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第8讲 简单几何体的表面积与体积
1．A
【分析】几何体是长方体截去如图的三棱锥，利用棱柱和棱锥的体积公式计算即可．
【详解】如图，几何体是长方体截去如图红色截面的三棱锥，所以几何体的体积是 ，
故选：A
2．A
【分析】求出长方体的体对角线长，可得出其外接球的半径，再利用球体的体积公式可求得结果.
【详解】长方体的体对角线的长是，
长方体外接球的半径是，这个球的体积为．
故选：A．
3．C
【分析】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积、体积公式以及三角形、矩形的面积公式判断可得出合适的选项.
【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为.
对于①，，，则，①对；
对于②，，，则，②错；
对于③，，，则，③对；
对于④，，，
则，④对.
故选：C.
4．A
【分析】作出圆锥和其内切球的轴截面，求得母线长，根据内切球性质以及勾股定理可列式求得内切球半径，即可求得答案.
【详解】如图，作出圆锥和其内切球的轴截面，设O为内切球球心，半径为r，内切球与圆锥母线AB相切于D，
设E为圆锥底面中心，则，
易得，圆锥的底面半径为1，则，，
在中，，即，
解得，
故圆锥内切球的体积为，
故选：A
5．B
【分析】三棱锥可视为棱长分别为1，2，3的长方体被一平面所截而成，求出长方体体对角线即可得解.
【详解】以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体被平面ABC所截的三棱锥符合要求，如图：
长方体与三棱锥有相同外接球，其外接球直径为长方体体对角线长，
设外接球的半径为，则，
则所求表面积.
故选：B
6．C
【分析】液面为平面时所盛水最多，利用体积之比即可求解.
【详解】如图所示，过作与底面平行的截面，则为的中点，为的中点，过作与底面平行的截面，则分别为的中点，
设三棱锥的体积为，高为，的体积为，高为，
则，，
三棱锥的体积与三棱锥的体积的比是（高的比），
由题可知液面为平面时所盛水最多，
所以最多可盛水的容积为，即最多所盛水的体积是原来的.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的求解问题，解答关键是掌握相应的体积公式及几何体的结构，将求不规则几何体的体积变为几个规则的几何体的体积，分割法求体积是求解不规则几何体的体积的常用技巧和方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
7．D
【分析】先判断出点位于垂直于面的直径端点时四面体的体积最大.由球的表面积求出半径，即可求出体积的最大值.
【详解】如图所示.
要使三棱锥的体积最大，只需点位于垂直于面的直径端点.
设球的半径为，此时.
又球的表面积，故，所以．
故选：D
8．A
【分析】由已知可得，结合直角三角形的性质，找到棱锥外接球的球心为的中点，可得，再由基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，取的中点，连接，
所以为三棱锥的外接球的球心，外接球的体积为，
所以，则，所以，则，
因为，两边同时加上，则，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，
又因为，所以，
则的最大值为.
故选：A.
9．A
【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．
【详解】设的边长为a，由的外接圆半径为可得，故，
则的面积.由三棱柱的体积为可得，故，
设三棱柱外接球的半径为R，则，
故该三棱柱外接球的表面积为.
故选：A．
10．D
【分析】设，，，则有，以、、为邻边可构造一个长方体，此时可知，然后由可得答案.
【详解】解：设，，，
因为直线两两垂直，若，，的面积之和为72，
所以，有，
以、、为邻边可构造一个长方体，则该长方体为此球的内接长方体，
所以，．
因为
所以，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，此球体积的最小值为．
故选：D
11．B
【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积.
【详解】如图正八面体，连接和交于点，
因为，，
所以，，又和为平面内相交直线，
所以平面，所以为正八面体的中心，
设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为,所以正八面体的棱长为，
所以，，，
则， .
故选：B.
12．C
【解析】根据正方体的几何特征，求出内切球和外接球的半径关系，利用球的体积公式即可得解.
【详解】设正方体的棱长为，则其内切球的半径为，
外接球的直径为体对角线长，所以外接球的半径为，
所以内切球与外接球的体积之比为.
故选：C
【点睛】此题考查求正方体的内切球与外接球的半径大小关系，关键在于熟练掌握正方体的几何性质，根据公式准确求解.
