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第9讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．C
【分析】根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断．
【详解】∵直线a和b没有公共点，
∴直线a与b不是相交直线．
∴直线a与b可能是相交直线或异面直线．
故选：C．
2．A
【分析】画出图形，利用点，线，面的关系，得到点直线，结合AC与BD为异面直线，所以直线BD.
【详解】如图，空间四边形，因为平面ABC，平面ACD，
所以点平面ABC，且平面ACD，而平面ABC平面ACD=AC，
所以点直线.
因为AC与BD为异面直线，所以直线BD.
故选：A
3．C
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一分析即可得出答案．
【详解】解：由，，知：
若，则与平行或相交，故A不正确；
若，异面，则与平行或相交，故B不正确；
若，相交，则，相交，故C正确；
若，则与平行或相交，故D不正确．
故选：C．
4．B
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【详解】①如果，，那么m，n相交、平行或异面直线，故①错误；
②根据线面平行性质定理可知正确；
③根据线面垂直判定定理可知正确；
④如果，，，那么m，n相交、平行或异面直线，故④错误；
故选B
【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．
5．D
【分析】连接，由已知条件可证得平面，从而可得，由此可得答案
【详解】连接，则，
因为平面，在平面内，
所以，
因为，
所以平面，
因为在平面内，
所以，
所以异面直线与所成的角为，
故选：D
【点睛】此题考查求异面直线所成的角，属于基础题
6．B
【解析】根据线线及线面关系一一判断即可.
【详解】对于选项A，当，都平行于与的交线时，，所以A为假命题.
对于选项B，根据异面直线垂直的情况知，，，，所以B为真命题.
若，，则，由，可得，所以C为假命题.
若，，，则，所以D为假命题.
故选：B.
7．D
【分析】先利用正方体的平面展开图还原成正方体，分析6对对角线成角情况，得到答案.
【详解】如图所示，将平面展开图还原成正方体，
AB与GH成角等价于HF与GH成角，
易得为等边三角形，所以AB与GH成角为，
同理可得， AB与EF、GH与CD、EF与CD所成的角为，共4对.
AB与CD成角等价于HF与CD成角，
因为四边形CFDH为正方形，所以HF与CD成角为，即AB与CD成角，
同理可得，EF与GH所成的角为.
故选：D.
8．A
【分析】根据线面角的定义，可求与成的角有最小值，根据异面直线所成角的范围，可求与成的角有最大值，即可.
【详解】因为斜线与平面所成的角为是直线与平面内任意一条直线所成角中的最小值，则与成的角有最小值.
又因为异面直线所成角的范围为，所以与成的角有最大值.
故选：A
【点睛】本题考查线面角的定义以及两条异面直线所成角的范围，属于较易题.
9．B
【分析】结合空间中点线面的位置关系，对选项逐个分析即可选出答案.
【详解】解：对A，由，，得或与相交，故A错误；
对B，由，，得，由，得，故B正确；
对C，若，则或，故C错误；
对D，若，，，则或与相交或与异面，故D错误.
故选：B.
10．C
【解析】根据题意，画出图形，结合公理2，即可得出答案.
【详解】在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面
如图，相交于一点，且不共面，则确定一个平面，确定一个平面，确定一个平面.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了线确定平面数量问题，属于基础题.
11．B
【详解】空间两两相交的三条直线，
如果交于一点，可以确定的平面个数是1个或3个，
如果交于不共线的三点，可以确定的平面个数是1个．
∴空间两两相交的三条直线，可以确定的平面个数是1或3．
故选B ．
12．D
【详解】作交于时，为正三角形，，是与成的角，根据等腰三角形的性质，作交于，同理可得，当时，，故选D．
13．CD
【分析】由平面的公理和线面、面面的位置关系，结合空间想象可得.
【详解】A中，因为两两相交且不共点，记两两相交的交点分别为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，故过该三点有且只有一个平面，A正确；
B中，若，则过直线m和n有且只有一个平面，记为，若，则与相交，记交线为l，假设n与不相交，则n与l无公共点，则，则有，与已知矛盾，故假设不成立，故B正确；
C中，当直线l与平面相交时，显然直线上有无数个点不在平面内，故C错误；
D中，当两平面相交时，交线上的所有点都是两平面的公共点，故D错误.
故选：CD
14．ABCD
【分析】根据直线与平面的位置关系，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】已知直线平面，直线平面，
则直线可能共面，可能异面，故B正确；
若直线共面，则直线可能平行、相交、垂直，故ACD正确
故选：ABCD
15．AC
【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项；利用斜二测画法可判断B选项；利用异面直线所成角的定义可判断C选项；根据已知条件判断线面位置关系，可判断D选项.
