向量(共线向量).规定：与任一向量平行.
6.相等向量：长度相等且方向相同的向量.
7.相反向量：长度相等且方向相反的向量.
三、向量的加减法运算
1.三角形法则：a＋b＝＋＝
2.平行四边形法则：＝a＋b
3.a－b＝a＋(－b)
4.a－b＝－＝
5.结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
6.向量三角不等式：|a|－|b|≤|a ± b|≤|a|＋|b|
四、向量的数乘运算
1.定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
2.①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；
3.向量线性运算:λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
五、共线定理
1.向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 .
2.若平面内三点A，B，C共线，则＝x＋ .
【课堂训练】
一、单选题
1．对下面图形的表示恰当的是（ ）．
A． B． C． D．
2．作用于原点的两个力，为使它们平衡，需加力等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，均为非零向量，则下列说法不正确的个数是（ ）
①向量与反向，且，则向量与的方向相同；
②向量与反向，且，则向量与的方向相同；
③向量与同向，则向量与的方向相同.
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列说法正确的是（ ）
A．两个单位向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．下列说法中不正确的是（ ）
A．与任意一个向量都平行
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
9．如图，在正六边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，、为互相垂直的单位向量，向量可表示为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（ ）
A． B．
C． D．
12．在中，是的中点.若，，则＝（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．化简以下各式：①；②；③；④．结果为零向量的是（ ）．
A．① B．② C．③ D．④
14．（多选）已知、是实数，、是向量，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
15．下列说法错误的是（ ）
A．若，则与为相等向量
B．若与方向相反，则与为相反向量
C．若，则A，B，C，D四点一定可以构成平行四边形
D．两个单位向量之和可能仍然是单位向量
16．设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
17．下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．有向线段就是向量，向量就是有向线段.
18．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
19．在平行四边形中，、为对角线的三等分点，设，，用、表示，则 .
20．如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有 个.
21．图，在梯形，，，，，且，则的值为 .
22．化简： .
23．如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量
则：（1）与向量相等的向量有 ；
（2）与向量共线，且模相等的向量有 ；
（3）与向量共线，且模相等的向量有 .
24．化简： ．
25．已知正方形的边长为1，则 ．
26．在中，，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则 .
27．若平面向量与的夹角是，且，则等于 ．
28．已知向量则
四、解答题
29．化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
30．化简：
(1)；
(2).
31．化简
(1)；
(2)．
32．若点为的重心.
（1）化简：；
（2）求证：.
33．已知是平行六面体．
(1)化简，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的，，值．
34．化简下列各式：
(1)
(2)
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