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第11讲 平面与平面垂直
一、二面角的概念
1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．记作二面角或.
2.在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.
3.二面角的平面角θ的取值范围是0° ≤ θ ≤ 180°. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
二、平面与平面垂直
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β.
三、平面与平面垂直的判定定理
1.文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
2.符号表示：
四、平面与平面垂直的性质定理
1.两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
2.符号表示：
3.常用性质推论
(1)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
(2)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
(3)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
(4)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
【课堂训练】
一、单选题
1．已知为两条不同的直线，是两个不同的平面，现有如下命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
则一定正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法中正确的是（ ）
A．没有公共点的两条直线是异面直线
B．若两条直线a，b与平面α所成的角相等，则
C．若平面α，β，γ满足，，则
D．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面.若，，，则
3．在四面体中，为正三角形，与平面不垂直，则下列说法正确的是（ ）
A．与可能垂直
B．在平面内的射影可能是
C．与不可能垂直
D．平面与平面不可能垂直
4．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
5．如图，梯形中，，，将沿对角线折起．设折起后点A的位置为，且平面平面．给出下面四个命题：
①;②三棱锥的体积为；③平面;④平面平面．其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知在边长为6的菱形中，，点，分别是线段，上的点，且．将四边形沿翻折，当折起后得到的几何体的体积最大时，下列说法其中正确的是（ ）
A．
B．
C．平面平面
D．平面平面
7．如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中不正确的有（ ）
①当点P为BC中点时，平面平面
②异面直线、所成角的余弦值为
③点E、F、G、M、N在同一个球面上
④若，则P点轨迹长度为
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形
B．截面在底面上投影面积恒为定值
C．存在某个位置，使得截面与平面垂直
D．当时，与的交点满足
10．如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（ ）
A． B．平面
C．平面 D．平面平面
二、多选题
11．已知为空间中三条不同的直线，为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．已知若，则
C．若，，则
D．若，则
12．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．平面 D．平面平面
13．如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于点，以下四个命题中正确的是（ ）
A．四边形一定为菱形
B．四棱锥体积为
C．平面平面
D．四边形的周长最小值为4
14．在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 B．
C．，，，四点共面 D．平面平面
15．如图，在四面体中，，是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面
B．直线与直线所成角为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．四面体的外接球表面积为
三、填空题
16．已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为 .
17．设、是不同的直线，、是不同的平面，其中真命题是 （填序号）.
（1）若，，，则； （2）若，，，则；
（3）若，，，则； （4）若，，，，则；
18．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕折成四面体．当四面体中满足平面平面时，则
（1）；
（2）平面平面；
（3）为等腰直角三角形
以上结论中正确的是 （填写你认为正确的结论序号）．
19．已知m，n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，对下列命题：
①若，则；
②若，，则且；
③若，，则；
④若，，，则；
⑤若，，则．
其中正确的命题是 （填序号）．
20．已知直三棱柱的底面为正三角形，是侧棱上一点，且，则三棱锥外接球的体积为 ．
21．如图所示，在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N．给出下面几个结论：
①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面都与平面垂直．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
22．如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.求证：平面⊥平面ABF
23．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
24．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
25．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分别是棱PB，PC的中点.
求证：（1）EF平面PAD；
（2）面PBD面PAC.
26．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，，平面，且，分别为，的中点，点为棱PC上一动点，证明：平面平面
27．在四棱锥中，平面为等腰直角三角形，底面为平行四边形，且是线段的中点，F在线段上运动，记．
(1)若，求证：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
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第11讲 平面与平面垂直
1．A
【分析】根据线面垂直的性质可判断①；根据线面平行以及面面垂直的性质可判断②；根据线面垂直以及面面平行的性质可判断③；根据面面垂直的性质可判断④，即得答案.
【详解】对于①，若，则，①错误；
对于②，若，则可能平行，可能垂直，或异面，②错误；
对于③，若，则，又，故，③正确；
对于④，若，则n可能在内．故④错误；
则正确的命题个数为1，
故选：A
2．D
【分析】利用空间位置关系的定义及判定来判断选项即可.
【详解】对A，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故A错误；
对B，若两条直线a，b与平面α所成的角相等，
则a，b可以平行、相交或异面，故B错误；
对C，若平面α，β，γ满足，，则α，γ不一定垂直，故C错误；
对D，两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直，故D正确.
故选：D.
3．A
【分析】A选项只需满足即可，选项与题干矛盾，C选项与A选项矛盾， D选项只需满足平面即可.