【详解】对于A，正六棱锥的底面边长为，则该正六棱锥的底面积为，
又侧棱长为，则棱锥的高，
所以该棱锥的体积为，A正确；
对于B，对于任意三角形，过点作，垂足为点，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则，的直观图如下：
则，
所以，，
本题中，根据以上原理，，B错误；
由异面直线所成角可知C正确．
已知两个平面垂直，一个平面内的直线与另一个平面不一定垂直，D错误.
故选：AC.
16．CD
【分析】根据公理1以及直线在平面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解．
【详解】当时，，，但，故A错；
当时，B错；
如图，∵，，∴，
∴由直线和点确定唯一平面，
又，由与确定唯一平面，但经过直线和点，
∴与重合，∴，故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．
故选：CD
17．ACD
【分析】根据平面的基本性质，以及线面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据平行平面的性质，可得过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行，所以A是正确的；
对于B中，过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，所以B是错误的；
对于C中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，与两条直线异面矛盾，所以C是正确的；
对于D中，过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线确定一个平面，可得两条异面直线与这个平面都平行，又由空间中有无数个点，所以可作出无数个平面，所以是D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了空间中的直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定和性质，逐项判定是解答的关键，着重考查空间想象能力.
18．ABC
【分析】A若是中点，连接并延长交于，连接，易得均共面且不在该平面上，由两个相交的平面有交线则有且只有一条即可判断正误；B应用正方体的性质有面，又、面、在上，结合过一点与平面垂线有且只有一条即可判断正误；C、D首先确定过直线与成或时另一个点在面上轨迹，再应用数形结合判断该轨迹上的点与的所有连线中与成或时位置，即可判断正误.
【详解】若是中点，连接并延长交于，连接，则，
∴连接并延长交于，则均共面且不在该平面上，
由题设，相交直线所成面与相交直线所成面有且只有1条相交直线，
∴过点有且只有一条直线与，都相交，如图直线，故A正确；
由，而，又面，又在上，
过一点有且只有一条直线与平面垂直：故过点只有垂直于面.
由面，知：，即，
∴过点有且只有一条直线与，都垂直，如图直线，故B正确；
如下图：要使过直线与成，即过直线与成即可，
∴为圆心，正方体棱长为半径在面上画圆，则圆上点与的连线均与成，而同时要使过直线与成，即与成即可，
如上图，与上图中圆上虚线部分点的连线有1条与成，根据对称性知：另一侧也有1条与成，过共2条直线与，都成角，故C正确；
同理，要使过直线与成，即过直线与成即可，
∴为圆心，正方体棱长的倍为半径在面上画圆，则圆上点与的连线均与成，而同时要使过直线与成，即与成即可，
∵与的连线分别与成、，故在上必有一点与连线与成，
∴由圆的对称性知：圆上共有4个这样的点，故过点有4条直线与，都成角，故D错误.
故选：ABC
19．
【分析】利用平面，可知，在直角三角形中可求出结果.
【详解】连，如图：
因为，所以，
因为平面，所以是与平面ABCD所成的角，
所以，所以，所以.
故答案为：.
20．平行或异面
【分析】根据直线与直线的位置关系直接判断
【详解】与无公共点，与可能平行，可能异面．
【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维的培养，属基础题．
21．/
【分析】利用正方体的特征构造平行线求异面直线夹角即可.
【详解】
如图所示连接，根据正方体的特征易知，且为等边三角形，
所以即异面直线 与 所成的角，且，.
故答案为：
22．
【分析】取，，的中点，，，由中位线的性质可得，，再由勾股定理即可求得.
【详解】分别取，，的中点，，，连接，，，
则，，.
又，即.
.
故答案为：.
23．异面或相交
【分析】根据空间直线的位置关系直接判断.
【详解】因为，a与c相交，
所以b与c相交或者异面.
故答案为：异面或相交
24．
【分析】∠BEG是异面直线BE与CF所成的角（或补角），求出△BEG中各边的长，由余弦定理求角的余弦值.
【详解】如图，取棱PC的中点G，连接BG，EG．
由题意可知，即E是PF的中点．
因为G是PC的中点，所以，则∠BEG是异面直线BE与CF所成的角（或补角）．
正四棱锥P－ABCD中，，设，
中，，，，
则，
正三角形中，，
与中，，，
∴，，
在△BEG中，由余弦定理可得．
故答案为：
25．①③④
【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
26．2
【分析】作出辅助线，得到为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，两个圆锥的交线即为满足条件的直线的条数.
【详解】设立方体的棱长为1，过作直线，
若直线与平面中的直线所成角的最小值为，
即与平面所成角为，
为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，
连接，由题意得，直线与直线所成角为，
直线与直线所成角为.
此时为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，
两个圆锥相交得到两条交线.