13．AD
【分析】对于A，由坛子的容积为结合圆台的体积公式可求出的值，从而可求出下圆台的体积，对于B，利用圆台的表面积公式求解判断，对于C，直线与圆台底面所在平面所成角为，然后求解判断，对于D，设该圆柱的底面半径为，然后表示出圆柱的高，从而可求其侧面积的最大值
【详解】解：因为该坛子的容积，，所以，
故下圆台的体积为，即升，A正确．
，故下圆台的表面积为，B错误．
由图易知，直线与圆台底面所在平面所成角为，则，C错误．
设该圆柱的底面半径为，则圆柱高，
所以圆柱侧面积，D正确．
故选：AD
14．ACD
【分析】分别表示出与即可判断A；当时，即可判断B；由，然后作差即可判断CD.
【详解】
如图所示，设，则，，
于是，故A正确.
当时，有，此时，故B不正确；
设点到平面的距离为，
由于，
故
由于，，所以，，
从而，从而，即，故C正确；
又，故，故D正确.
故选:ACD
15．BCD
【分析】根据图形分别求出，，结合勾股定理判断垂直；表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成，分别计算；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积；分别计算按路线和在表面内移动最短的路径长．
【详解】如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE、DE
则在梯形BDEF中，可知，
设，则
根据立体图可得，，显然
即CE、DE不垂直，A不正确；
该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成
则表面积，B正确；
如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I
则多面体可以分成8个全等三棱锥，则
该“十字贯穿体”的体积即为，C正确；
若按路线，则路线长为
若在表面内移动，则有：
借助部分展开图，如图所示：
∵，即为钝角，过B作NE的垂线BH，垂足为H，则BH在展开图内
根据对称可知此时最短路径为
则从顶点出发，沿表面到达顶点的最短路径为，D正确；
故选：BCD．
16．AB
【分析】设三棱柱的高为，，三棱柱侧面积得，可得，设，分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心是中点，由正弦定理求得外接圆的半径，由勾股定理结合基本不等式求得外接球半径的最小值，再由球的体积公式结合选项即可求解．
【详解】设三棱柱的高为，．因为，
所以，
则该三棱柱的侧面积为，故，
设分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心是中点，
设的外接圆半径为，则，
设球的半径为，则，
所以，故球的体积为：．
结合选项可知：球体积可能是，，
故选：AB．
17．BC
【分析】由题意，可利用柱体体积公式和多面体表面积公式进行计算，沿表面最短距离可将临近两个面侧面展开图去计算，即可求解正确答案.
【详解】长方体的表面积为，A错误.长方体的体积为，B正确.如图（1）所示，长方体中，，，.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面和侧面展开，
则有，即经过侧面和侧面时的最短距离是；如图（3）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是；如图（4）所示，将侧面和底面展开，
则有，即经过侧面和底面时的最短距离是.因为，所以沿长方体表面由A到的最短距离是，C正确，D不正确.
故选：BC.
【点睛】本题考查长方体体积公式、表面积公式和沿表面的最短距离，考查空间想象能力，属于基础题.
18．AB
【分析】结合向量的线性运算和三棱锥体积公式，逐一判断选项即可.
【详解】设第一切交边BC BD分别交于G H，不失一般性，设BH≥BG，设BC中点为M，A E在底面的射影分别为O F，则F∈BO；设=，=()，
，则
∵∴
又，则从而①
②
A选项AE=2时，，则，为定值上；
B选项联立①②解得：，
故边长为及；
C选项此时=1，此时联立①②无解，故不能；
D选项此时应有GH⊥BO，即，联立①②有，故BE=AB=.
故选：AB
【点睛】在求解立体几何有关截面的计算时务必找出截面，结合向量的有关运算可以快速的解决问题.
19．
【分析】根据正四面体的每个面都是正三角形且都相等，计算出其中一个三角形的面积再乘4即可.
【详解】解：边长为的正三角形的面积
故正四面体的表面积为
故答案为：
【点睛】本题考查锥体的表面积计算，三角形的面积，属于基础题.
20．
【分析】根据三视图还原几何体，可知其为正方体切割所得，且正方体的外接球即为所求外接球；根据正方体外接球半径为其体对角线长的一半可求得，代入球的表面积公式即可求得结果.
【详解】由三视图可还原几何体为如下图所示的棱长为的正方体切割所得的四棱锥，
由图形可知：该正方体的外接球即为四棱锥的外接球，
正方体外接球半径，所求外接球表面积.
