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第13讲 随机抽样
一、全面调查与抽样调查
1.全面调查：对每一个调查对象都进行调查的方法，成为全面调查，又称普查.
2.抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.
3.①总体：调查对象的全体；②个体：组成总体的每一个调查对象；③样本：从总体中抽取的那部分个体；④样本量：样本中包含的个体数；⑤样本数据：调查样本获得的变量值称为样本的观测数据.
二、简单随机抽样
1.放回简单随机抽样：设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n2.不放回简单随机抽样：如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等.
3.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本成为简单随机样本.
4.简单随机抽样的特点(一般默认为不放回简单随机抽样)
(1)总体个数有限；(2)逐个抽取；(3)不放回抽样；(4)等可能抽样.
5.常用的简单随机抽样有抽签法和随机数表法
三、简单随机抽样中的两类特征数
1.总体平均数
，其中个变量值中，不同的值共有个，出现的频数为.
2.样本平均数
四、分层随机抽样
按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
五、获取数据的基本途径
1.通过调查获取数据；2通过试验获取数据；3.通过观察获取数据；4.通过查询获得数据.
【课堂训练】
一、单选题
1．某班有男生25人，女生20人，采用分层抽样的方法从这45人学生中抽取一个容量为9的样本，则应抽取的女生人数为（ ）
A． B． C． D．
2．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）
A．500名学生是总体
B．每个被抽取的学生是个体
C．抽取的60名学生的体重是一个样本
D．抽取的60名学生的体重是样本容量
3．某单位有管理人员 业务人员 后勤人员共m人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员 业务人员 后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则m的值为（ ）
A．170 B．180 C．150 D．160
4．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为( )
A．36% B．72%
C．90% D．25%
5．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有（ ）
①盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A．3 B．2 C．1 D．0
6．渭南市教育局想了解全市所有学生对电影《长津湖之水门桥》的评价，决定从全市所有学校中选取3所学校按学生人数用分层抽样的方法抽取一个样本，若3所学校学生人数之比为，且学生人数最少的一个学校抽出120人，则这个样本的容量为（ ）
A．560 B．540 C．450 D．400
7．采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本，高二年级被抽取15人，高二年级共有300人，则这个学校共有高中学生的人数为（ ）
A．1350 B．675 C．900 D．450
8．某大学数学系共有本科生人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则应抽取的三年级学生的人数为（ ）
A． B． C． D．
9．下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是（ ）
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作；
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.
A．0 B．1
C．2 D．3
10．我市某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为（ ）
类别 人数
老年教师 90
中年教师 180
青年教师 160
合计 430
A．36 B．18 C．10 D．9
11．新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）
A．样本容量为240
B．若样本中对平台三满意的人数为40，则
C．总体中对平台二满意的消费者人数约为300
D．样本中对平台一满意的人数为24人
12．某校为了解学生的课外阅读情况，通过简单随机抽样抽取了40名学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：
读书时间（小时） 7 8 9 10 11
学生人数 6 10 9 8 7
则该校学生一周读书时间的平均数（ ）
A．一定为9小时 B．高于9小时 C．低于9小时 D．约为9小时
二、多选题
13．下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样为（ ）
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里
C．从20件玩具中逐个抽取3件进行质量检验
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
14．要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________.(下面抽取了随机数表第1行至第3行)（ ）
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
A．774 B．946 C．428 D．572
15．航海模型项目在我国已开展四十余年，深受青少年的喜爱.该项目整合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识，主要通过让参赛选手制作、遥控各类船只、舰艇等模型航行，普及船艇知识，探究海洋奥秘，助力培养未来海洋强国的建设者.某学样为了解学生对航海模型项目的喜爱程度，用比例分配的分层随机抽样法从某校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查.已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级学生有32人，则下列说法正确的是（ ）
A．该校高一学生人数是2000
B．样本中高二学生人数是28
C．样本中高三学生人数比高一学生人数多12
D．该校学生总人数是8000
16．某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表如下，则下列结论正确的是（ ）.