【详解】如图所示：取的中点，连接，
假设，因为为等边三角形，所以，
又因为，所以平面，所以
又因为是中点，所以，只需满足，即可做到，故A正确C错误；
对于B：若在平面内的射影为，则有平面，与题干矛盾，故B错误；
对于D：过点可以做出一条直线，使得该直线垂直与平面，点只需在该直线上，
即满足平面即可达到要求，故D错误.
故选：A
4．C
【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面，
又因为平面平面，，且平面，
所以平面， 所以①正确；
对于②中，由平面，且平面，可得，
又因为，且，平面，
所以平面，所以②正确；
对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确；
对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面，
若平面平面，且平面平面，可得平面，
又因为平面，所以，
因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误.
故选：C.
5．C
【分析】利用折叠前四边形中的性质与数量关系，可证出，然后结合平面平面，可得平面，从而可判断①③；三棱锥的体积为，可判断②；因为平面，从而证明，再证明平面，然后利用线面垂直证明面面垂直.
【详解】由题意知连接，如图，
对①、③：，，，
，，得，，
平面 平面，且平面平面，面，
平面，平面，，故①、③正确；
对②：棱锥的体积为，故②错误；
对④：由①知平面，又平面，，
又，且平面，，
平面，又平面，平面平面，故④正确.
所以：①③④正确，②错误，故C正确.
故选：C.
6．C
【分析】根据给定条件，推理判断几何体为三棱柱，求出其体积表达式，进而判断几何体的特征，再逐项判断即可.
【详解】在几何体中，平面，平面，
平面，平面，则平面，平面，
而平面，因此平面平面，
显然，即四边形都是平行四边形，
且≌，因此几何体是三棱柱，
在菱形中，作于，交于，则，，
在几何体中，平面，
则平面，显然，
几何体的体积，当且仅当时取等号，
因此几何体的体积最大时，，而平面，
于是平面，又平面，从而平面平面，C正确；
由平面，则，又，则，而是中点，
即不垂直于，而，因此不垂直于，不垂直于，A错误；
显然，则与成角，因此不垂直，B正确；
假定平面平面，由平面平面，得平面平面，
在平面内过作于，而平面平面，
则平面，又平面，则，由平面，平面，
得，而平面，于是平面，
又平面，因此与矛盾，即假定是错的，D错误.
故选：C
7．B
【分析】根据正方体图形特征证明面面垂直判断①，根据异面直线所成角判断②，根据五点共圆判断③，根据轨迹求出长度判断④.
【详解】取中点，连接，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E F G M N均为所在棱的中点，
易知，平面，GM在面ABCD内，
，平面，平面，，
平面面，
连接，是正方形,，
平面，平面，，
平面，平面，，
平面平面，
综上，平面，平面，又
所以平面，平面故平面平面，故①正确；
取中点，连接，
是异面直线所成的角，
又则，故②错误；
记正方体的中心为点，则，
故点在以为球心，以为半径的球面上，故③正确；
是的中点，
，故
点轨迹是过点与平行的线段，且，
，故④正确.
故选： B.
8．D
【分析】通过分析平面平面SCD确定球心位置，进而求出球的半径得体积.
【详解】因为四边形ABCD为矩形，所以，
又，且，平面SCD，
所以平面SCD，又平面，故平面平面SCD，
又，
所以是等腰直角三角形，
所以其外接圆的圆心是CD的中点，
又四边形ABCD为矩形的外接圆的圆心为AC，BD的交点，
所以四棱锥的外接球的球心为AC，BD的交点，
所以外接球的半径为，
所以四棱锥的外接球的体积为．
故选：D．
9．B
【分析】当时，为四边形，故A正确；
当0＜CQ≤时，截面在底面上投影为梯形APCD，当CQ，S截面在底面上投影面积小于梯形APCD，计算面积可得B错误；
当Q与C1点重合时，截面S与平面A1BD垂直，故C正确；
当CQ＝时，需补图计算C1R的长度，可得D正确；
【详解】解：如下图：当0＜CQ＜时，S为四边形，故A正确；
当0＜CQ≤时，S截面在底面上投影为梯形APCD，面积恒为定值，
当CQ，S截面在底面上投影面积小于梯形APCD，故B错误；
当Q与C1点重合时，截面S过AC1，∵AC1与平面A1BD垂直，
故截面S与平面A1BD垂直，故C正确；
当CQ＝时，延长DD1至N，使,连接交于，连接交于,连接，可证，由，可得，
所以，故D正确；
故选：B.
