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第10讲 线、面平行的判定与性质
1．A
【分析】根据线面平行的判定方法可直观想象得到结果.
【详解】过点作直线的平行线，则经过且不经过的所有平面均与平行，故有无数个.
故选：A.
2．B
【分析】直接由面面平行的判定依次判断5个命题即可.
【详解】对于①，若，，且，则相交或平行，故①错误；
对于②，若，，则相交或平行，故②错误；
对于③，若，，且，则相交或平行，故③错误；
对于④，若相交，设，则由可得，由可得，故，与a、b是异面直线矛盾，故，④正确；
对于⑤，由，可得所在平面平行于，同理可得所在平面平行于，故，⑤正确.
故选：B.
3．D
【分析】A. 由无数个点不代表所有的点来判断，B.由线面平行的性质来判断， C. 由无数条不代表所有的来判断，D. 由直线与平面平行的定义来判断.
【详解】A. 无数个点不是所有点，所以不正确；
B. 可以平行 可以异面，所以不正确；
C. 无数条直线不是所有的直线，所以不正确；
D. 由直线与平面平行的定义，正确.
故选：D.
4．C
【分析】根据线面平行的判定定理分析求解.
【详解】如图，设为相应棱的中点，
则//，且平面，平面，所以//平面，
同理可得：与平面平行，
由图可知：其他的任意两条棱的中点的连线与平面相交或在平面内，
所以与平面平行的直线有6条.
故选：C.
5．C
【分析】根据平面与平面平行的各类判断方式，结合选项逐一判断.
【详解】对于A，由垂直于同一平面的两个平面可以平行或相交可知，选项A错误；
对于B，由平面与平面平行的判定定理可知，若，则结论不成立，所以选项B错误；
对于C，因为是不全平行的共面直线，即至少两条相交，所以成立.故选C正确；
对于D，由平行于同一直线的两个平面平行或相交可知，选项D错误.
故选:C
6．B
【分析】过点作的平行线，交于点，交于点，连接，证明点轨迹是线段，然后根据勾股定理求得后可得最小值，由此求得．
【详解】如图，过点作的平行线，交于点，交于点，则底面，连接，平面，则，所以，
∵平面，/平面，，平面，
∴平面平面，又平面，∴平面．
又平面平面，平面，∴，
为的中点，∴为的中点，则为的中点，即在线段上（包含端点），
∴，∴，∴，，
故选：B．
7．C
【分析】利用直观想象判断直线与平面的位置关系可判断ABD；利用线面平行的性质定理与面面平行的判定定理可判断C，从而得解.
【详解】因为、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，
对于A，若，，则与可能相交，故A错误；
对于B，若，则与可能相交，故B错误；
对于C，因为，所以，又，
所以由线面平行的性质定理可知在内存在，则，进而可得，
因为是异面直线，，所以与相交，
又，所以由面面平行的判定定理得，故C正确；
对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交，故D错误．
故选：C．
8．D
【分析】根据空间中直线平行的传递性，可判断①；根据线线、线面、面面之间的位置关系即可判断②③④⑤.
【详解】解：因为，，根据空间中直线平行的传递性，得，故①正确；
因为，，所以直线平行，异面，相交均有可能，故②错误；
若，，则或，故③错误；
若，，则平面平行或相交，故④错误；
若，，则或，故⑤错误.
所以错误的命题是②③④⑤.
故选：D.
9．A
【分析】由已知可得出直线与直线在同一平面内，且无公共点，即可判断出位置关系.
【详解】因为平面平面，所以平面与平面无公共点，
直线平面，直线平面，
直线平面，直线平面，
所以直线与直线在同一平面内，且无公共点，故直线.
故选：A.
10．D
【解析】由面面平行的性质定理可得，，，可得，
由已知条件可求出，再利用平行线段的比例关系，即可求解.
【详解】由平面平面ABC，侧面分别与平面，
平面ABC交于，所以，
同理可得，，
因为 与方向相同，所以，
同理，所以，
所以，所以，
所以.
故选:D
【点睛】本题考查面面平行的性质定理的应用，考查等角定理，属于中档题.
