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第2讲 数量积与平面向量基本定理
1．C
【分析】根据向量夹角公式即可求解.
【详解】解：因为，为单位向量，且，，
所以，
又，
所以，
所以.
故选：C.
2．C
【分析】由结合平面向量的减法化简计算可得出的表达式.
【详解】因为，则，可得，
所以，.
故选：C.
3．D
【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】如图所示，由是边长为的等边三角形，且，可得，
所以.
故选：D.
4．D
【分析】设，由等边三角形的性质可知，即点为的中心，从而求出，利用向量数量积公式即可计算结果.
【详解】设，则，因为为等边三角形，
所以，，同理：，，
又，所以，则，
所以点为的中心，
，，且，
则
故选：D
5．A
【分析】由题意可知：，整理得：，由和是两个不共线的非零向量，可得，解方程组即可得到所求值．
【详解】解：，，三个向量的终点在同一条直线上，
，
整理得：，
由和是两个不共线的非零向量，
，解得：，
当，，，的终点在同一条直线上．
故选：A.
6．B
【分析】根据正六边形的性质代入计算即可.
【详解】解：
，
故选：B.
【点睛】考查向量的数量积以及正六边形的性质，基础题.
7．C
【分析】根据平面向量的定义求出，再根据计算可得；
【详解】解：因为，所以， 又，向量，的夹角为，所以，所以
故选：C
【点睛】本题考查平面向量定义法求数量积，以及向量模的计算，属于基础题.
8．C
【分析】由平面向量的线性运算求解，
【详解】由题意得，
解得，
故选：C
9．A
【分析】把平方，再解方程，即可得出答案.
【详解】，所以，
解得（负值舍去）.
故选：A .
【点睛】本题考查平面向量的数量积运算.
10．B
【分析】先求出的值， 将平方转化为数量积计算.
【详解】，所以，， ，所以.
故选：B
11．B
【分析】由题意得有三种可能取值，由其中的最小值列式求解.
【详解】设，可知有三种可能取值，
，，
，而，，可得，
则最小值，解得，
因为，所以.
故选：B
12．A
【解析】利用向量加减法法则 中点的性质即可得出.
【详解】解：∵是的中点，
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查向量加减法则，考查数乘的意义．属于基础题．
13．BC
【分析】根据共线向量判断A、B，根据投影向量的定义判断C，根据数量积的运算律判断D.
【详解】对于A：当，、不平行时，满足，，得不出，故A错误；
对于B：，，所以、不共线，、可作为平面内的一组基底，故B正确；
对于C：因为，，所以， ，
所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D：，，，
，故D错误．
故选：BC．
14．BC
【分析】根据平面向量基底的定义，结合平行四边形的性质逐一判断即可.
【详解】A项中与共线，D项中与共线，B，C项中两向量不共线，
故选：BC
15．BD
【分析】根据向量的共线定理，向量垂直的数量积表示，向量的模的定义分别分析选项，即可求解.
【详解】对于A，，只需垂直即可，故A不正确；
对于B，若，且,由非零向量、、可知，
所以可得，故，故B正确；
对于C，，模相等，两向量可以不共线，故错误，故C不正确；
对于D，由可得，化简可得，故D正确.
故选：BD
16．ABC
【分析】由向量数量积的运算律可知ABC正确，不一定成立，得到答案.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，正确
对选项D：令，则，而均为任意向量，所以不一定成立，错误.
故选：ABC
17．AD
【分析】利用平面向量加法法则可判断A选项的正误，利用平面向量数量积的运算可判断BC选项的正误，利用平面向量共线定理可判断D选项的正误.
【详解】由题意可知，.
对于A选项，设线段的中点为，由平面向量加法的平行四边形法则可得，
所以，，
所以，线段的中点的广义坐标为，A选项正确；
对于B选项，，
所以，
，
故，B选项错误；
对于C选项，若，则，
C选项错误；
对于D选项，若，可设，即，
所以，，消去可得，D选项正确.
故选：AD.
18．AC
【分析】根据平面向量的数量积的定义及数量积的运算律逐项判断.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：∵，
∴与不垂直，故B错误；
对于C：∵，
∴，故C正确；
对于D：在上的投影向量的模为，故D错误.
故选：AC.
19．/
【分析】本题首先可根据题意得出，然后根据三点共线得出，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】如图，结合题意绘出图象，
因为，为边的中点，
所以，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即、时取等号，
故的最小值为，
故答案为：.
20．
【分析】选取为基底，其他向量用基底表示再运算．
【详解】由题意
，
∴，∴．
故答案为：
21．/0.5
【分析】利用向量加法、数乘的几何意义有，结合已知即可确定m、n的值，进而求.
【详解】由题设，，而，
所以，而，
所以，故.
故答案为：
22．/
【分析】根据数量积的运算律求出，再根据计算可得；
【详解】解：因为，，且，
所以，即，即，
所以，设与的夹角为，
所以，因为，
所以；
故答案为：
23．0
【分析】由向量不共线列出方程组，解方程即可.
【详解】∵不共线，∴解得
∴x＋y＝0.
故答案为：0.
24．
【分析】利用向量的投影数量公式，数量积的坐标运算公式以及向量的夹角公式求解.
【详解】∵在方向上的投影数量为，∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，
∵，∴向量与的夹角为，
故答案为：.
25．2
【分析】根据向量的线性运算，化简得到，结合，列出方程，求得，即可求解.
【详解】如图所示，，
因为，
可得，
即，所以，所以.
故答案为：.
