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第3讲 平面向量的坐标表示
一、平面向量正交分解
1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2.在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x、y，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，
3.设、，则＝( ， )，.
4.特殊向量的坐标：．
5.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
二、平面向量的坐标运算
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则
a＋b＝ ；a－b＝ ；λa＝ .
2.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则 .
三、线段的定比分点
1.若点，，为实数，且点P坐标为.
2.当P为的中点时，＝1，点P坐标为( ， ).
四、数量积的坐标表示
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .
2.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则 .
三、用坐标表示的三个重要公式
1.向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝ .
2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ .
3.设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝ .
注意：θ的取值范围是0≤θ≤π.
【课堂训练】
一、单选题
1．已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．如果向量，那么向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
4．已知，，若，则y的值为（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
5．已知四边形是边长为2的菱形，，，分别是，上的点（不含端点），且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积，若向量=(4， +-)，=(1，S)满足∥，则∠C=( )
A． B． C． D．
7．在中，，，，则（ ）
A． B．1 C． D．4
8．设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，，若，则=（ ）
A．0 B． C．6 D．
10．已知向量，且，则（ ）
A． B． C．2 D．-2
11．已知向量，若与方向相反，则（ ）
A．0 B． C．－ D．±
12．已知向量，的夹角为，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．若为坐标原点，，，，，，则的取值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
14．如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（ ）
A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个
B．满足的格点共有3个
C．存在格点，，使得
D．满足的格点共有4个
15．如图，在梯形中，，，，，，为线段的中点，为线段上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若为线段的中点，则
C． D．的最小值为6
16．已知为坐标原点，点，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．给出下列命题，其中错误的选项有（ ）
A．非零向量，满足且与同向，则
B．已知且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．若单位向量的夹角为，则当取最小值时，
D．在中，若，则为等腰三角形
18．下列说法中错误的为（ ）
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为
三、填空题
19．如图，在矩形ABCD中，，，，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则的最小值为 .
20．已知向量，，满足，则t= .
21．向量，向量，若两向量夹角为钝角，则x的取值范围为 ．
22．已知向量＝(1，2)、＝(2，λ)，，∥，则λ＝ ．
23．已知向量，，若，则实数 .
24．已知，，则在上的投影向量为 ．
25．已知，，，则 .
26．已知向量，，且，则 ．
27．已知，，则在方向上的投影为 ．
28．已知平面上三点，，，则的坐标是 ．
四、解答题
29．已知，，求：
(1)；
(2)；
(3).
30．已知向量，，函数．
(1)若，求的值；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围．
31．（1）化简下列各式:
①；
②.
（2）已知向量，，与的夹角为.
①求；
②求.
（3）已知向量，.
①若，求实数的值；
②若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
32．已知，若，，求的坐标．
33．已知向量，的坐标分别是，，求，，，的坐标．
34．已知向量，，求：
(1)；
(2)||；
(3).
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第3讲 平面向量的坐标表示
1．B
【分析】利用平方的方法化简，结合向量的数量积运算求得.
【详解】由两边平方并化简得，
所以.
故选：B
2．B
【分析】直接根据坐标的加法运算可得解.
【详解】向量，
所以，
故选：B.
3．C
【分析】分析可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.
【详解】由已知可得，，且，
所以，，解得.
故选：C.
4．B
【分析】利用平面向量共线定理求解.
【详解】解：因为，，且，
所以3y=-6，
解得y=-2，
故选：B
5．A
【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出A,B,C,D的坐标，从而得相关向量的坐标，再，设，进而得，坐标，利用公式计算，再转化为关于 的二次函数，求解最值.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由是边长为2的菱形且，可得，，，，
所以，．
因为，所以，设，则，
则，
，
所以，
因为，所以，
故选：A．
6．A
【分析】根据向量平行的坐标公式，建立条件关系，利用余弦定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】因为向量=(4， +-)，=(1，S)满足∥，
所以+--4S=0，即4S=+-，
则4×absinC= +-，
即sinC==cosC，
则tanC=1，解得∠C=.
故选A.
【点睛】本题主要考查平面向量的应用，以及余弦定理和三角形面积的计算，要求熟练掌握相应的公式．
7．A
【分析】根据给定条件，求出的坐标，再利用垂直关系的向量表示计算作答.
【详解】因，，则，又在中，，
即，则有，解得，
所以.
故选：A
8．B
【分析】直接利用向量的坐标运算法则得到答案.
【详解】．
故选：B.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于简单题.
9．C
【解析】先建立方程，再求解即可.
【详解】解：因为向量，，且，
所以，解得：，
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、向量数量积的坐标表示，是基础题.
10．D
【分析】利用列方程，化简求得
【详解】因为，，所以，又因为，所以，化简得.
故选：D.
11．C
【分析】解方程求出，再检验得解.
【详解】向量，，若与方向相反，
所以，解得.
当时，，与方向相同，与已知不相符，所以舍去.
当时，，与方向相反，符合已知.
故选：C
12．A
【分析】由可得，再由，可求出，从而可求得
【详解】解：由，得，
因为向量，的夹角为，，
所以，所以，解得，
故选：A
13．CD
【分析】根据向量模的坐标表示列出方程，化简整理可得，令，转化为二次函数即可求解.