11．B
【分析】取B1C1的中点为F，先证明平面EFD∥平面A1B1BA，再判定DE与平面A1B1BA的位置关系.
【详解】如图取B1C1的中点为F，连接EF，DF，
则EF∥A1B1，DF∥B1B，
且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1，
∴平面EFD∥平面A1B1BA，
∴DE∥平面A1B1BA.
故选B
【点睛】本题考查面面平行判定与性质，考查基本分析论证能力，属中档题.
12．D
【分析】根据给定的几何体，利用面面平行的性质结合平面的基本事实，探讨截面形状确定F点的位置，推理计算作答.
【详解】在正方体中，平面平面，而平面，平面，
平面平面，则平面与平面的交线过点B，且与直线EF平行，与直线相交，令交点为G，如图，
而平面，平面，即分别为与平面所成的角，
而，则，且有，
当F与C重合时，平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，，即G为棱中点M，
当点F由点C向点D移动过程中，逐渐增大，点G由M向点方向移动，
当点G为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表面正方形有交线，即可围成四边形，
当点G在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点，
而点F与D不重合，此时，平面与该正方体的5个表面正方形有交线，截面为五边形，如图，
因此，F为棱CD上异于端点的动点，截面为四边形，点G只能在线段（除点M外）上，即,
显然，，则，
所以线段的CF的取值范围是.
故选：D
【点睛】关键点睛：作过正方体三条中点的截面，找到过三点的平面与正方体表面的交线是解决问题的关键.
13．BCD
【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.
【详解】因为直线a平行于平面α，所以a与平面α内的直线平行或异面，选项A错误；选项B，C，D正确.
故选：BCD.
14．ABC
【分析】根据的面积为矩形的面积的一半，且点到平面的距离不变，可判定A正确；由平面和平面，证得平面平面，可判定B正确；取的中点，把直线与直线所成的角即为直线与所成的角，在中，利用余弦定理求得，可判定C正确；结合，可判定D错误.
【详解】对于A中，点在直线上运动时，的面积为矩形的面积的一半，
且点到平面的距离不变，所以三棱锥的体积不变，所以A正确；
对于B中，点在直线上运动时，
由分别为的中点，可得，
又由平面，平面，所以平面，
同理可证：平面，
因为且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，所以B正确；
对于C中，取的中点，分别连接，
因为的中点，所以，又由，所以，
所以异面直线与直线所成的角即为直线与所成的角，设，
设正方体的棱长为，可得，
在直角中，可得，所以，
所以，可得，所以C正确；
对于D中，由，
所以，所以D错误.
故选：ABC.
15．ABC
【分析】（1）由题意可知时，然后利用面积相等可求出；
（2）取的中点P，CD的中点H，利用等腰三角形三线合一即可证明；
（3）先作出AP与平面ABCD所成的角，再用几何法求出，并利用基本不等式研究范围，从而求出的范围，即可判断；
（4）根据面面平行与线面平行的性质定理可进行判断
【详解】如图（1），连接，在中，，，，当时，有，故A正确.
如图（2），取的中点P，CD的中点H，连接，BH.，，故B正确.
如图（3），连接BD，过点P作，垂足为Q，则平面ABCD.设，则.连接AQ，
在中，由余弦定理可知.
在中，.
，，，
，则，
因此不存在点P使得AP与平面ABCD所成的角为，故C错误.
设过点，P，的平面为，根据面面平行与线面平行的性质定理可得平面截正方体所得截面形状是平行四边形，如图（4）（5）（6），故D正确.
故选：ABD.
16．BCD
【分析】连接AD1，FD1，GF，BC1，证得EF//AD1，结合点到面的距离与点到线的距离关系判断A，利用线面平行的判定判断B，结合平面几何的关系与异面直线与所成角是或其补角判断C，梯形的面积计算判断D即可.