A．男生人数为80人
B．B层次男女生人数差值最大
C．D层次男生人数多于女生人数
D．E层次女生人数最少
17．（多选题）某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成扇形图（如图），现从这些同学中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法正确的是（ ）
A．若按专业类型进行按比例分配的分层随机抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行按比例分配的分层随机抽样，则理学专业和工学专业应抽取30人和20人
C．采用按比例分配的分层随机抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
18．已知某地区有小学生人，初中生人，高中生人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为，，．下列说法中正确的有（ ）
A．从高中生中抽取了人
B．每名学生被抽到的概率为
C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为
D．估计高中学生的近视人数约为
三、填空题
19．对总数为的一批零件抽取一个容量为40的样本．若每个零件被抽取的概率为0.2，则= ．
20．已知某地区中小学生人数共4324名，其中近视人数为2132名，为了解该地区中小学生的近视形成原因，抽取的近视学生（四舍五入，取整数）进行调查，则样本量为 ．
21．下列抽样的方式，属于简单随机抽样的是 ．（选填序号）
①福利彩票用摇奖机摇奖；
②从无限多个个体中抽取个个体作为样本；
③从个个体中一次性抽取个个体作为样本；
④将个个体编号，把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取个个体作为样本．
22．某市有大型超市300家、中型超市600家、小型超市2100家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取小型超市 家．
23．国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”，某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一名学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第12行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第4个号码为 .（注:如下为随机数表的第12行和第13行）
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58
24．下表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据，人数如表所示：
选修物理 选修历史
男生 160 40
女生 80 120
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调查，若在“选修物理的男生”中抽取了8人，则n的值为 .
25．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人．为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为 ．
26．某学校高一年级人，高二年级人，高三年级人，先采用分层抽样的方法从中抽取名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为 .
27．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号 ， ， ， ．
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
28．某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，已知从女学生中抽取的人数为80，那么 ．
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第13讲 随机抽样
1．C
【分析】根据分层抽样的相关知识直接计算即可.
【详解】由题意得，女生比例为，
所以抽取一个容量为9的样本，则应抽取的女生人数为.
故选：C
2．C
【分析】根据抽样中总体，个体，样本，样本容量的概念进行判断.
【详解】由题可知，从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，
其中总体是该年级500名学生的体重，个体是每名学生的体重，
样本是抽取的60名学生的体重，样本容量是60，故只有C选项正确.
故选：C.
【点睛】本题考查对总体，个体，样本，样本容量的理解，属于基础题.
3．A
【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出等式，即可求解.
【详解】若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4，所以抽取的业务人员有24人，又抽取的后勤人员比业务人员少20人，抽取的后勤人员有4人，
所以，解得.
故选：A.
4．C
【详解】×100%＝90%
5．C
【分析】根据简单随机抽样的定义逐项判断即可.
【详解】①是放回简单随机抽样，
②不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；
③不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样.
所以属于简单随机抽样的个数有1个，
故选：C.
6．B
【分析】根据给定条件，求出分层抽样的抽样比，再列式计算即得.
【详解】设样本的容量为，依题意，，解得，
所以这个样本的容量为540.
故选：B
7．C
【分析】结合分层抽样的抽样比列出方程，解方程即可.
【详解】设这个学校共有高中学生的人数为，根据分层抽样得，解得.
故选：C.
8．B
【分析】由分层抽样原则直接计算可得结果.
【详解】应抽取的三年级学生的人数为：.
故选：B．
9．B
【分析】根据简单随机抽样的特点逐个判断.
【详解】①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.
②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.
③不是简单随机抽样.因为50名党员官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
④是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样.
故选：B
10．B
【分析】由题意分层抽样的定义和方法，求出则该样本的老年教师人数．
【详解】解：在抽取的样本中，青年教师有32人，而抽样的比例为，
该样本的老年教师人数为，则有，，
故选：B．
11．B
【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.求出样本容量为240判断选项A的正误；求出判断选项B的正误；计算出总体中对平台二满意的消费者人数约为300判断选项C的正误；计算出样本中对平台一满意的人数为24人判断选项D的正误.
【详解】选项A，样本容量为，该选项正确；
选项B，根据题意得平台三的满意率，，不是，该选项错误；
选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为，该选项正确；
选项D，总体中对平台一满意人数约为，该选项正确.
故选：B．
【点睛】本题主要考查分层抽样，考查用样本估计总体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．D
【分析】根据所给数据直接计算平均数即可求解.
【详解】由题目所给数据可知平均数为：
（小时），
用样本的平均数估计总体，故该校学生一周读书时间的平均数约为9小时，
故选：D
13．AD
【分析】根据简单随机抽样的特点，逐一对每个选项分析即可.
【详解】对于选项A，不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；
对于选项B，是有放回简单随机抽样；
对于选项C，是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；
对于选项D，不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.
故选：AD.
14．ACD
【分析】依据题意结合随机数表法直接读数并满足号码不大于850即可.
【详解】依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，…
所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572
故选：ACD
【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，掌握读数的方法，属基础题.
15．BC
【分析】根据扇形统计图和已知条件可求出样本中各年级的人数，然后分析判断即可.
【详解】由图可知高三年级学生人数占总人数的40%，抽取的样本中高三年级学生有32人，
则抽取的学生总人数为，
则样本中高一学生人数为，样本中高二学生人数为，
从而样本中高三学生人数比高一学生人数多.
