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第6讲 复数
一、复数的有关概念(a，b∈R)
1.定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是 ，虚部是 .
2.虚数单位：规定i2＝ ，我们把i叫作虚数单位．
3.表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi．
4.复数集：全体复数组成的集合，用大写字母C表示．
二、复数a＋bi的分类
1.当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
2.当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
三、复数相等
a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
四、复数的几何意义
1.复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
复数z＝a＋bi与复平面内的向量是一一对应的．
【注意】实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为
(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3.复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ (r≥0，r∈R)．
五、共轭复数
1.如果两个复数的实部 ，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
2.复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi时，＝ .
3.（1）任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称.
六、复数的加减法
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
2.对任意的z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
3.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
七、复数加法与减法的几何意义
1.已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其对应的向量，，所以复数z1＋z2对应的向量是，复数z1－z2与向量对应．
复数三角不等式：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
八、复数的乘法
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.对于任意z1、z2、z3∈C，有z1·z2＝z2·z1；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．
3.复数的乘方：zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝ (z≠0)．
4.i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1，i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝0．
九、复数的除法
规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）
＝＝(c＋di≠0)．
十、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：
1.当时，；
2.当时，（两根互为共轭复数）
【课堂训练】
一、单选题
1．设复数，若，则实数（ ）
A．0 B．2 C． D．
2．设复数z满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，若复数(是虚数单位)是纯虚数，则（ ）
A．或 B． C． D．
5．设复数z满足|z+1|＝|z-i|，z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．x＝0 B．y＝0 C．x-y＝0 D．x+y＝0
6．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
7．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若复数表示的点在第三象限，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．5
12．非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（ ）
A．、、三点共线 B．是直角三角形
C．是等边三角形 D．以上都不对
二、多选题
13．若复数满足(为虚数单位)，则下列结论正确的有（ ）
A．z的虚部为 B．
C．z的共轭复数为 D．z是第三象限的点
14．对于复数 （∈R），下列说法正确的是（ ）
A．若，则为实数
B．若，则为纯虚数
C．若，则或
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
15．设为复数，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若互为共轭复数，则为实数 D．若为虚数单位，n为正整数，则
16．已知集合，其中为虚数单位，则下列属于集合的元素是（ ）
A． B． C． D．
17．已知与是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知，则（ ）
A．存在实数解
B．共有20个不同的复数解
C．的复数解的模长都等于1
D．存在模长大于1的复数解
三、填空题
19．已知复数，则 ．
20．复数 ．
21．复数（其中为虚数单位）的虚部为 ．
22．已知复数为虚数单位），则 ．
23．已知为虚数单位，则复数可化简为 ．
24．已知是虚数单位，则复数 .
25．若复数z满足，则 ，(i为虚数单位，以下各题相同)
26．复数 的虚部为 ．
27．已知z1＝1＋i，z2＝cos θ＋(sin θ－1)i，且z1＋z20，则θ＝ .
28．若，则复数 .
四、解答题
29．计算：
(1)
(2)
(3)
30．化简：．
31．已知复数满足：.
(1)求复数；
(2)化简：.
32．化简：，，，，，，，．
33．计算下列各题:
(1)；
(2).
34．（1）化简 ；
（2）已知复数的，求
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第6讲 复数
1．A
【解析】利用共轭复数及复数相等的定义即可得到答案.
【详解】因为，所以，解得．
故选：A.
【点睛】本题考查复数的概念，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.
2．B
【分析】利用复数除法法则计算出，进而根据共轭复数和模长公式计算即可.
【详解】，
故，.
故选：B
3．C
【分析】根据复数的除法运算法则化简，再由虚部的定义求解即可.
【详解】复数
所以的虚部为，
故选：C.
4．C
【分析】根据纯虚数，实部为零且虚部不为零，即可求出实数.
【详解】由复数(是虚数单位)是纯虚数，
得：，即.
故选：C.
5．D
【分析】由复数z满足|z+1|＝|z-i|，利用模的计算公式可得：化简即可得到答案．
【详解】复数z满足|z+1|＝|z-i|，
∴，化简，得x+y＝0.
故选：D．
【点睛】本题主要考查复数模的运算，涉及到复数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
6．D
【分析】由复数除法法则求得后可得，从而得出其虚部．
【详解】由题意，所以，的虚部为．
故选：D．
7．A
【分析】把复数写成代数形式，然后由实部、虚部对应的关系求解．
【详解】因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以解得.
故选：A．
8．B
【分析】根据题意得出，解出不等式即可.
【详解】复数表示的点在第三象限，
，解得.
故选：B.
9．A
【分析】由复数的四则运算以及复数的几何意义即可得解.
【详解】由题意，所以复数在复平面内对应的点为，它在第一象限.
