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第7讲 基本立体图形与直观图
一、空间几何体
1.多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
2.旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.
二、棱柱
1.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱.其中两个互相平行的面叫做棱柱的 ，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的 ，他们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的 ；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
2.按底面多边形的边数可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；按侧棱与底面的位置关系可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；
(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．
(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．
(3)正棱柱：底面是 的 棱柱．
(4)平行六面体：底面是 的四棱柱．
三、棱锥
1.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
这个多边形面叫做棱锥的 ；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的 ；相邻侧面的公共边叫做棱锥的 ；各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
2.按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥，其中三棱锥又叫 .
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做 .
四、棱台
1.用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和 ；其他各面叫做棱台的 ；相邻侧面的公共边叫做棱台的 ；侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点.
【注意】棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；侧面都是梯形；各侧棱的延长线交于一点.
2.由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
五、圆柱
1.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 ；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 ；
无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的 .
2.圆柱的母线有无数条，都平行与轴；圆柱的轴截面为矩形.
六、圆锥
1.以直角三角形的一条 所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.圆锥也有轴、底面、侧面和母线.
2.底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线，母线有无数条且长度相等.
七、圆台
1.定义一：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
2.定义二：以直角梯形垂直底边的 所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.
3.圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；
轴截面为 .
八、球
1.半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心；连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.
九、简单组合体
组合体可以由简单几何体拼接、截去或挖去一部分形成.
十、立体图形的直观图
1.斜二测画法是一种平行投影画法，我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
2.平面图形直观图的画法步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的轴与轴，两轴相交于．画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于，且使（或），它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段．
(3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
3.空间几何体直观图的画法步骤
(1)与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；
(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
4.直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”：坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，图形改变.
“三不变”：平行性不改变，与x轴和z轴平行的线段长度不改变，相对位置不改变.
4.
【课堂训练】
一、单选题
1．如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱
2．如图，已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．过正三棱柱底面一边的截面是（ ）
A．三角形 B．梯形
C．不是梯形的四边形 D．三角形或梯形
4．下列说法不正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体 B．三棱台是五面体
C．正方体是四棱柱 D．四棱柱是长方体
5．如图，用斜二测画法画出水平放置的四边形的直观图为四边形，已知，，则（ ）
A． B． C． D．2
6．如图，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm．
A．12 B．16 C． D．
7．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当时，（ ）
A． B． C． D．
8．下列结论不正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
C．存在每个面都是直角三角形的四面体
D．棱台的侧棱延长后交于一点
9．用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为：（ ）
①三角形②四边形③五边形④六边形⑤圆
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤
10．下列说法中正确的是（ ）
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱
11．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为（ ）
A．正六边形 B．五边形 C．矩形 D．三角形
12．如图，在中，，，点E为线段AB上一点，将绕DE翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得，记为的最小值，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
14．下列命题中不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱
C．正三棱锥就是正四面体
D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
15．在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在四个点，使得这四个点构成平行四边形
B．存在四个点可以构成正四面体
C．不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形
D．存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体
16．如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，为的中点，且轴，轴，那么在原平面图形中（ ）
A．与相等
B．的长度大于的长度
C．的长度大于的长度
D．的长度大于的长度
17．正方体绕直线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
18．下列命题中正确的有
A．空间内三点确定一个平面
B．棱柱的侧面一定是平行四边形
C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上
D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内
三、填空题
19．已知，用斜二测画法作它的直观图，若是斜边平行于铀的等腰直角三角形，则是 三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）.
20．长宽高分别为a，b，c的长方体，其对角线的长为 .
21．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形的面积为，则原梯形的面积为 .
22．在三棱锥中，，分别是和的重心，则直线与的位置关系是 ．
23．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是 ．
24．一个圆锥的底面面积是S，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积是 ．
25．一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是 ．
26．边长为2的正方形的斜二测直观图的面积为 .
27．已知棱长为4的正四面体的四个顶点都在同一球面上，过棱的中点的一个平面截此球所得截面面积为（），请写出一个符合条件的的值： ．
28．已知圆柱底面圆心分别为，，圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面 圆柱侧面均相切，过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为12，若为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球的交线长为 .
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第7讲 基本立体图形与直观图
1．B
【分析】直接观察,即可出答案.
