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第15讲 随机事件与相互独立事件
一、有限样本空间
1.随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
2.样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示样本点.
3.样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示样本空间.
4.有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
5.样本空间中样本点的求法：列举法，列表法，树状图法.
二、三种事件的定义
1.随机事件：样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
2.必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
3.不可能事件：空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
三、事件的关系和运算
1.包含关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记作B A(或A B)，特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B
2.并事件：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 A∪B(或A＋B).
3.交事件：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作 A∩B(或AB) .
4.互斥：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
5.互为对立：一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，
且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为
6.总结事件的关系或运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
四、古典概型的判断
1.我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2.一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
五、概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A) ≥ 0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A B，那么P(A) ≤P(B)．
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
六、相互独立事件
1.对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2.必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立.
3.如果事件A与事件B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立.
4.若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率.
【课堂训练】
一、单选题
1．小张计划高考结束后从北京 天津 广州、西安、杭州这5个城市中随机选取2个城市前去游玩，则他恰好选中前3个城市中的2个城市的概率（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是（ ）
A．20% B．70% C．80% D．30%
3．从2名女生和3名男生中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．某团体打算从贵州五个著名景区(西江千户苗寨 镇远古镇 黄果树瀑布 小七孔景区 黔灵山公园)中随机选取两个进行游玩，则该团体没有选择黄果树瀑布的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某大学强基测试有近千人参加，每人做题最终是否正确相互独立，其中一道选择题有5个选项，假设若会做此题则必能答对.参加考试的同学中有一部分同学会做此题；有一半的同学完全不会，需要在5个选项中随机蒙一个选项；剩余同学可以排除一个选项，在其余四个选项中随机蒙一个选项，最终统计该题的正答率为30%，则真会做此题的学生比例最可能为（ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
6．设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为（ ）
A．样本空间 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件
8．我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7，在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”. 则下列说法中正确的是（ ）
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
10．运动会乒乓球单打比赛采取淘汰制，每名选手负一次即被淘汰出局．每名参赛选手的实力排名各不相同．设参赛选手共16名，经过抽签排定上半区比赛的程序如下（示意图中的数字为抽签决定的选手编号，与实力排名无关）：
下半区排法与此相似，最后由上半区仅剩的一名与下半区仅剩的一名决出冠亚军．假设实力排名较前的选手一定能打败实力排名较后的选手，则实力排名第二的选手能圆“银牌之梦”的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．袋中有4个红球，5个白球，6个黄球，从中任取1个，则取出的球是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下的为食用米线汉堡等其它食品（每人只选一种），结果如表所示：
总人次数 大米套餐人次数 面食人次数
1000 550 260
假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件M，吃面食为事件N，吃米线汉堡等其他食品为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则（ ）
A． B．
C． D．
14．下列结论正确的有
A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件
B．在标准大气压下，水在时结冰为随机事件
C．若一组数据，，，的众数是，则这组数据的平均数为
D．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从四年级中抽取名学生
15．现有分在问一组的三个代表队参加党史知识竞赛，若对于某个问题3个队回答正确的概率分别为，，，则关于该问题的回答情况，以下说法中正确的是（ ）
A．3个队都正确的概率为
B．3个队都不正确的概率为
C．出现恰有1个队正确的概率比出现恰有2个队正确的概率大
D．出现恰有2个队正确的概率比出现恰有1个队正确的概率大
16．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论错误的是（ ）
A．事件B与事件C是对立事件 B．事件A与事件B不是相互独立事件
C． D．
17．已知甲袋中有5个大小 质地相同的球，其中有4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小 质地相同的球，其中有4个红球，2个黑球.下列说法中正确的是（ ）
A．从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率为
B．从乙袋中随机摸出1个球是黑球的概率为
C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为
D．从甲 乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是1红1黑的概率为
18．不透明盒子中装有质地、大小完全相同的黄色、红色、白色小球各一个，现从中有放回地抽取三次，则下列事件概率小于的是（ ）
A．颜色相同 B．颜色不全相同 C．颜色全不相同 D．没有出现白球
三、填空题
19．如果随机试验有两步，其样本空间的样本点可以如何表示？ .
20．从长度为的条线段中任取条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 .
21．甲、乙两人下棋，若甲获胜的概率是，则乙不输的概率是 .
22．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五．一般地，像这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组．若从，，，，，，，，，这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为 ．
23．甲、乙两组各有三名同学，她们在一次测试中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是 .
24．某社区准备从ABCDE5位同学中随机选取4位参加新时代文明实践活动，若每人被选中的可能性相等，则A，E2名同学同时被选中的概率为 .
25．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .
26．已知甲同学投篮的命中率为0.6，若甲投篮两次（两次投篮命中与否互不影响），则两次投篮至少投中一次的概率为 ．
27．已知直线，若 ,，则不经过第一象限的概率为 ．
28．已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为和，若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为 ．
四、解答题
29．甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．
(1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；
(2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．
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第15讲 随机事件与相互独立事件
1．B
【分析】基本事件总数，他恰好选中前3个城市中的2个城市包含的基本事件个数.由此求出他恰好选中前3个城市中的2个城市的概率.