10．D
【分析】利用反证法可判断A；由二面角的变化可判断B；利用反证法结合面面平行的性质可判断C；利用面面垂直的判定定理可判断D．
【详解】对于D选项，翻折前，，，
翻折后，，，
因为，、平面，则平面，
因为平面，所以平面平面，故D正确；
对于B选项，因为，，
则二面角的平面角为，
在翻折的过程中，的大小会发生变化，故与不一定垂直，
所以与平面不一定垂直，故B错误；
对于A选项，设，
在图一中，，
又因为，所以，，
因为，所以，
所以，则，
在图二中，过点在平面内作，交于点，连接，
则，故，则，
因为，所以不是的中点，
因为，，则，
若，因为，、平面，
则平面，
因为平面，所以，
因为、平面，且，所以，
因为为的中点，则为的中点，与已知矛盾，故A错误；
由选项A知，因为，平面，平面，
所以平面，
若平面，则，、平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，则，
因为为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，故C错误．
故选：D．
11．BC
【分析】根据空间中直线垂直的关系可得A错误，又点、线、面的位置关系可得B正确，由面面平行以及线面垂直性质可得C正确，取长方体的表面举反例可知可能出现的情况，即D错误.
【详解】对于A，若，则可以异面，可以平行，所以A错误；
对于B，由,可知点在平面内，即点为平面的公共交点，如下图所示：
又，所以点即为直线的交点，所以点在直线上，即，所以B正确；
对于C，由可得，又，可得，即C正确；
对于D，不妨取长方体的四个表面，如下图所示：
满足，则，即可得D错误；
故选：BC
12．BD
【分析】利用线面垂直的性质可判断B选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项；利用反证法可判断AC选项.
【详解】因为平面，平面，所以，，
因为点是以为直径的圆上且异于、的任一点，，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，平面平面，B对D对；
因为平面，平面，则，则为锐角，
即与不垂直，故与平面不垂直，C错；
若，又因为，，、平面，
所以，平面，与C选项矛盾，A错.
故选：BD.
13．ACD
【分析】由正方体截面性质有为平行四边形，若为中点，易得为正方形，进而得到即可判断A；由到面的距离之和为底面对角线且求体积判断B；利用线面垂直、面面垂直的判定判断C；根据正方体的结构特征判断在运动过程中，周长最短时位置判断D.
【详解】由题意，正方体截面的性质易知，即为平行四边形，
取为中点，因为分别是棱的中点，则为正方形，
所以，则，故为菱形，A对；
由到面的距离之和为底面对角线为，
又为定值，B错；
由菱形性质知，由正方体性质知面，面，则，
又，面，故面，
而面，所以平面平面，C对；
在运动过程中，仅当它们为对应线段中点时，菱形各边最短且为1，
此时为正方形，周长为4，D对.
故选：ACD
14．AD
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间向量判断空间直线、平面的位置关系的方法，可判断A，B；判断为异面直线，可判断C；根据空间直线和平面的垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，可判断D.
【详解】如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则,
则,
则，
故，即，
而平面，故平面，A正确；
由于，且没有倍数关系，
即两向量不共线，故不平行，B错误；
由于平面，平面，,
故为异面直线，则，，，四点不共面，C错误；
由于平面，
故平面，又平面，故平面平面，D正确，
故选：AD
15．ABD
【分析】对于选项A，取中点，连接，根据题设条件，得出为二面角的平面角，再通过计算得出，再利用平面垂直的定义即可判断出选项A的正误；对于选项B，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法即可求出结果；对于选项C，利用定义法得出为直线与平面所成的角，再在中，利用，，,即可判断出结果；对于选项D，由可知球心和半径，即可判断出选项D的正误，从而得出结果.
【详解】如图，取中点，连接，
因为，
所以，，又是中点，所以，
故为二面角的平面角，
在中，，，
又，所以，故，即，
由两平面垂直的定义知，平面平面，所以选项A正确，
对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，，
则，，
设直线与直线所成角为，则，
又，所以，故选项B正确，
对于选项C，连接，因为，，面，
所以面，故为直线与平面所成的角，
因为是的中点，所以，
在中，，，所以,
得到， 故选C错误，
对于选项D，因为，所以为四面体的外接球的球心，且半径为，
故外接球表面积为，D正确.
故选：ABD.
16．1
【分析】根据面面垂直的性质定理及在一个平面内过一点作已知直线的垂线的唯一性可得结果.
【详解】在正方体中，面，所以平面面，
且平面面，连接，交于P，则有,
即，由面面垂直的性质定理有平面，
又在平面内过点作直线的垂线有且仅有一条，
故垂足点P有且仅有一个，
故答案为：1.
17．（1）
【分析】结合、是不同的直线，、是不同的平面，利用直线、平面之间的位置关系逐一判断即可.