【详解】正方体中，连接AD1，FD1，GF，BC1，设，如图：
对A，根据，，可得，又为中位线可得，，故，点C与点G到直线EF的距离不相等，故点C与点G到平面AEF的距离也不相等，故A错误；
对B，因点E，F是BC，CC1中点，则EF//BC1，而正方体的对角面ABC1D1是矩形，则AD1//BC1//EF，
连GF，因G是棱BB1中点，则GF//B1C1//A1D1，且，即四边形A1GFD1是平行四边形，A1G//D1F，
平面AEF，平面AEF，于是A1G//平面AEF，故B正确；
对C，因EF//AD1，A1G//D1F，则异面直线与所成角是或其补角，
作于M，显然，即四边形AEFD1是等腰梯形，，
，，故C正确；
对D，，平面截正方体所得的截面是等腰梯形AEFD1，其面积，故D正确.
故选：BCD
17．ABD
【分析】根据线面平行的判定、异面直线的夹角、外接球等知识点逐项判断即可；
【详解】将正八面体置于一个正方体中，如图所示，该正八面体的顶点为正方体六个面的中心，，则正方体的边长为2，
由图可知，，
因为平面平面，所以平面，A正确．
连接，由图可知，点到平面的距离为，B正确．
由图可知，，则直线与所成角即与所成角，
因为为正三角形，所以，C错误．
四棱锥外接球的球心为正方形的中心，所以外接球的半径为1，
故四棱锥外接球的表面积为，D正确．
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：将正八面体放到正方体中是本题的突破点，然后根据线面平行的判定、异面直线的夹角、外接球等知识点逐项判断.
18．AD
【分析】A项，通过作图得出面直线与直线所成角，即可求出角度正切值；B项，通过作图即可得出截面的形状；C项，求出截面与四棱柱相交的5边的各边长，即可得出截面的周长；求出和的面积，即可得出截面面积.
【详解】由题意，
设，则，
对于A选项，异面直线与直线所成的角，即为直线与直线所成的角，
连接，如下图，则即为直线与直线所成的角或其补角.
易得，在中，，，
所以，所以A选项正确；
对于B选项，如下图，延长交于点，连接交于点，延长交于点，连接交于点，连接，，
则五边形即为平面截该四棱柱得到的截面，
即截面为五边形，所以B选项错误；
对于C选项，易知，，所以，即.
又，所以，所以.
又，所以，所以，
，所以.
在中，.
又，所以，，
所以，
所以截面的周长为，
所以C选项错误；
因为，所以，所以为等腰三角形.
又，所以，
连接，
则，
所以，
易知，所以，则，
同理可得，所以截面的面积为，所以D选项正确；
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是根据平面的性质求截面形状，进而求截面的周长和面积.
19．3
【分析】根据线面平行的判定定理即可判断求解.
【详解】
如图，因为∥∥，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
所以∥平面，∥平面，∥平面，
故答案为：3.
20．平行
【解析】连接交于点，根据线面平行的判定定理，即可得出结果.
【详解】
连接交于点，
在正方体中容易得到点为的中点．
又因为为的中点，所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
故答案为：平行.
【点睛】本题主要考查判定线面位置关系， 熟记线面平行的判定定理即可，属于基础题型.
21．12
【详解】如图，取的中点的中点的中点，
连接，则，，
所以有平面，平面.
又，所以平面平面，
即平面为过点且与平面平行的截面,
易得此截面的周长为.
22．
【分析】由相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β相交于AB，A′B′，得到AB∥A′B′，进而得出△ABC与△A′B′C′的三内角相等，结合相似三角形的性质，即可求解.
【详解】由题意，相交直线AA′，BB′所在平面和两平行平面α，β相交于AB，A′B′，
所以AB∥A′B′，同理BC∥B′C′，CA∥C′A′，
所以△ABC与△A′B′C′的三内角相等，
所以△ABC∽△A′B′C′，可得,
又由,所以.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了平面与平面的性质的应用，以及相似三角形的性质，其中熟练应用平面与平面平行的性质，合理应用相似三角形的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
23．①②③
【分析】根据题意，证明四边形为菱形，进而结合求解的面积判断①②，根据等体积转化求解几何体的体积判断③
【详解】解：由正方体性质知平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，同理可证，
所以，四边形为平行四边形，
又直角梯形和直角梯形全等，得，
所以四边形为菱形，
所以，
由对称性可知，当为棱，中点时，，当位于或时，，
所以，故①②正确；
对于③，棱锥的体积为，故③正确.