故答案为：2
27．
【分析】作图，分别取的中点，则，，为异面直线AC与BD所成角，然后解三角形即可得出答案.
【详解】
如图所示，分别取的中点，
则 ，，
是异面直线AC与BD所成角.
设，则，
，
，
则异面直线AC与BD所成角的余弦值为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线AC与BD所成角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线AC与BD所成角是关键.
28．①④
【分析】根据空间点线面的位置关系依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于①，由面面垂直的判定定理可得，故①正确．
对于②，由题意知，满足条件的平面的位置关系为∥或相交，故②不正确．
对于③，由题意知当满足条件时有与相交或∥，故③不正确．
对于④，由线面平行的判定方法可得∥且∥，故④正确．
综上可得①④正确．
答案：①④
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第9讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、点线、点面、线面位置关系的符号表示
1.点A在直线l上，记作A∈l；点A在直线l外，记作Al.
2.点A在平面α内，记作A∈α；点A在平面α外，记作Aα.
3.直线l在平面α内，记作l α；直线l在平面α外，记作lα.
二、平面的基本事实
1.基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
（不共线的三点确定一个平面）
2.基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
（A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α）
3.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
（P∈α，P∈β α∩β＝l且P∈l）
4.三个推论
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
三、空间直线、平面之间的位置关系
1.直线与直线的位置关系
异面直线的画法：
① ②
2.直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
3.平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 没有公共点 无数个公共点(有一条公共直线)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
【课堂训练】
一、单选题
1．如果直线a和b没有公共点，那么a与b（ ）
A．共面 B．平行
C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线
2．在空间四边形的边，，，上分别取，，，四点，如果直线与相交于点，那么（ ）
A．点一定在直线上
B．点一定在直线上
C．点可能在直线上，也可能在直线上
D．点既不在直线上，也不在直线上
3．在空间中，设m n是不同的直线， 是不同的平面，且，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若m n异面，则 平行
C．若m n相交，则 相交 D．若，则
4．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
① 如果，，那么；
② 如果，，，那么；
③ 如果，，那么；
④如果，，，那么.
其中正确的是
A．① ② B．② ③ C．② ④ D．③④
5．如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．已知，表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则 B．若，则，，
C．若，，，则 D．若，，，则与异面
7．正方体的平面展开图如图，、、、四条对角线两两一对得到6对对角线，在正方体中，这6对对角线所在直线成角的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．已知斜线与平面所成的角为，在平面内任意作的异面直线，则与成的角
A．有最小值，最大值 B．有最大值，无最小值
C．有最小值，无最大值 D．既无最小值，又无最大值
9．已知,是空间两条不同的直线，是空间两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，则 D．若，，，则
10．在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
11．三条直线两两相交，可确定的平面个数是
A．1 B．1或3 C．1或2 D．3
12．如图，正四面体，是棱上的动点，设（），分别记与，所成角为，，则（ ）
A． B． C．当时， D．当时，
二、多选题
13．下列说法不正确的是（ ）
A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
B．若两条平行直线中的一条与一个平面相交， 则另一条直线也与这个平面相交
C．若直线上有无数个点不在平面内， 则
D．若两个平面有无数个公共点， 则这两个平面重合
14．已知直线平面，直线平面，则直线可能（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直
15．下列说法中正确的有（ ）
A．设正六棱锥的底面边长为，侧棱长为，那么它的体积为
B．用斜二测法作的水平放置直观图得到边长为的正三角形，则面积为
C．若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直
D．已知两个平面垂直，一个平面内的任一直线必垂直于另一个平面
16．设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
17．下列关于说法中正确的是（ ）
A．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行
B．过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直
C．两条异面直线不能垂直于同一个平面
D．空间中与两条异面直线同时平行的平面有无数个
18．已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为，则下列判断正确的是（ ）
A．过点有且只有一条直线与，都相交 B．过点有且只有一条直线与，都垂直
C．过点只有两条直线与，都成角 D．过点只有两条直线与，都成角
三、填空题
19．长方体中，，与平面ABCD所成角大小为，则的长为 ．
20．在空间中，若直线与无公共点，则直线的位置关系是 ；
21．已知正方体 的棱长为 ，则异面直线 与 所成的角的余弦值 ．
22．在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则 .
23．设是空间三条直线，，a与c相交，则b与c的位置关系为 ．
24．在正四棱锥P－ABCD中，，点E，F满足，，则异面直线BE与CF所成角的余弦值为 ．
25．设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是 .
①②③④
26．正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为 .
27．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 .
28．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：
① 若,则
② 若∥∥,则∥
③ 若,且是异面直线，则与相交
④ 若∥，且, 则∥且∥.
其中正确的命题是 （只填序号）.
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