【详解】小张计划高考结束后从北京 天津 广州，西安，杭州这5个城市中随机选取2个城市前去游玩，基本事件总数，
他恰好选中前3个城市中的2个城市包含的基本事件个数.
所以他恰好选中前3个城市中的2个城市的概率.
故选：B.
2．B
【分析】利用概率的加法运算即可求解.
【详解】由题意可得乙胜的概率为30%50%%，
所以乙不输的概率是%+50%=70%
故选：B
3．D
【分析】根据题意直接计算概率即可.
【详解】从2名女生和3名男生中任选2人参加社区服务，
记女生分别为，男生分别为，
则所有可能情况为，
总共有10种方案，
选中的2人都是女生，有1种方案，
则所求概率为.
故选：D
4．C
【分析】基本事件总数，该团体没有选择黄果树瀑布包含的基本事件个数，由此能求出该团体没有选择黄果树瀑布的概率．
【详解】解：从贵州五个著名景区（西江千户苗寨、镇远古镇、黄果树瀑布、小七孔景区、黔灵山公园）中随机选取两个进行游玩，
基本事件总数，
该团体没有选择黄果树瀑布包含的基本事件个数，
该团体没有选择黄果树瀑布的概率．
故选：．
【点睛】本题考查概率的求法，古典概型、排列组合等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
5．B
【分析】设测试总人数为，真会做此题的学生人数为，再由已知列式计算得解.
【详解】设测试总人数为，真会做此题的学生人数为，
依题意，，解得.
故选：B
6．B
【分析】根据互斥事件的含义判断各选项即可.
【详解】因为为两个互斥事件，，，
所以，即，且.
故选：B．
7．C
【分析】列出试验中的样本点数，即可求解.
【详解】解：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1，2，3，4，5，6，
所以在掷一枚骰子的试验中，出现零点是不可能事件，
故选：C．
8．D
【分析】写出大于3且不超过20的素数，分别计算出随机选取2个不同的数的所有情况和恰好是一组孪生素数的情况，再利用古典概型公式代入求解.
【详解】大于3且不超过20的素数为：5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不同的数，共有个情况，恰好是一组孪生素数的情况为：5和7，11和13，17和19，共3个，所以概率为.
故选：D
9．B
【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐一判断即可.
【详解】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，
所以A与C互斥 ，因此本序号说法正确；
②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B与D同时发生，
因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；
③：，
显然，所以A与D不相互独立，所以本序号说法不正确；
④：，
显然，所以B与C相互独立，所以本序号说法正确，
故选：B
10．D
【分析】由古典概型的概率公式进行求解即可.
【详解】不妨设实力排名第一的选手排在上半区1号位置，那么实力排名第二的选手共有15个位置可占，当且仅当实力排名第二的选手在下半区时，他才能圆“银牌之梦”，因此所求概率为．
故选：D.
11．A
【分析】根据样本空间和样本点和古典概型的概率即可求解.
【详解】在任取1个球的事件中，取记为取的是第个红球，记为取的是第个白球，记为取的是第个黄球，记取出的球是白球的事件为，
所以样本空间,
取出的球是白球的事件，
则取出的球是白球的概率为，
故选：A.
12．D
【分析】从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，利用列举法列出整数共有32个，其中能够被3整除的整数有16个，进而根据古典概型的概率计算公式可解．
【详解】解：从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数共有32个，分别为：
11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，
1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，
2，20，200，2000，6，60，600，6000，
其中算盘表示的整数能够被3整除的整数有16个，分别为：
15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000，
则算盘表示的整数能够被3整除的概率为．
故选：．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是利用列举法把从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠所得到的整数列举出来.
13．ABC
【分析】利用频率求各事件对应的概率，应用互斥事件加法求，判断各项正误.
【详解】用频率估计概率得：，，，故A，B，C正确；
表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，
故，故D错误，
故选：ABC．
14．AD
【解析】A.分别写出两个事件，根据互斥事件的概念判断；B.根据自然知识之间判断选项；C.根据众数和平均数公式计算结果；D.根据分层抽样的计算公式，计算结果.
【详解】A.恰有一个黑球包含的事件是“一黑一红”，至少有一个红球包含的事件是“一红一黑”和“两个红球”，两个事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A正确；
B．在标准大气压下，水在时结冰为不可能事件，故B不正确
C.众数是2，所以，平均数，故C不正确；
D.由条件可知名学生，故D正确.
故选：AD
15．ABC
【分析】对于A：3个队都正确的概率为，可判断；
对于B：3个队都不正确的概率为，计算可判断；
出现恰有1个队正确的概率为（1个队正确），
出现恰有2个队正确的概率为（2个队正确），计算并比较大小可判断C、D选项.
【详解】对于A：3个队都正确的概率为，故A正确；
对于B：3个队都不正确的概率为，故B正确；
出现恰有1个队正确的概率为（1个队正确），
出现恰有2个队正确的概率为（2个队正确），
因为，所以出现恰有1个队正确的概率比出现恰有2个队正确的概率大，故C正确，D不正确；
故选：ABC.