故答案为：①②③.
24．
【分析】先猜想点为的中点，取的中点，连接、，再证明平面．结合正四棱柱和中位线的性质可推出四边形为平行四边形，从而，然后由线面平行的判定定理可证得平面．
【详解】如图所示，分别取、的中点、，连接、，此点即为所求．
证明如下：
、分别为、的中点，
，，
为中点，
，
又，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
由于为的中点，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考主要查空间中线与面的平行关系，对于找点问题，一般可采用先猜后证的思想，熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，属于中档题．
25．
【分析】画出点的轨迹，从而计算出动点P的轨迹所形成的区域面积.
【详解】设分别是的中点，
根据正方体的性质可知，，共面.
由于平面平面，
所以平面，
同理可证得平面，
由于，所以平面平面，
所以动点P的轨迹所形成的区域为正六边形，
正六边形的边长为，面积为.
故答案为：
26．
【分析】分别取棱的中点，通过证明平面可得必在线段上，进而可求得长度的取值范围.
【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，
因为为所在棱的中点，所以，所以，
又平面平面，所以平面；
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，所以平面，
因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，
在直角中，，
同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，
当在中点时，，此时最短，位于处时最长，
，，
所以线段长度的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是取棱的中点，得出点必在线段上，从而将问题转化为在中.
27．或
【解析】根据题意画出图形，结合图形进行分析，点可能在两平面之间或在两平面之外两种情况，然后利用比例关系求出的长即可.
【详解】
如图：当点在两平面之外即在延长线上时，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
所以，
因为，，，
所以，解得，
如图：当点在两平面之间即在线段上时，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
所以，
因为，，，
所以，解得，
所以，
综上所述：的长为或，
故答案为：或
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用面面平行的性质定理可得，再利用平行线分线段成比例求的长，但是要注意需要讨论点的位置.
28．
【分析】作出辅助线，证明平面平面，故点在线段上运动（含端点位置），当与或重合时，最大，当时，最小，由勾股定理求出最值，得到取值范围.
【详解】正方体的体积为27，所以正方体的棱长为3，
分别取线段、的中点、，连接、、，
分别是棱、的中点，
则，又平面平面，
所以平面，，
又平面平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面，故点在线段上运动（含端点位置），
当与或重合时，最大，
此时，
当时，最小，此时，
所以的取值范围为.
故答案为：
29.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：
(1)EG∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明：(1)如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB，
因为OG綊B1C1，BE綊B1C1，所以BE綊OG，
所以四边形BEGO为平行四边形，故OB∥EG，
因为OB 平面BB1D1D，EG 平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.
(2)由题意可知BD∥B1D1.
连接HB，D1F，因为BH綊D1F，
所以四边形HBFD1是平行四边形，
故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
30．如图，在四棱锥P ABCD中，∠ABC＝ ∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥P ABM的体积．
解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA，
又MN 平面PAB，PA 平面PAB，∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB. ∵CN 平面PAB，AB 平面PAB，
∴CN∥平面PAB. 又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.
(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，
∴三棱锥P ABM的体积V＝VM PAB＝VC PAB＝VP ABC＝××1××2＝.
31.如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N BCM的体积．
解：(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，
由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT 平面PAB，MN 平面PAB，所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.
取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3，得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2.
所以四面体N BCM的体积VN BCM＝×S△BCM×＝.
32.如图所示，几何体E ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
证明：(1)如图所示，取BD的中点O，连接OC，OE.
∵CB＝CD，∴CO⊥BD.
又∵EC⊥BD，EC∩CO＝C，∴BD⊥平面OEC，∴BD⊥EO.
又∵O为BD中点．∴OE为BD的中垂线，∴BE＝DE.
(2)取BA的中点N，连接DN，MN. ∵M为AE的中点，∴MN∥BE.