故答案为：.
21．6800
【分析】首先将几何体进行分割，然后分别求得各部分的体积即可确定大成殿的体积．
【详解】大成殿下面的部分是一个长方体，上面的部分可以分割为一个三棱柱和两个四棱锥，
其中长方体的体积，
三棱柱的体积：，
四棱锥的体积：，
故大成殿的体积：．
故答案为：6800．
22．
【分析】一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，从而求出这个球的体积
【详解】解：一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，
即解得，
则其体积，
故答案为：．
23．
【解析】考虑正方体的内切球恰好与每个面相切，切点为每个面的中心，该球为由六条面对角线构成的正四面体的内切球，即可求得求得半径.
【详解】可采用补体的方法，先画一个正方体，
正方体的棱长为，那么正方体的面对角线为3，
取四点构成棱长为3的三棱锥，若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切，
所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为棱长的一半，即，
这样球的表面积为.
故答案为：
【点睛】此题考查根据求满足条件的求得表面积，关键在于准确构造物体关系，求出球的半径，结合图形转化，利于解题.
24．
【分析】作出大圆截图，利用弦心距、直角三角形得到两个球缺的高，再利用球的体积公式、球缺的体积公式进行求解.
【详解】记两球面的交线为圆，其大圆截面如图所示，
则，且，
解得，，且圆的半径为12，
两球体的公共部分可看作两个球缺，
小球中的球缺高为，，
大球中的球缺高为，，
故
.
故答案为：.
25．
【分析】设正方形纸片为，其内的小正方形为，取，的中点分别为，连接，对称性可知，从而求出的长，从而得到正四棱锥中的斜高，从而可求出其高，得到体积与表面积.
【详解】如图，
设正方形纸片为，其内的小正方形为，做成的正四棱锥为
取，的中点分别为，连接
由题意，,由对称性可知，
所以，所以
即在正四棱锥中，，又
所以
所以正四棱锥的体积为，
表面积 ,
所以,
故答案为：
26．
【分析】根据题设确定的最小为面与面沿展开平面上的，利用余弦定理求四面体的棱长，进而求外接球半径，即可得面积.
【详解】由题设，如下图，将面与面沿展开为一个平面，
要使的最小值为，即展开图中，是棱的中点，
令，故，
所以，故正四面体的棱长，
则，，
如图，若是的中心，为正四面体的外接球球心，且球体半径为，
所以，
故该正四面体的外接球表面积是.
故答案为：
27．
【分析】设，首先求得的表达式，结合二次函数的性质求得的最大值.
【详解】设，由题意，，得，
将（※）代入（#），可得.
因为，所以，则，
，
当时，取得最大值.
故答案为：
28．
【分析】首先根据条件,确定，的轨迹，然后确定外接球的球心位置，从而表示出外接球半径的关系式，最后结合函数分析求得的取值范围；
【详解】由题意，在中，，，，
由余弦定理得：，
所以，由勾股定理逆定理得：，
取、、的中点分别为、、，则，，
又，故点在平面的轨迹为以为直径的圆，记为．
，故点在平面的轨迹为以为直径的圆，记为，
则经过点，且三棱锥的外接球球心在直线上．
设，，球的半径为，
则在中，，
在中，则，
则，由知，
则，，所以．
故三棱锥的外接球的表面积．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：典型的外接球问题，能够通过条件确定，的轨迹，然后确定外接球的球心位置，是本题的难点和突破点，值得收藏和借鉴；
29．侧面积是32，表面积是48
【分析】由正四棱锥的高，斜高，边心距组成的直角三角形，依据题意可以求出高与斜高，即可求得正四棱锥的侧面积和表面积．
【详解】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为，
底面边心距为，它们组成一个直角三角形；
，
，
所以正四棱锥的侧面积，
底面正方形面积为，
则正四棱锥的表面积为，
即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.
30．
【分析】根据图形特征旋转后根据圆锥侧面积及圆柱表面积公式计算可得.
【详解】如图所示，直角梯形中，，
作，垂足为，则，
故，
在旋转生成的旋转体中，形成了一个圆面，
形成一个圆柱的侧面，形成一个圆锥的侧面，
设其面积分别为，
则，
所以次旋转体的表面积为.