【详解】对于（1）：因为，，所以，又因为，结合面面垂直的判定定理，可得，故（1）为真命题;
对于（2）：若，，，则根据空间中平面与平面的位置关系可得：相交或平行，故（2）不是真命题；
对于（3）：若，，，则根据空间中平面与平面的位置关系可得：相交或平行，故（3）不是真命题；
对于（4）：若，，，，则根据空间中平面与平面的位置关系可得：相交或平行，故（4）不是真命题；
故答案为：（1）.
18．（1）（2）
【分析】通过面面垂直的性质可判断（1），通过证明面可判断（2），通过证明可判断（3）.
【详解】AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，则，
又平移后平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，（1）正确；
由已知，且面，
所以面，又面，
所以平面平面，（2）正确；
由平面，且平面，
所以，
所以，由，
所以，
所以为等边三角形，（3）错误.
故答案为：（1）（2）.
19．③⑤
【分析】根据构造的图形可知①错误，可能在内故能判断②错误，根据平行线的性质及线面垂直的性质判断③，可能相交可判断④，根据线面平行的性质、面面垂直的判定定理判断⑤.
【详解】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，记平面ABCD为α，
对于①，记直线A1B1为m，直线B1C1为n，则m∥α，n∥α，但m与n相交，①不正确；
对于②，记平面为平面，直线为直线，直线为直线，
满足，，而，②不正确；
对于③，因为，，所以，又，所以，③正确，
对于④，记平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，，，而与是异面直线，④不正确；
对于⑤，因，则过直线作平面，令，如图，
于是得，而，则有，由，所以，⑤正确．
故答案为：③⑤．
20．
【分析】根据，运用空间向量的运算得到点D的位置，取的中点，由可知，为的外心，进而结合球的性质确定出球心的位置，然后算出球的半径解得答案即可.
【详解】在正三棱柱中，由，
设，
则，
根据题意可知，，而，
于是，
，
即点D为的中点.
取为的中点，
因为，所以为的外心.
取的中点E，因为分别是的中点，
所以，
而为的中点，于是.
取点满足，而，所以，
于是，，则四边形是平行四边形，
故.
因为平面，平面，所以，易知，
且平面，所以平面，
于是平面，故三棱锥外接球的球心在直线上.
易得，，
设，则，
得或，得，
即三棱锥外接球的半径，
所以，该三棱锥外接球的体积为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
2.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．
21．①④
【分析】利用线面、面面相关判定与性质定理逐一分析即可得解.
【详解】对于①，因为平面与棱交于点，所以四点共面，
在正方体中，由平面平面，
又平面平面，平面平面，所以，
同理可得，故四边形一定是平行四边形，故①正确
对于②，在正方体中，面，
因为面，所以，
若是正方形， 有，，
若不重合，则与矛盾，
若重合，则不成立，故②错误；
对于③，因为平面，，
若直线与平面垂直，则直线，显然矛盾，
所以平面与直线不可能垂直，故③错误
对于④，因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理：，又平面，平面，，
所以平面，因为平面，所以平面平面，故④正确.
故答案为：①④.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握正方体中的线面关系，从而得解.
22．证明见解析
【分析】根据线线垂直可证线面垂直，进而可得面面垂直.
【详解】因为，，，AF、AB平面ABF，
所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，
所以平面⊥平面ABF.
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】（1）设,连接,如图所示:
因为O,E分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,
所以平面．
（2）连接,如图所示:
因为,为的中点,所以,
又因为四边形为菱形,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用直线和平面平行的判定定理即可证明；
（2）利用平面和平面垂直的判定定理即可证明；
【详解】（1）证明：连接、，在平行四边形中，为、的中点，
∵为中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）证明：∵，且，
∴，即，
∵平面，平面，∴，
∵，、平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
25．（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）利用面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）由E，F分别是棱PB，PC的中点.
则且，
又底面ABCD是菱形，，，
又平面PAD，平面PAD，
EF平面PAD.
（2）由PA面ABCD，是平面ABCD的对角线，
，
四棱锥P-ABCD的底面是菱形，
，
，且平面PAC，
平面PAC，
又因为平面PBD，
所以面PBD面PAC
26．证明见解析
【分析】利用面面垂直的判定定理即可得到证明
【详解】连接，
因为底面为菱形，，所以三角形为等边三角形，
因为为的中点，所以
又，所以.
因为平面，平面，所以
因为，所以平面.
又平面，故平面平面
27．(1)证明见解析；
(2)24.
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、面面垂直的判定推理即得.
（2）求出到平面的距离，再利用等体积法求出三棱锥的体积.
【详解】（1）由，得为线段的中点，而是线段的中点，则，
而平面，则平面，又平面，
所以平面平面．
（2）由平面，得到平面的距离，
在中，，于是，
又四边形为平行四边形，E为的中点，因此，
所以三棱锥的体积.
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