∵△ABD为等边三角形，N为AB的中点，
∴DN⊥AB.∵∠DCB＝120°，DC＝BC，
∴∠OBC＝30°，∴∠CBN＝90°，即BC⊥AB，
∴DN∥BC.∵DN∩MN＝N，BC∩BE＝B，∴平面MND∥平面BEC.
又∵DM 平面MND，∴DM∥平面BEC.
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第10讲 线、面平行的判定与性质
一、直线与直线平行
1.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性.
( a∥c )
2.等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
二、直线与平面平行的判定定理
1.文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
2.符号表示：aα，b α，且a∥b a∥α.
三、直线与平面平行的性质定理
1.文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
2.符号表示：a∥α，a β，α∩β＝b a∥b.
四、平面与平面平行的判定定理
1.文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
2.符号表示：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α.
3.推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
五、平面与平面平行的性质定理
1.文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
2.符号表示：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
3.常用性质推论
(1)平行于同一个平面的两个平面平行.
(2)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
【课堂训练】
一、单选题
1．若是直线外一点，过点且与平行的平面（ ）
A．存在无数个 B．不存在
C．存在但只有一个 D．只存在两个
2．已知a、b表示两条直线，、、表示三个不重合的平面，给出下列命题：
①若，，且，则；
②若，，则；
③若，，且，则；
④若a、b是异面直线，且，，，，则；
⑤若a、b相交且都在、外，，，，，则．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
3．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是（ ）
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
4．过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
5．已知是不全平行的直线，是不同的平面，则下列能够得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界）．若平面，且线段长度的最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．3
7．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若是异面直线，，则
D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则.
8．对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
⑤若，，则.
则其中所有错误的命题是（ ）
A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤
9．已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
10．如图所示，P是所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于点，，，若，则等于
A． B． C． D．1
11．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为（ ）
A．相交 B．平行
C．垂直相交 D．不确定
12．已知正方体的棱长为1，E为中点，F为棱CD上异于端点的动点，若平面BEF截该正方体所得的截面为四边形，则线段CF的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是（ ）
A．a平行于α内的有限条直线
B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等
D．α内存在无数条直线与a成90°角
14．棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．点在直线上运动时，三棱锥的体积不变
B．点在直线上运动时，直线始终与平面平行
C．直线与直线所成的角为
D．三棱锥的体积为
15．已知正方体的棱长为1，点P为线段上的动点(不含端点)，则（ ）
A．线段AP的最小值为
B．在棱CD上，存在点H，使得
C．存在点P使得AP与平面ABCD所成的角为
D．过点，P，的平面截正方体得到的截面形状始终是平行四边形
16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．点C与点G到平面AEF的距离相等 B．直线A1G与平面AEF平行
C．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
17．已知一个正八面体如图所示，，则（ ）
A．平面 B．点到平面的距离为1
C．异面直线与所成的角为 D．四棱锥外接球的表面积为
18．在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，过，，三点作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（ ）
A．异面直线与直线所成角的正切值为
B．截面为六边形
C．若，截面的周长为
D．若，截面的面积为
三、填空题
19．在长方体的六个表面与六个对角面(面、面、面、面、面及面)所在的平面中，与棱平行的平面共有 个．
20．正方体中，为的中点，则与过，，三点的平面的位置关系是 ．
21．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为 ．
22．如图，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，C C′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为 .
23．如图，正方体的棱长为1，分别是棱，的中点，过点的平面分别与棱，交于点，给出以下三个命题：
①四边形的面积的最大值为；
②四边形的面积的最小值为1；
③四棱锥的体积为定值．
其中正确命题的序号为 ．
24．正四棱柱中，，为中点，若点满足，且平面，则 ．
25．已知正方体的边长为2，M是的中点，点P在正方体内部或表面上，且平面，则动点P的轨迹所形成的区域面积是 .
26．如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 .
27．已知平面平面，过点的直线与，分别交于，两点，过点的直线与，分别交于，两点，且，，，则的长为 .
28．在棱长为3的正方体中，分别是棱、的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，则线段的取值范围是 ．
29.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：
(1)EG∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
30．如图，在四棱锥P ABCD中，∠ABC＝ ∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥P ABM的体积．
31.如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N BCM的体积．
32.如图所示，几何体E ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
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