【详解】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.
故选：B.
2．D
【分析】由圆锥的底面周长与侧面展开图的半圆弧相等，结合弧长公式列方程即可求母线长.
【详解】由题设母线长为，则，可得.
故选：D.
3．D
【分析】由正三棱柱截面的性质，若上部不过上底顶点，则所截四边形上下底平行，即为梯形；若上部过顶点，则为三角形，进而可确定正确选项.
【详解】当截面上部不过上底面的顶点时，所得截面为梯形，如下图：
当截面上部过底面的顶点时，所得截面为三角形，如下图：
故选：D
4．D
【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的定义，判断选项即可.
【详解】解：根据棱柱、棱锥、棱台的定义，选项A、B、C正确；
对选项D：只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体，所以四棱柱是长方体不正确；
故选：D.
5．C
【分析】画出四边形，分析可知四边形为直角梯形，根据题中所给数据可计算出的长.
【详解】作出四边形如下图所示：
由题意可知，四边形是直角梯形，且，，，
过点作，垂足为点，
因为，，，则四边形为矩形，且，，
所以，，由勾股定理可得.
故选：C.
6．B
【分析】根据直观图与原图形的关系，可知原图形为平行四边形，结合线段关系即可求解.
【详解】根据直观图，可知原图形为平行四边形，
因为正方形的边长为2cm，
所以原图形 cm，
，则，
所以原平面图形的周长为，
故选：B.
【点睛】本题考查了平面图形直观图与原图形的关系，由直观图求原图形面积方法，属于基础题.
7．B
【分析】根据题中所给的公式，结合勾股定理进行求解即可.
【详解】解：由已知可得平面中心到球心的距离为，
又球冠底面周长为，所以，
又，所以，
因为，即，
解得，即，
故，
故选：B．
8．A
【分析】利用棱柱的定义判断A；利用直棱柱的定义判断B；画出图形判断C；棱台的定义判断D.
【详解】对A，有两个面互相平行，其余各面为四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面围成的多面体叫做棱柱，侧面不一定全等，故A错误，符合题意；
对B，在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，满足直四棱柱侧棱与底面垂直，则该四棱柱为直四棱柱，故B正确，不符合题意；
对C，存在每个面都是直角三角形的四面体，如图四面体，故C正确，不符合题意；
对D，棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫棱台，故D正确，不符合题意.
故选：A.
9．C
【分析】由正方体的结构特征，作出截面即可判断.
【详解】用一个平面去截一个正方体，分别是所在棱的中点，所得截面形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形，
如图所示：
故选：C.
10．C
【分析】根据平行六面体的各面都是平行四边形，举出反例进行判断；根据直平行六面体的底面为平行四边形判断；根据长方体的结构特征判断；由侧棱与底面不垂直判断．
【详解】直四棱柱的底面不一定是平行四边形，如底面是梯形，故A错；
直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；
六个面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，底面是矩形，故为长方体，C正确；
底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错.
故选：C
【点睛】本题主要考查了直四棱柱，平行六面体和长方体的结构特征，注意关键的地方，如平行六面体的各个面是平行四边形，长方体的各个面相互垂直等，属于中档题．
11．C
【解析】1
【详解】由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、矩形、三角形，而当截面为矩形时，为体对角线为长、正方体棱长为宽的矩形，可知该截面为最大面积.
故答案选C.
12．C
【分析】易知，A在以AD为母线的圆锥上的一部分（弧AF），与所成的最大角为，只需.
【详解】如图，与所成的最大角为，只需即可.
即，
即，即.
故选：C.
【点睛】本题考查几何中的翻折问题，考查学生的空间想象能力、转化与化归能力，是一道难题.
13．CD
【分析】求出的边长，计算出三角形的形状和周长，即可得出结论.
【详解】由题意，
在斜二测视图中，，
∴，的面积是的面积相同，B错误.
∴在中，，
∴是的中线，，，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，A错误，C正确，
，D正确，
故选：CD.
14．AC
【分析】A.画图判断；B.由正棱柱的定义判断；C.由正三棱锥和正四面体的定义判断；D.由直棱柱的定义判断.