【详解】由题意知
整理得．
令，则，且，
∴，
∴，∴的取值可能是3，6．
故选：CD
14．BCD
【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，，
设，若，
所以，，，且，，
得，，共三个，故正确．
当，时，使得，故正确．
若，则，，，且，，
得，，，共4个，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
15．AC
【分析】对于选项A，过作的垂直，再根据条件即可求出，从而判断出选项A的正误；
对于选项BCD，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD分析判断即可得出结果.
【详解】选项A，过作的垂直，交于，所以，又，，，，，
所以，故选项A正确；
建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，
选项B，因为为线段的中点，则，，，
所以，由，得到，所以，故选项B错误；
设，则，，
选项C，由，得到，解得，故选项C正确；
选项D，，，所以，
令，对称轴为，又，当时，所以的最小值为，故选项D错误；
故选：AC.
16．ABC
【分析】根据给定条件，利用向量模的坐标表示及数量积运算，结合和差角的余弦公式变形判断作答.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，
，
，
因此，B正确；
对于C，由选项B知，C正确；
对于D，，
显然与不恒等，即不恒成立，D错误.
故选：ABC
17．ABC
【分析】A选项，向量具有大小和方向的量，无法比较大小，A错误；B选项，向量夹角为锐角，要满足夹角的余弦大于0且夹角余弦值不等于1，求出且，B错误；C选项，利用向量的数量积运算法则计算得到，得到时，取得最小值，C错误；D选项，从向量的几何意义得到表示的平分线方向上的向量，由三线合一得到是等腰三角形.
【详解】向量无法比较大小，故A错误；
，要想与的夹角为锐角，
则，且，
，且，解得：且，B错误；
，
当时，取得最小值，C错误；
在中，表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
则表示的平分线方向上的向量，
由得：的平分线方向上的向量与垂直，
由三线合一可知：，则为等腰三角形，D正确.
故选：ABC
18．AC
【分析】由向量的数量积即向量的夹角的知识可判断A的正误；由向量的基本定理可判断B的正误；由向量的定义可判断C的正误；由平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识可判断D的正误．
【详解】对于A，，，且与的夹角为锐角，
，且（时，与的夹角为），所以且，故A错误；
对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，，又，
则，，
故，
而向量的夹角范围为，所以和的夹角为，故D正确．
故选：AC．
19．
【分析】构建直角坐标系，令求的坐标，进而可得，，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.
【详解】以A为坐标原点，AB，AD分别为x，y建系，则，，
又，，令，，
故，则，，
，
所以时，取最小值.
故答案为：.
20．
【分析】由向量垂直得向量的数量积为0，列出关于的方程，即可求解.
【详解】解：因为，则，即，解得.
故答案为：.
21．
【分析】由题意可得，且与 不共线，由此求得的取值集合.
【详解】∵向量，，若向量与向量夹角为钝角，
∴，且与 不共线，
即 且，
解得
故答案为：.
22．－2
【分析】首先由的坐标，利用向量的坐标运算可得，接下来由向量平行的坐标运算可得，求解即可得结果．
【详解】∵，∴，
∵∥，，
∴，解得，
故答案为：－2．
23．
【分析】两边平方后，得到，根据向量数量积计算结果.
【详解】由，两边平方得，化简得：
，
，解得：
故答案为：
【点睛】结论点睛：本题考查向量的模长，根据已知条件选择，若题目告诉的是坐标形式，利用，若题目涉及夹角，利用，考查学生的审题与计算能力，属于基础题.
24．
【分析】由投影向量的定义求结果即可.
【详解】由题意，在上的投影向量为.
故答案为：
25．
【分析】由向量共线定理的坐标表示，列出方程解得m的值.
【详解】因为，，
所以，，
由，得，得.
故答案为：.
26．10
【详解】因为向量，，且
所以，
故．
故答案为10
27．
【分析】利用在方向上的投影的定义求解.
【详解】因为，，
所以在方向上的投影为，
故答案为：
28．
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示即可得解.
【详解】因为，，，
所以，，
则.
故答案为：.
29．(1)
(2)
(3)
【分析】根据平面向量的坐标的线性运算可得.
【详解】（1）
（2）
（3）
30．(1)
(2)．
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示式算出正切值，再运用二倍角公式转化即得；
（2）先对函数式进行恒等转化成正弦型函数，由题设条件求得角，再由锐角三角形推得角范围，即得的范围.
【详解】（1）∵，∴，则；
；
（2）
，
由，得，
∵，∴，∴，即,
因为锐角三角形，可得，解得，
∴，故的取值范围为．
31．（1）①；②；（2）①；②；（3）①；②.
【分析】（1）①②根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）①根据数量积的定义计算可得；②根据及数量积的运算律计算可得；（3）①首先求出的坐标，依题意，即可求出参数的取值范围；②且与不共线，根据数量积的坐标表示及共线的坐标表示计算可得.
【详解】（1）①；
②；
（2）①因为，，与的夹角为，
所以；
②.
（3）①因为，，所以，
因为，所以，解得；
②因为与的夹角是钝角，则，解得，
又当，即时，此时与的夹角为，故，
综上可得
32．
【分析】通过两个向量等式求得两点坐标，即得的坐标.
【详解】设由 可得：即得：，即．
由可得：即得：，即.
于是.
33．，，，
【分析】根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可知：，，可得：
，
，
，
．
34．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入向量数量积的坐标表示，即可求解；
（2）根据向量的坐标，直接代入向量模的坐标表示的公式，即可求解；
（3）分别求向量和的坐标，再代入向量数量积的公式，即可求解.
【详解】（1）因为，，则.
（2）
（3）由已知可得，，
则
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