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第5讲 正余弦定理应用
一、基线
在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线.基线越长，测量的精确度高越高.
二、实际测量中的有关名称、术语
仰角与俯角 方向角 方位角
方向角：指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°.
方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角，方向角小于360°.
三、利用解三角形解决实际问题的方法步骤
1.分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图；
2.建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中；
3.求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
4.检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.
四、测量距离问题常见题型及解决办法
1.图①：AB＝.
2.图②：.
3.图③：在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中求出AB.
【课堂训练】
一、单选题
1．已知四点的坐标分别是，则四边形为
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
2．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，是的中点，是的中点，若，则=
A． B．
C． D．
4．四边形中，，，则这个四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
5．在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
6．若，且，则四边形ABCD的形状为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
7．已知定点、、、在同一个平面内，且满足，，动点，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是坐标平面上的三点，其坐标分别为，则的形状为
A．直角（非等腰）三角形 B．等腰（非等边）三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
9．已知正方形ABCD的边长为1，则等于
A． B．
C． D．
10．平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
11．在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知共面向量满足且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时, 的最大值为 ( )
A． B． C．8 D．
二、多选题
13．在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，，且对于AB上任一点P，恒有·≥·，则下列结论中正确的是（ ）
A．·＝－；
B．存在点P，使||＜||；
C．·＝0；
D．AC＝BC.
14．在直角梯形中，，，，，点P在所在的平面内，满足，若M是的中点，则的取值可能是（ ）
A．7 B．10 C．13 D．16
15．点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则点O是的重心
B．若，则点O是的内心
C．若，则点O是的外心
D．若，则点O是的垂心
16．在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
17．剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形， ，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（ ）
A． B．
C．若，则λ＋μ的最大值为 D．的取值范围是
18．已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（ ）
A． B．直线过边的中点
C． D．若，则
三、填空题
19．是边长为2的等边三角形，O为的外心，则 .
20．已知单位向量，的夹角为，向量满足，若对任意的，记的最小值为，则的最大值为 .
21．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则 .
22．已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是 ．
23．设，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 .
24．一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是 ．
25．设点是所在平面内动点，不在上，满足，且（，）， ，若，则的面积的最大值 ．
26．已知平面上的两个向量和满足，，且，，若向量，且，则的最大值为 ．
27．如图，已知矩形ABCD的边AB＝2，AD＝1.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则的最小值为 ．
28．已知的外接圆圆心为O，，，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是 .
四、解答题
29．如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上.
(1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值；
(2)若为等边三角形，求面积的范围.
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第5讲 正余弦定理应用
1．A
【分析】根据坐标写出，判断的关系即可说明四边形的形状。
【详解】由题意知，，所以，又因，所以四边形为梯形.
故选A
【点睛】本题考查向量平行，属于基础题。
2．B
【分析】先明确速度是一个向量，然后可作图分析.
【详解】
由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为.注意速度是有方向和大小的，是一个向量.
【点睛】本题考查向量加法法则的应用，难度较易.物理学中常见的速度、加速度、位移等都可以称作向量或者矢量，可进行向量的加减法运算.
3．D
【分析】建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，利用可得答案.
【详解】以为原点，分别以为轴的正半轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设，
则，
则，
因为，
可得，
即，解之得，所以.
故选：D.
4．A
【分析】由可得，且，即四边形为平行四边形，又，即四边形为菱形，即得解
【详解】由题意，
即，且
故四边形为平行四边形
又
故
即四边形为菱形
故选：A
5．B
【分析】由，可得，分析即得解
【详解】由题意，
，又
为钝角
则的形状是钝角三角形
故选：B
6．D
【解析】根据向量共线的性质及平面几何的性质可判断.
【详解】解：∵
所以四边形是梯形
又
所以梯形是等腰梯形
故选：
【点睛】本题考查向量共线的应用，属于基础题.
7．C
【分析】设|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，运用向量的数量积的定义可得r＝4，△ABC为等边三角形，边长为4，以A为原点，建立平面直角坐标系，得到B，C的坐标，动点P的轨迹方程为x2+y2＝4，利用中点坐标公式和两点间的距离公式求解即可．
【详解】设|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，∴点O为三角形ABC的外心，且半径为r
∵
则有r2cos∠AOB＝r2cos∠BOC＝r2cos∠COA＝﹣8，
可得cos∠AOB＝cos∠BOC＝cos∠COA＝，
则r＝4，△ABC为等边三角形，边长为4，
∵动点P，Q满||＝2，
∴动点P的轨迹是以点A为圆心，以2为半径的圆，点P，Q，C在同一直线上，
以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B（﹣2，﹣6），C（2，﹣6）
则动点P的轨迹方程为x2+y2＝4，
设点P的坐标为（2cosθ，2sinθ），设点Q的坐标为（x，y），
∴＝（x﹣2cosθ，y﹣2sinθ），＝（2﹣x，﹣6﹣y），
∵，∴（x﹣2cosθ，y﹣2sinθ）＝（2﹣x，﹣6﹣y），
∴x＝+cosθ，y＝sinθ﹣3，∴Q（cosθ+，sinθ﹣3），
∴|BQ|2＝（cosθ+3）2+（sinθ+3）2＝6sinθ+6cosθ+37＝12sin（θ）+37，
∵sin（θ）∈[﹣1，1]．∴|BQ|2∈[25，49]，∴|BQ|∈[5，7]．
故选：C
8．C
【分析】用向量法判断三角形形状可将每一条线段转化成向量的坐标表示法，再根据向量垂直的条件和模长公式来进行判断
【详解】∵，且，∴为等腰直角三角形.