16．ABC
【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.
【详解】对于A，事件B与事件C是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误：
对于B.对于事件A与事件B，
连续抛掷这个正四面体木块两次，记录的结果一共有种，
其中，事件A发生，则两次朝下的点数为一奇一偶，有种，
所以，因为抛掷正四面体向下的数字为奇数和偶数的方法种数相同，
所以，，，，，
事件A与事件B是相互独立事件，故B错误；
对于C，事件ABC表示第一次记录的数字为奇数，第二次记录的数字为偶数，
故，故C错误；
对于D， 由选项B的解答过程可得,所以，故D正确.
故选; ABC
17．ACD
【分析】根据古典概型概率公式可判断ABC，利用互斥事件求和公式及概率的乘法公式可判断D.
【详解】对选项A，从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为，故A对；
对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为，故B错；
对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率，故C对；
对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率，故D对.
故选：ACD.
18．ACD
【分析】利用独立事件的概率公式、以及对立事件的概率公式计算出每个选项中事件的概率，可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，从中任取一球，该球为黄色、红色、白色的概率均为.
对于A选项，从中有放回地抽取三次，则事件“颜色相同”的概率为，A满足条件；
对于B选项，从中有放回地抽取三次，事件“颜色不全相同”与事件“颜色相同”互为对立事件，
故事件“颜色不全相同”的概率为，B不满足条件；
对于C选项，若三球颜色均不相同，则三球的颜色可依次为：黄红白、黄白红、红黄白、红白黄、白黄红、白红黄，
所以，事件“颜色全不相同”的概率为，C满足条件；
对于D选项，事件“没有出现白球”意味着每次摸的都不是白球，
故事件“没有出现白球”的概率为，D满足条件.
故选：ACD.
19．用有序数对或者两个有前后次序的字母表示．
【分析】根据题意，结合试验的步骤，即可求解.
【详解】由题意，随机试验有两步，其样本空间的样本点可以用有序数对或者两个有前后次序的字母表示．
故答案为：用有序数对或者两个有前后次序的字母表示．
20．/
【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】从条线段中任取条，则有，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中三条线段能够成三角形的基本事件有：，，，共个；
所求概率.
故答案为：.
21．/
【分析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】因为甲获胜的概率是，即乙输的概率为，
由对立事件的概率公式可知，乙不输的概率为.
故答案为：.
22．
【解析】根据题意可知基本事件总数为，刚好构成等差数列包含的基本事件有个，由古典概型的计算公式，即可求出.
【详解】解：由题意知：从这组勾股数组中随机抽取1组，
则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的有：，，，共组，
故被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为：.
故答案为：.
23．
【分析】根据古典概型的公式，求得所有情况数，采用正难则反的方法，可得答案.
【详解】由题设所取两名同学的可能共有，其中成绩之差的绝对值超过的只有一种，所以这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的情形有种，故这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是，
故答案为：．
24．/
【分析】若A，E同时被选中，需从B，C，D选两人有3种，5人中选4人共有5种，再由古典概率公式代入即可得出答案.
【详解】若A，E同时被选中，需从B，C，D选两人有3种，5人中选4人共有5种，
∴A，E两位同学同时选中的概率为.
故答案为：.
25．
【分析】根据分步计数原理得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果．
【详解】6位乘客进入4节车厢的方案共有46种.6位乘客按各节车厢人数恰好为0，1，2，3进入共有
A44C60C61C52C33＝1440种方法．
∴这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为．
故答案为．
【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．
26．0.84
【分析】求出两次投篮都不中的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.
【详解】甲同学投篮的命中率为0.6，投篮两次都不中的概率为，
所以两次投篮至少投中一次的概率为.
故答案为：0.84
27．
【分析】由题列举包含的基本事件，再根据不经过第一象限得，进而利用古典概型公式求出不经过第一象限的概率．
【详解】解：直线，若，，
包含的基本事件有，共6种，
不经过第一象限，即不经过第一象限，
，，即，故有两种基本事件，
满足不经过第一象限的有：，共2个，
不经过第一象限的概率为．
故答案为：．
28．
【分析】两人投中次数相等，包括两人各投中一次，和两人两次都抽中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案．
【详解】甲投中一次的概率为：，甲投中两次的概率为：；
乙投中一次的概率为：，乙投中两次的概率为：；
甲乙都投中一次的概率为：，
甲乙都投中两次的概率为：，
甲乙两人两次都未投中的概率为：，
两人投中次数相等的概率，
故答案为：
29．(1)0.5
(2)0.64
【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解决.
（2）分析至少有一次获胜的事件包括两次都获胜，第一次获胜第二次未获胜和第一次未获胜第二次获胜三种情况。又因为三种情况之间互斥和两盘棋之间的胜负互不影响.利用互斥事件的概率加法公式和独立事件同时发生的概率乘法公式和对立事件概率的知识求解.
【详解】（1）设事件表示甲获胜，事件表示和棋，事件表示甲不输．
则．
因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得
．
因为，
所以
（2）设事件表示甲获胜，则表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为，
则，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的.
所以
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