26．/
【分析】对两边同时平方，由数量积公式求解.
【详解】因为，，又，则有，.
解得
故答案为：
27．
【分析】根据C，F，E共线，设，用表示，同理由B，F，D共线，设，用表示，利用向量相等，求得，再根据G为重心，得到，由求解.
【详解】解：如图所示：
因为C，F，E共线，设，
则，
所以，
因为B，F，D共线，设，
则，
所以，
所以，
则，解得，
所以，
又因为G为重心，
所以，
所以，
即，
故答案为；.
28．/
【分析】利用数量积的运算律及函数的最小值为，可得恒成立，从而求出，再利用数量积的运算律和二次函数的性质即可得出．
【详解】解：在中，为钝角，，函数的最小值为．
函数，
即恒成立．
当且仅当时等号成立，代入得到，
又，．
，
当且仅当时，取得最小值，
的最小值为．
故答案为：．
29．
【分析】直接由数量积的运算律以及数量积公式运算即可.
【详解】.
30．(1)9
(2).
【分析】（1）根据向量数量积的定义表达式进行计算即得；
（2）根据向量的模的计算公式计算即得.
【详解】（1）
；
（2）因，
则
，
故.
31．（1）；（2）=，=，=
【分析】（1）根据向量加法的三角形法则进行求解；（2）利用向量基本定理利用，为基底表达出、、．
【详解】（1）；
（2）在中，可得，
在中，可得，
在中，由条件可得为其重心，因此
32．(1)
(2)
【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出；
（2）设向量与的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出的值.
【详解】（1）已知，，
，
，
；
（2）设向量与的夹角的夹角为，
则，
向量与的夹角的余弦值为.
33．
【分析】利用投影向量的定义即可求解.
【详解】∵，
∴，
∴在上的投影向量为.
34．(1)
(2)
【分析】（1）代入向量模的数量积公式，即可求解；
（2）代入向量夹角的数量积公式，即可求解.
【详解】（1）是夹角为的单位向量，
．
（2）是夹角为的单位向量，
，
，
．
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第2讲 数量积与平面向量基本定理
一、向量夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b ．当θ＝，a与b ，记作a⊥b.
二、数量积
若非零向量a与b的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)，记作a·b，a·b＝ .
注意：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
向量数量积的性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1) a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2) a⊥b a·b＝0.
(3) 当a∥b时，a·b＝.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4) |a·b|≤|a||b|.
(5) cos θ＝.
三、投影向量
向量a在向量b上的投影向量为＝ (θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量)
如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角.
四、数量积的运算律
(1) a·b＝b·a
(2) (λ a)·b＝λ (a·b)＝a·(λ b)
(3) (a+b)·c＝a·c+b·c
(4) (a+b)·(a－b)＝a2－b2
(5) (a±b)2＝a2±2a·b+b2
五、平面向量基本定理
1. 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2. 基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
3. 基底不唯一，同一平面内的任意两个不共线向量都可以作为基底，零向量不能作为基底．
4. 设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则
5. 重要结论设是平面内一个基底，若，
①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，．
【课堂训练】
一、单选题
1．已知，为单位向量，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，点D在边上，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．等边边长为，，则（ ）
A． B． C． D．
4．十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得的点为的费马点.已知点为等边的费马点，且，则（ ）
A．-12 B．-36 C． D．-18
5．已知向量，不共线.若，的起点相同，且向量，，的终点在同一条直线上，则实数的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
6．已知边长为2的正六边形，则的值是（ ）
A．6 B． C． D．
7．已知向量，满足，，向量，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．5
8．在△ABC中，点D在边AB上，，记，则＝（ ）
A． B． C． D．
9．已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．1 B． C．3 D．2
10．已知，满足，，且，的夹角为，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
11．设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成.若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．0
12．在中，是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．已知，，，，是平面向量，则下列选项中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则，可以作为平面内的一组基底
C．若，，则在上的投影向量为
D．若，，，则
14．如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
15．关于同一平面内的任意三个非零向量、、，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则
16．已知向量 和实数，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知单位向量、是平面内的一组基向量，为平面内的定点，对于平面内任意一点，当时，则称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的中点的广义坐标为
B．、两点间的距离为
C．若向量垂直于向量，则
D．若向量平行于向量，则
18．已知平面向量，，与的夹角为，则（ ）
A．·= 1 B．
C． D．在上的投影向量的模为
三、填空题
19．在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为 ．
20．如图所示在中，边上的中垂线分别交、于点、，若，，则
21．已知是平行四边形对角线的交点，若，其中，则 ．
22．若，，且，则与的夹角为 .
23．已知向量不共线，实数x，y满足(2x＋y)＋(3x＋2y)＝，则x＋y＝ .
24．已知向量，，且在方向上的投影数量为，则向量与的夹角为 ．
25．在中，点在边上，且，若，则 .
26．已知非零向量，满足，，，则 ．
27．在 ABC中，，点D在边AC上，且满足，E为AB中点，CE和BD交于点F，G是 ABC的重心，则= （用表示）
28．在中，为钝角，，且，函数的最小值为，则的最小值为 ．
四、解答题
29．已知，且向量与的夹角为，求.
30．已知向量的夹角为，且，若求：
(1)；
(2).
31．（1）化简
（2）如图，平行四边形中，分别是的中点，为BF与DE的交点，若=，，试以，为基底表示、、．
32．已知，，.
(1)求；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
33．已知，|，，求在上的投影向量．
34．已知，其中是夹角为的单位向量．
(1)求；
(2)求与夹角的余弦值．
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