答案选C
【点睛】此题还可采用把点还原坐标法，根据坐标中呈现形状，再采用向量法来进行证明
9．C
【分析】根据题意，分析易得正方形ABCD中，由向量加法的性质可得，由向量模的公式计算可得答案
【详解】如图，因为正方形的边长为，
则，因为，所以，故选C．
【点睛】本题考查向量模的计算，关键是利用向量的加法计算的值．
10．C
【分析】设，，，作关于的对称点，如图根据向量的线性运算化简题中的等式，利用点关于直线的对称性可得，结合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根据即可求解.
【详解】解：由题意得：
如图所示：
设，则点在线段OB上运动
故
设
，即
作关于的对称点，设
，即
在中，，，
由余弦定理可得：，解得：
故选：C
11．B
【分析】由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，利用相似关系可得的轨迹是以为圆心，半径为的圆，再根据点到圆上距离最值关系求解即可.
【详解】由于，则点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，
点是的中点，取的中点，连接如图，
则，
当三点共线时，点在之间时，取最小值，；
当点在之间时，取最大值，，
从而的的取值范围是.
故选：B．
12．C
【分析】先固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，得知点B的坐标，利用OB=BC，得，然后利用平面向量的几何意义的最小值为，，然后求得答案即可.
【详解】
如图，固定向量，则向量分别在以(4,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中 易知点B的坐标
因为
所以OB=BC，即
整理可得 ，所以
而的最小值为，
即
将，当时取最大值，此时
故的最大值为8
故选C
【点睛】本题主要考查了平面向量与平面几何的综合知识，利用圆的性质，平面向量的几何意义，是一道综合性较强的题目，属于难题.
13．AD
【分析】由题意画出图形，利用平面向量的加减运算及数量积运算逐一分析四个命题得答案.
【详解】A, 因为，故A正确.
B：由A知，，又·≥·恒成立，
，即恒成立，B不正确.
C：由恒成立，是点D与直线AB上各点距离的最小值，，，故C错误.
D：取AB的中点为，，为OB中点,，
，△ABC等三形，,故D正确.
故选：AD.
14．BC
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由，可确定点P在以D为圆心，1为半径的圆上，设，由三角恒等变换与平面向量模长坐标运算即可化简为正弦型三角函数，结合函数性质可得其取值范围，从而得答案.
【详解】以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
则点P在以D为圆心，1为半径的圆上，可设，
由题意知，，则，
所以，
则
，其中，
所以.
故选：BC.
15．BCD
【分析】根据题意构造菱形，再证明在角平分线上即可判断哪A，构造等腰三角形，可证得垂直底边，故可得是角平分线，即可判断B，由三角形中线的向量表示化简可得在三角形边的中垂线上即可判断C，利用向量减法及数量积为0可证得即可判断D.
【详解】对于A，在AB，AC上分别取点D，E，使得，
则，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，
则四边形ADFE是菱形，且，
平分，，
，即，
，
三点共线，即在的平分线上，
同理可得O在其它两角的平分线上，所以O为的内心，故A错误；
对B，在AB，AC上分别取点D，E，使得，如图，
则，且，
因为，即，又知，平分，
同理，可得平分，故O为的内心，故B正确；
对C，取的中点分别为，如图，
，，
即，所以O是的外心，故C正确；
对D，由，可得，即，
所以，即点O是的垂心，故D正确.
故选：BCD
16．BC
【分析】由数量积的定义及性质，得出，，由余弦定理求得BD，进一步根据几何关系得为正三角形，.
即可以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标法可表示出，，讨论值域即可
【详解】由题，
，又，则，
则，为正三角形，，
故以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，设，则，
则，
则当时，取最小值；当时，取最大值3，故.
故选：BC
17．ACD
【分析】把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，连接，，连接，交于点，过作，垂足为点，过作，垂足为点，利用数量积结合选项即可逐一求解．
【详解】如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，
连接，，连接，交于点，易得，在上，．
过作，垂足为点，过作，垂足为点．
由题意得，，所以，
，
所以，所以，A正确．
计算，所以B错误；
，所以，
，
所以，即，
连接，取的中点，连接，则，所以，
当点与点重合时取得最大值，所以的最大值为：
， C正确；
因为四边形为矩形，所以，，
所以，
当与重合时，取得最大值为，
当与重合时，取得最小值为，
所以的取值范围是，， D正确．
故选：ACD．
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
18．ACD
【分析】根据向量间的线性关系及向量数量积的运算律化简求值判断A、D；若得到是△的重心，根据与不平行、相关三角形面积关系判断B、C.
