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高二下学期数学期末模拟试题
一、单选题
1．已知数列的通项公式为 ，则这个数列第5项是（ ）
A．9 B．17 C．33 D．65
2．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何 ”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱 ”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）
A．10 B．14 C．23 D．26
3．以下曲线与直线相切的是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝（ ）
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
6．现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（ ）
A． B．4 C．2 D．
二、多选题
9．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则与独立
10．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．函数极小值为，极大值为.
B．函数存在3个不同的零点.
C．当时，函数的最大值为.
D．当时，方程恰有3个不等实根.
11．如图，在平行六面体中，，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．向量共面
C． D．若，则该平行六面体的高为
12．已知为坐标原点，抛物线的方程为，的焦点为，直线与交于，两点，且的中点到轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．的最大值为6
C．若，则直线的方程为
D．若，则面积的最小值为16
三、填空题
13．曲线在处的切线方程为_______.
14．若随机变量，则_______.（附：若随机变量，则，）
15．用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用，，，，分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现特征的五位数的概率为_____________.
16．已知函数，当时，，则m的取值范围为________.
四、解答题
17．如图，在四边形中， E是的中点，设，
(1)用， 表示
(2)若，与交于点O，求
18．已知函数，为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)若已知三点坐标，，．若，且，求的值．
19．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若D为BC的中点，且的面积为，AB=2，求AD的长.
20．已知甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品
(1)如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，求第2次取到次品的概率
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品
（i）求从乙箱中取出的这个产品是正品的概率
（ii）已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是2个正品的概率
21．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位:万元)如表所示:
月份 1 2 3 4 5 6 7 8
物流成本x 83 83.5 80 86.5 89 84.5 79 86.5
利润y 114 116 106 122 132 114 m 132
残差 0.2 0.6 1.8 -3 -1 -4.6 -1
根据最小二乘法公式求得线性回归方程为.
(1)求m的值，并利用已知的线性回归方程求出八月份的残差值
(2)通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116万元.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程.
附1
附2
附3
22．设函数
(1)求函数的单调区间；
(2)对于任意正实数，，当+=2时，试判断与的大小
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高二下学期数学期末模拟试题
1．C 2．D 3．C 4．D 5．D 6．A 7．C 8．D
9．AB
10．AC
【详解】，
在上，，单调递增，在上，，单调递减，
，，故A正确；
当时，，时，，且，，所以函数有两个零点，故B错误；
由函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增，
且，故函数的最大值为，故C正确；
方程恰有3个不等实根，可转化为与的交点有3个，由上述分析可知，的图象为：
由图象可得当时，有2个实数根，当时，有3个实数根，当时，有2个实数根，当时，有1个实数根，故D错误.
故选：AC
11．ACD
【详解】在平行六面体中，令，不妨令，
依题意，，，
因点M，N分别是棱的中点，则，
，则有，A正确；
，若向量共面，
则存在唯一实数对使得，
即，而不共面，则有，显然不成立，B不正确；
由,则，故C正确.
连接，依题意，，即四面体是正四面体，
因此，平行六面体的高等于点到平面的距离，即正四面体的高h，
由知，
由选项A知，，
则平面，是平面的一个法向量，，
，
则，所以平行六面体的高为，D正确.
故选：ACD
12．BCD
【详解】
由题意知的标准方程为，故的准线方程为， A错误；
设的中点为，分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
因为到轴的距离为2，所以.
由抛物线的定义知，，所以.
因为，所以，所以B正确；
由得直线过点，直线的斜率存在，
设直线的方程为，联立方程得化简得，
则.由于，所以，得，
得，所以，
所以，直线的方程为，故C正确；
设，，由，得，又
所以，由题意知，所以.
又，故直线的方程为.
由于，所以，
则直线恒过点，所以，
所以面积的是小值为16，故D正确.
故选：BCD.
13． 14．0.84135 15．
16．
【分析】先对分类讨论，时，不等式不能恒成立，时．不等式恒成立，主要是时，不等式恒成立， 不等式同构化：，引入新函数令（），由导数确定单调性，不等式化简为（），分离参数转化为求函数的最值，得参数范围．
【详解】显然，
若，时，，越接近于0时，为负且绝对值越大，因此可以小于零，大于0不能恒成立，因此由恒成立有.
此时显然在上恒成立；
当时，，
令（），，在上单调递增.
因为，（），所以，即，
再设，令，则，
令，则，
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
所以m的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．(1)
(2)
（1）根据已知，
.
所以；
（2）
因为三点共线，所以设，
所以
，
因为三点共线，所以设，
则，
所以，解得，所以，，
，
因为，所以，
，所以，
，
所以，
所以
18．(1)
(2)
解：设最高点为，相邻最低点为，则，
由三角函数的图象及已知，可得，即，解得，由，可得，
所以，
因为函数，为奇函数，
所以，得，，
又，所以，
于是，
（2）
解：由（1）可得，
，
三点坐标，，，
向量，，，且，
，则，
，，
所以，，
．
19．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再切化弦并结合和角的正弦公式化简，即可计算作答.
（2）由（1）的结论结合三角形面积定理求出AC，再借助平面向量求解作答.
（1）
在中，由正弦定理得，因，则，
即有，而，，
因此，，而，解得，
所以.
（2）
由（1）知，，而AB=2，则，解得，
因D为BC的中点，则，
于是得，解得，
所以AD的长为.
20．(1)；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）记事件=“第i次从乙箱中取到次品”，i=1,2，再借助全概率公式计算作答.
（2）记事件=“从乙箱取一个正品”，从甲箱中取出两个正品、一个正品一个次品、两个次品的事件分别记为，再利用全概率、条件概率公式求解作答.
（1）
令事件=“第i次从乙箱中取到次品”，i=1,2，
则，
因此，
所以第2次取到次品的概率是.
（2）
（i）令事件=“从乙箱取一个正品”，事件=“从甲箱中取出两个正品”，事件=“从甲箱中取出一个正品一个次品”，
事件=“从甲箱中取出两个次品”，互斥，且，
，，
则，
所以从乙箱中取出的这个产品是正品的概率是.
（ii）依题意，从甲箱中取出的是2个正品的概率即是在事件发生的条件下事件发生的概率，
则，
所以从甲箱中取出的是2个正品的概率是.
21．(1)；；
(2)线性回归方程模型为.
【详解】（1）由已知数据可得：，
因为点在回归直线上，所以，
所以，
所以，
所以八月份的残差值；
（2）由已知可得，，，，，，，
又由(1)知
所以8月份的残差绝对值最大，所以8月份的真正利润应该为116万元，
此时，
又，
所以，
，
所以数据核实后的新的线性回归方程为.
22．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）对求导，分类讨论，和，即可得出的单调区间.
（2）由，换元，构造函数，分情况讨论的最值，进而求解.
（1）
的定义域为，
，令，，
①当时，，所以在上单调递减，
②当时，，所以在上单调递减，
③当时，令，则，
且，所以在上单调递减，在
上单调递增.
综上：，的单调减区间为，
，的单调减区间为，单调增区间为
.
（2）
结论：，证明如下：
设，由 均为正数且得
设，则
①当时，由得即
故单调递减，从而
而，此时成立
②当时，在上单调递减，在上单调递增
故的最小值为
此时只需证，化简后即证
设，
故单调递增，从而有，即证.
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