因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80，但抽取的比例不知道，
所以该校高一学生人数和该校学生总人数求不出来，
所以AD错误，BC正确，
故选：BC.
16．ABD
【分析】根据条形图求出抽取女生人，得出抽取男生人，再对照图表判断选项中的命题是否正确即可．
【详解】解：由条形图知，抽取女生学生有（人），
所以抽取男生有（人），选项正确；
层次的男生有（人，A，B，C，D，E五个层次男生人数分别：8，24，20，16，12（人），与女生各层次差值分别为：10，24，10，2，6，选项正确；
层次的男生有（人），女生有18人，男生人数少于女生，选项错误；
层次的女生人数最少，选项正确．
故选：ABD．
17．BCD
【分析】根据抽样方式不影响样本被抽到的概率，可知A错误；根据分层抽样按比例分配，根据计算结果可判定B正确；根据各专业差异比较大，可知C正确；依题中条件可知D正确.
【详解】抽样方式不影响样本被抽到的概率，
张三与李四被抽到的可能性一样大，故A错误；
按专业类型进行按比例分配的分层随机抽样，
则理学专业应抽取的人数为，
工学专业应抽取的人数为，故B正确；
因为各专业差异比较大，所以采用按比例分配的分层随机抽样更合理，故C正确；
根据题意知，该问题中的样本容量为100，故D正确．
故选：BCD．
18．ABD
【分析】根据得意求出抽样比，进一步即可判断A，B，D；算出样本中的近视人数即可判断C.
【详解】由题意，抽样比为，则B正确；
从高中生中抽取了人，A正确；
高中生近视人数约为：人，D正确；
学生总人数为：250000人，小学生占比：，同理，初中生、高中生分别占比：，，在2000的样本中，小学生、初中生和高中生分别抽取：960人，600人和440人，则近视人数为：960×30%+600×70%+440×80%=1060人，所以估计该地区中小学总体的平均近视率为：，C错误.
故选：ABD.
19．200；
【解析】对总数为的一批零件抽取一个容量为40的样本，则每个零件被抽取的概率都相等，据此即可求出.
【详解】解：每个零件被抽取的概率都相等，
，解得：.
故答案为：200.
【点睛】本题考查概率的求法，以及抽样方法的特点是每个个体被抽到的机会都相等.
20．43
【分析】根据比例及近视人数，代入数据，即可求得样本容量.
【详解】由题意得：样本容量为人.
故答案为：43
21．①④
【分析】根据简单随机抽样的特点逐个判断可得结论.
【详解】简单随机抽样是在有限个个体中逐个进行抽取，
故①是简单随机抽样，②不是简单随机抽样，③不是简单随机抽样，④是简单随机抽样.
故答案为：①④.
22．
【分析】根据分层抽样的定义即可求容量为的样本中的小型超市数量.
【详解】由题设，大型超市、中型超市、小型超市的比例为，
所以容量为的样本中小型超市有家.
故答案为：.
23．05
【分析】根据随机数表法可求出结果.
【详解】根据题意可得其中不在编号范围内，舍去，第二个重复，舍去，剩下的号码为，故选取的第4个号码为.
故答案为：.
24．20
【分析】根据分层抽样方法可得方程，求得答案.
【详解】根据分层抽样方法得：，解得，
故答案：20.
【点睛】本题考查分层抽样方法中的样本容量的求解，属于基础题.
25．108
【分析】设高二总人数为人，抽取的样本中有高二学生人，由总人数及抽样比列方程组求解即可.
【详解】设高二总人数为人，抽取的样本中有高二学生人，
则高三总人数为人，
由题意可知，解得，即抽取的样本中有高二学生108人，
故答案为：108
26．36、32、30
【分析】根据分层抽样三个年级的总人数所占比例及抽取总人数98，可求得每个年级抽取人数.
【详解】先将每个年级的人数凑整，得高一：人，高二：人，高三：人，
则三个年级的总人数所占比例分别为，，，
因此，各年级抽取人数分别为，，，
故答案为：36、32、30
27．
【分析】从指定位置开始读取数据，每位数字读取一次，数字的范围要在到之间且不能重复，则依次读取的前个编号即为所求.
【详解】第行第列的数开始，第一个数为，依次三位数读取一次，只要落在到之间且不重复即可，
显然读取结果依次为．
故答案为：；；；.
28．192
【分析】先求三层的比例，然后求得女学生中抽取总人数的比例，从而求出抽取样本容量．
【详解】由题意，因为教师，男学生，女学生人数之比为，所以女学生中抽取总人数的，
故．
故答案为：192．
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