故选：A.
10．A
【分析】根据复数的除法运算法则以及共轭复数的定义即可求解.
【详解】由得
，
所以
故选：A．
11．B
【分析】利用复数的除法可求，从而可求其模.
【详解】由题设可得，故，
故，
故选：B.
12．B
【分析】设，根据，可得，从而可将复数用表示，再判断各个选项即可.
【详解】解：设，
则，故，
因为，所以，
所以，
所以或，
故或，
当时，，
当时，，
所以，所以是直角三角形，
故、、三点不共线且不是等边三角形.
故选：B.
13．BC
【分析】由求出复数，然后逐个分析判断即可
【详解】∵，∴，
所以虚部为，，共轭复数为，z是第四象限的点.
故选：BC
14．AD
【分析】对A，根据实数的定义分析即可；
对BC，举反例判断即可；
对D，根据复数的几何意义判断即可
【详解】对A，则若，则为实数，故A正确；
对B，若，则为0为实数，故B错误；
对C，如，故C错误；
对D，若，则点Z的集合所构成的图形为以坐标原点为圆心，半径为1的圆内，其面积为，故D正确；
故选：AD
15．BC
【分析】根据复数的模、复数乘法、共轭复数、复数的乘方等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A项，取，满足，但是不成立，故A项错误；
对于B项，当时，有，又，所以，故B项正确；
对于C项，互为共轭复数，则，
即为实数，故C项正确；
对于D项，，故D项错误．
故选：BC
16．BC
【分析】先求得集合，然后结合复数运算对选项逐一计算，由此确定正确选项.
【详解】依题意，
，A错误，
，B正确，
，C正确，
，D错误.
故选：BC.
17．AC
【分析】设，根据复数的运算，可得A正确；分别求出，得到B不正确；根据，可得C正确；根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解．
【详解】设，
由，，所以，所以A正确；
则，，所以B不正确；
由，所以C正确；
由不一定是实数，
所以D不一定正确.
故选：AC
18．BC
【分析】设，利用换元法可求得，从而可判断的20个复数解的模都是1.
【详解】设，则，
于是，这两个t的取值都在区间内．
故有解，
因此有20个不同的复数解．
当时，由于，
因此的复数解的模长都等于1．
综上所述，选项BC正确．
故选：BC.
19．
【解析】根据共轭复数的概念，先得到，再由复数的乘法运算，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查共轭复数的相关计算，属于基础题型.
20．
【分析】利用复数的乘法和除法进行求解.
【详解】.
故答案为：
21．
【分析】由复数的概念可直接得到虚部.
【详解】由复数的概念可知复数的虚部为.
故答案为: .
22．2
【解析】由已知直接利用复数模的计算公式求解.
【详解】由复数，则.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数模的求法，属于基础题.
23．
【分析】根据复数的除法运算及加法运算计算即可得解.
【详解】解：.
故答案为：.
24．
【解析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用复数的除法运算法则化简复数常用的方法：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
25．
【分析】由复数的除法运算即可得到答案.
【详解】由得
故答案为：.
26．.
【详解】试题分析：因为，所以复数 的虚部为-1.
考点：复数的运算.
27．2kπ，k∈Z.
【分析】根据z1＋z2＝1＋cos θ＋isin θ，由z1＋z20求解.
【详解】∵z1＋z2＝1＋cos θ＋isin θ0，
∴
∴，k∈Z.
故答案为：2kπ，k∈Z.
28．0
【解析】设，由已知可得复数对应的点为线段垂直平分线和线段垂直平分线的交点，联立两垂直平分线方程，求解即可.
【详解】设，
，复数对应的点在线段的垂直平分线上，
其方程为，，
复数对应的点在线段的垂直平分线上，其方程为，
所以复数对应的点为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数、复数减法和复数模的几何意义，将代数问题几何化，减少计算量，属于基础题.
29．(1)0
(2)
(3)
【分析】根据复数的加法运算公式，乘除运算公式逐个计算即可求解.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
30．
【分析】直接利用复数的除法运算即可.
【详解】
故答案为：
31．(1)
(2)
【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方程组，求出，从而可得出答案；
（2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.
【详解】（1）解：设复数，
根据题意得，
，
则，
；
（2）解：由（1）得，
则
.
32．.
【分析】由复数的乘方法则即可求解.
【详解】由复数乘方法则可知，
所以，，，，
，，，.
33．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可；
（2）利用复数的四则运算求解即可.
【详解】（1）
.
；
（2）
.
.
34．（1）；（2）
【分析】（1）应用复数的乘法计算即可；
（2）先化简得，再应用复数的除法运算可得结果.
【详解】（1）;
（2）由已知得，
∴ .
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