【详解】，则，A正确；
若，则，
所以是△的重心，
直线过中点，而与不平行，
所以直线不过边的中点，B错误；
又，而，，
所以，C正确；
若，且，
所以，
而，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：注意向量之间的线性关系，结合向量数量积的运算律化简求值；根据重心的性质求三角形的面积关系.
19．4
【分析】取BC边的中点D，连接AD，由平面几何知识得，又由，代入由向量的数量积的定义可得答案.
【详解】取BC边的中点D，连接AD，
因为O为边长为2的等边三角形的外心，所以，
又因为，所以，
所以，
故答案为：4.
【点睛】本题考查平面几何图形中的向量数量积运算，关键在于将向量进行线性表示，转化为已知向量的数量积，属于基础题.
20．
【解析】对式子进行配方，可以确定终点的轨迹，最后利用圆的几何性质求出的最大值.
【详解】由推出，所以，如图，终点的轨迹是以为半径的圆，设，，，，所以表示的距离，显然当时最小，的最大值为圆心到的距离加半径，即.
故答案为：
【点睛】本题考查了配方法，考查了圆的几何性质，考查了平面向量数量积的运算，考查了数学运算能力.
21．/
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】由题意知，
则
，因为，，
即，所以.
故答案为：
22．/0.25
【分析】画出图形，求出内切圆半径，设出，表达出，结合求出最值.
【详解】如图，，故菱形内切圆半径为点到的距离，
故内切圆半径，
由对称性可知，关于轴对称，设，，
则，，
其中，故
，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：
23．
【分析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，即可求解.
【详解】因为，，
所以，
当与的夹角为钝角时，，
解得：，
当与反向共线时，，解得，,
所以的取值范围为
故答案为：
24．10 J
【详解】由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小
|F|＝×20 N＝10 N，
∴W＝|F|·|s|＝10 J.
或由斜面高为m，W＝|G|·h＝20×J＝10 J.
答案为10 J
25．9
【分析】以所在直线为轴，的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：则，，设，，由得，由可得，，利用可得代入可得，利用换元法可得取得最大值，即中以为底的高的最大值为，由面积公式可得结果.
【详解】以所在直线为轴，的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
则，，
因为，所以为的外心，设，，
由得，化为，
由可得，
即为，，
联立以上两式解得，，
由可得，即，代入，可得，
令，则，
所以当即时，取得最大值，从而取得最大值，即中以为底的高的最大值为，
所以的面积的最大值为.
故答案为：9
【点睛】本题考查了建立坐标系求平面向量基本定理中的参数，考查了利用坐标法解决平面向量基本定理问题，属于中档题.
26．/
【分析】取线段的中点，分析可知，，利用三角不等式可求得的最大值.
【详解】解：因为，，且，，则，
如下图所示，取线段的中点，
则，且，
，
由可得，
，，
在以为圆心，为半径的圆上，
所以，当且仅当、共线时，等号成立，
故的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量模长的最值问题，解题的关键在于求出、的值，再结合三角不等式求出的最值.
27．
【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设,进而写出的坐标，运用向量的数量积可得，再分离常数，进行配凑，运用基本不等式即可求得最小值.
【详解】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)．
设,则.
因为
,
当且仅当时，“＝”成立，所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和利用基本不等式求最小值，其中根据题意建立平面直角坐标系，利用向量的数量积的运算公式，建立函数的解析式，利用利用基本不等式求最小值是解答本题的关键，试题综合性强，有一定难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
28．
【分析】首先求得，进而用表示出，由此化简，结合二次函数的性质，列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】先求：
如图所示，设是线段的中点，由于是三角形外接圆的圆心，故，所以，同理可得.
由于
故，即，解得，将上式代入并化简得，由于，依题意有最小值，结合二次函数的性质可知当时，有最小值.由解得.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的运算，考查圆的几何性质，考查方程的思想，考查二次函数在给定区间上有最小值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
29．(1)
(2)
【分析】（1）建立坐标系，利用向量坐标运算结合二次函数的性质得到所求最小值；
（2）设正三角形的边长为，设，则，
则,，利用向量的投影向量关系在上的投影向量为,在上的投影向量为, 得到、的关系，利用三角函数公式化简，利用三角函数的性质求得正三角形的面积的取值范围.
【详解】（1）以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,
由已知可得点的坐标为，设,
则，
∴，
当且仅当时，取得最小值；
（2）设正三角形的边长为，
对于直线l上任意一点A，对于不同的情况如图所示：
设，则，则,，
在上的投影向量为,在上的投影向量为,
,
∴，∴，
又∵，∴，∴,
面积的取值范围是.
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