【详解】解：A.如图：
几何体满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱，
B.由正棱柱的定义知：底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱，故正确；
C.在正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故错误；
D.由直棱柱的定义知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确；
故选：AC
15．ABD
【分析】由正方体的特征，结合选项即可找到对应的图形，即可求解.
【详解】对于A，如图四边形为平行四边形，所以A正确，
对于B，四面体是正四面体，所以B正确，
对于C，如图四面体中， ，故每个面都是直角三角形，所以C不正确，
对于D，如图四面体中， ，,均是直角三角形、为等边三角形，所以D正确，
故选：ABD．
16．AC
【分析】根据斜二测画法的定义判断．
【详解】根据斜二测的定义，，，，
由勾股定理，由直角三角形，与的长度大小不确定．
故选：AC．
17．AC
【分析】由正方体的特点，对角线垂直于平面，且三角形为等边三角形得答案．
【详解】解：如图，
正方体中，对角线垂直于平面，且三角形为等边三角形，
正方体绕对角线旋转能与原正方体重合．
故选：．
18．BC
【解析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可.
【详解】对于A选项，要强调该三点不在同一直线上，故A错误；
对于B选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；
对于C选项，可用反证法证明，故C正确；
对于D选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，考查棱柱的定义，属于基础题.
19．直角
【分析】根据斜二测画法，，直接判断的形状．
【详解】如图所示，且，，将还原可得，所以，所以为直角三角形．
【点睛】本题考查斜二测画法中直观图的还原，属基础题．
20．
【详解】解析过程略
21．
【分析】根据原图形面积是直观图面积的倍即可求解.
【详解】设直观图的上下底为，高为，则直观图的面积为，
则原梯形的上下底为，高为，
所以原梯形的面积等于,
即原图形面积是梯形的面积倍，
因为梯形的面积为，所以原梯形的面积是.
故答案为:4.
22．平行
【分析】根据三角形重心性质可得答案．
【详解】取的中点，连接，
因为分别是， 的重心，
所以，所以.
故答案为：平行.
23．
【解析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为，构造方程，可求出半径.
【详解】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，
则由得，
而
故，
解得，
故答案为：.
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确理解这两个关系是解题的关键．
24．
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，利用侧面展开图是半圆，求出，利用圆的面积公式可得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
则，底面周长，
因为侧面展开图是半圆，所以，，
所以侧面积为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用侧面展开图是半圆求出母线长与底面半径的关系是解题关键，属于基础题.
25．
【分析】先求出底面外接圆半径，由勾股定理可求正四面体的高及外接球半径，从而可求球心到截面的距离，然后利用勾股定理求截面圆的半径，根据圆的面积公式即可求解.
【详解】解：棱长为4正四面体的底面外接圆半径为，
故正四面体的高为.
设外接球半径为R，则，解得.
所以过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，球心到截面的距离.
所以截面圆的半径为.
所以截面圆的面积为.
故答案为:.
26．
【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积.
【详解】作出直观图如图，
根据斜二测画法的原则可知,
所以对应直观图的面积为.
故答案为：
27．4或5或6（答案不唯一）
【分析】将正四面体，置入到正方体中，正方体的外接球即为正四面体的外接球，从而得到过点的截面面积的最值，得到过点的截面圆面积取值范围为，得到答案.
【详解】如图，棱长为4的正四面体，置入到正方体中，
此正方体棱长为，四面体外接球即为此正方体外接球，球心即为正方体中心，
半径．
则过点的最大截面圆即为过球心时，此时截面圆半径即为球半径，截面面积为，
当点为截面圆圆心时，此时截面圆面积最小，其中，
最小截面圆半径为，
截面圆面积为，所以过点的截面圆面积取值范围为，
所以．
故答案为：4或5或6
28．
【分析】根据题意画出图象，可知平面与球的交线为圆形，由三角形相似求出截面圆的直径，再由圆的周长公式求解.
【详解】解：由于球与圆柱的上下底面及母线均相切，
∴四边形为正方形，其面积为12，
则，
平面与球的交线为圆形，如图，即为截面圆的直径，
由题意可得，，
，
，
则，∴.
故交线长为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点一是根据画图，判断平面与球的相交截面；关键点二是根据，求出的长.本题考查了空间想象能力和思维能力，考查运算求解能力，是中档题。
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