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第8讲 简单几何体的表面积与体积
一、圆柱、圆锥、圆台的侧面积
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
二、柱体、锥体、台体的体积
1.柱体的体积公式：
2.锥体的体积公式：
3.台体的体积公式：
4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
三、球的表面积和体积
1.球的表面积公式：
2.球的体积公式：
四、球的截面的性质
1.用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：
(1)球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝.
五、常用结论
1.(a、b、c分别为长方体的长宽高)
2.
【课堂训练】
一、单选题
1．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
A． B． C． D．
2．已知长方体的长、宽、高分别为、、，且其顶点都在球面上，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论：
①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则；
②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则；
③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则；
④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．②③ C．①③④ D．①②③④
4．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的（ ）
A． B．
C． D．
7．设A,B是球O的球面上两点,,C是球面上的动点.若球的表面积是,则四面体的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三棱锥中，，若三棱锥外接球的体积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．8
9．在体积为的直三棱柱中，为等边三角形，且的外接圆半径为，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．半径为的球面上有四点，且直线两两垂直，若，，的面积之和为72，则此球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．正方体的内切球与外接球的体积之比为
A．1：3 B． C． D．
二、多选题
13．坛子是我们日常生活中耳熟能详的生活用品，一般指用陶土做胚子烧成的用来腌制菜品或盛放物品的器物如图，某坛子的主体部分坛身可以看作是由上下两个同底的圆台烧制而成的，其中，，且该坛子的容积为升，则（ ）
注：若圆台的上、下底面半径分别为，，高为，母线为，则圆台的体积，侧面积．
A．下圆台的体积为升
B．下圆台的表面积含上下圆台同底的部分为
C．直线与圆台底面所在平面所成的角为
D．若在该坛子内封装一个圆柱，则圆柱的侧面积最大为不考虑能否放入和容器厚度
14．已知三棱锥，过顶点B的平面分别交棱，于M，N（均不与棱端点重合）．设，，，，其中和分别表示和的面积，和分别表示三棱锥和三棱锥的体积．下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点出发，沿表面到达顶点的最短路线长为
16．已知三棱柱的个顶点全部在球的表面上，，，三棱柱的侧面积为，则球体积可能是（ ）
A． B． C． D．
17．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ）
A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到的最短距离为
D．沿长方体的表面从A到的最短距离为
18．中国饮食文化是有着长远历史，博大精深的中国文化.譬如粽子，有人说是因为纪念爱国诗人屈原人们用艾叶或苇叶 荷叶包住食物，用五色丝线捆好，投江祭奠；也有人说是为了清明节纪念晋文公名臣介子推.现在粽子已演变出不同品种 不同类别，很多地方逢年过节怀着美好祝愿以粽子为食物.其中一种粽子被包成比较对称的四面体形状.现有一只质地均匀的粽子各棱长为12的四面体ABCD，兄弟三人分食此粽.大哥将粽子平放桌面上(面BCD在桌面)，准备用垂直于桌面的两刀将粽子体积三等分，忽略粽子的变形，第一刀经过了棱AB上点E，切截面与棱BC，BD均相交；则以下结论正确的是（ ）
A．若AE=2，第一刀切底面所得的三角形面积是定值；
B．若AE=2，截面截底面两边的长度为及；
C．点E能与点A重合；
D．若第二刀将剩余部分分为全等的两块，则BE长为.
三、填空题
19．棱长为2的正四面体，其表面积为 .
20．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为
21．镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体，下建筑是长方体．假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点，，，，，，（长度单位：米）．则大成殿的体积为 （体积单位：立方米）．
22．棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为 ;
23．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 .
24．无穷符号在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距，则该标志的体积为 .
附：一个半径为的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为），球缺的体积公式为.
25．如图，一块边长为4的正方形纸片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形和一个正方形做成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积与表面积之比为 ．
26．正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是 .
27．如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为的正方形铝板制作一个无底面的正棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正边形）道具，他们以正方形的儿何中心为田心，为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出份，再从中取份，并以O为正棱锥的顶点，且落在底面的射影为正边形的几何中心，侧面等腰三角形的顶角为，当时，设正棱锥的体积为，则的最大值为 .
28．如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，点在上底面所在平面上，使得，点在下底面所在平面上，使得，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是 ．
四、解答题
29．已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为.求它的侧面积和表面积．
30．一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．
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