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第1讲 分类加法与分步乘法计数原理
1．B
【分析】根据分部计数原理，即可容易求得结果.
【详解】根据分步计数原理共有3个楼梯，上每一层都有两种方法，所以共有种方法．
故选：B.
2．D
【分析】根据分类加法计数原理即得.
【详解】根据分类加法计数原理，可知共有4+3+1=8种不同的走法．
故选：D.
3．B
【分析】利用分步原理，先从思想政治 地理 生物中选出一门，再从物理 历史选出一门，应用乘法公式即可求选择方法数.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①小明必选化学，需要在思想政治 地理 生物中再选出一门，选法有种，
②小明在物理 历史两门选出一门，选法有种，
∴共有种选择方法，
故选：B.
4．C
【分析】由图知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，得到路线的种数，其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，第一步，从横横竖中选一路线，第二步，从横竖”中选一路线，得到路线的种数，再利用古典概型的概率求解.
【详解】由题意可知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，
相当于“横横横竖竖”五个汉字排成一列，有条路线.
其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，分两步，第一步，“横横竖”三个汉字排成一列；
第二步，“横竖”两个汉字排成一列，共有条路线.
故所求概率为.
故选：C
5．B
【分析】利用乘法原理直接得到答案.
【详解】按照1,2,3,4的顺序涂色，共有：.
故选：.
【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.
6．A
【分析】选出3名教师分为两男一女和两女一男两类，然后分配到三个班，再分步计数原理求解即可
【详解】解：选出3名教师分为两男一女和两女一男两类，共有种方法，
再分配到3个班，故不同的安排方法种数为.
故选：A
7．B
【分析】分析每一个小球的放法，根据分步计数原理求解.
【详解】对于第一个小球有4种不同的放法，
第二个小球也有4种不同的放法，
第三个小球也有4种不同的放法，
即每个小球都有4种可能的放法，
根据分步计数原理知不同放法共有（种）.
故选：B.
8．D
【分析】由排列组合中的分步原理分两步完成，先在除去甲、乙两种种子的8种不同的作物种子中选出1种放入第一号瓶子内, 然后在除去丙种子的剩余9种不同的作物种子中选出5种放入二号至六号瓶子内,运算即可得解.
【详解】解：分两步完成，
第一步：在除去甲、乙两种种子的8种不同的作物种子中选出1种放入第一号瓶子内,有种放法；不妨设取的为丙，
第二步：在除去丙种子的剩余9种不同的作物种子中选出5种放入二号至六号瓶子内,有种放法；
由排列组合中的分步原理可得：不同的放法共有种，
故选：D.
【点睛】本题考查了排列组合中的分步原理，重点考查了排列组合中特殊元素优先处理的解题方法，属基础题.
9．C
【分析】由题意可得，只需确定区域的颜色，先涂区域1，再涂区域2，再分区域3与区域1涂的颜色不同、区域3与区域1涂的颜色相同，最后根据分步乘法原理即可求解.
【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定整个伞面的涂色.
先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择.
当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择.
当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择.
故不同的涂色方案有种.
故选：C
10．C
【分析】利用分类加法原理即可求解.
【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，
若以为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有16个，
若以为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有8个，
所以梯形的个数是16+8=24，
故选：C.
11．C
【分析】根据题意，设较小的两边长为、且，可得关系式，，、；分别令、2、3、4、、11，分别求得的可取值，由分类计数原理，计算可得答案．
【详解】解：设较小的两边长为、且，
则，，、．
当时，；
当时，，11；
当时，，10，11；
当时，，9，10，11；
当时，，8，9，10，11；
当时，，7，8，9，10，11；
当时，，8，9，10，11；
当时，， 9，10，11；
当时，，10，11；
当时，，11；
当时，．
所以不同三角形的个数为，
故选：C．
12．B
【解析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．
【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；
如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，
再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有种选择；
如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有种选择，
得到第5球独占一盒的选择有种，
第二类，第5球不独占一盒，先放号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；，
根据分类计数原理得，不同的方法有种．
而将五球放到4盒共有种不同的办法，
故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率
故选：．
【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．
13．ABD
【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误.
【详解】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；
C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.
故选：ABD
14．ABC
【分析】利用分类加法原理和分步乘法原理逐个分析判断即可
【详解】解：对于A，先排个位，若个位为0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字选3个任意排，有种，若个位不是0，则个位有4种选择，再排千位，有8种选择，再排百位和十位有种，所以没有重复数字的四位偶数共有种，所以A正确，
对于B，个位是0的不同四位偶数共有种，个位不是0的不同四位偶数有个，其中包含个位是偶数且千位为0的有，所以没有重复数字的四位偶数共有种，所以B正确，
对于C，若千位为奇 数，则有个，若千位为偶数，则有，所以没有重复数字的四位偶数共有，所以C正确，
对于D，没有重复数字的四位数有个，没有重复数字的四位奇数有个，所以没有重复数字的四位偶数共有个，所以D错误，
故选：ABC
15．CD
【分析】对于A，由题意得每人均有4种选法，然后由分步乘法原理可得答案；对于B，将5人分成4组，其中有一组2人，其余各组1，然后将这4组人分配到4个不同的工作中去即可；对于C，先选2人到礼仪工作，剩下的3平均分配到其它3个工作，然后由分步乘法原理可得答案；对于D，按分步乘法原理求解，先选2人排前排，然后剩下3人中身高最高的站后排的最中间，剩下2人排两端即可
【详解】解：若五人每人任选一项工作，则每人均有4种不同的选法，不同的选法有45种，故A不正确；
若每项工作至少安排一人，则先将五人按分成四组，再分配到四个岗位上，故不同的方案有（种），故B不正确；
若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位，
其余三人在其余三个岗位上全排列即可，故不同的方案有（种），C正确；
前排有种站法，后排3人高的站中间有种站法，所以共有种，故D正确．
故选：CD．
16．AB
【分析】根据分类加法计数原理即可判断A；
根据分步乘法计数原理即可判断B；
首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，即可判断C；
根据分步乘法计数原理即可判断D.
【详解】解：对于A，从中任选1个球，共有种不同的选法，故A正确；
对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有种不同的选法，故B正确；
对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，共有种不同的选法，故C错误；
对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有种不同的选法，故D错误．
故选：AB．
17．ACD
【分析】利用分类计数原理、分步计数原理即可.
【详解】从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，不同的选科方案有种，则A正确；若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有种，则B错误；若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有种，则C正确；若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有种，则D正确.
故选：ACD.
18．ABD
【分析】根据分类分步计数原理,平均分组及不平均分组,隔板法等分别判断各个选项即可.
【详解】对于A:,故A正确；
对于B:不同的分组，2组2个，3组1个或1组3个，4组1个，
即或所以有种，故B正确；
对于C:应用隔板法，C选项等价于8个相同的球,放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个, 所以有种, 故C错误；
对于D:由于球和盒子相同，所以存放的区别在于盒子里球的个数，
存放1个盒子，将7个球放入1个盒子，有1种存放方式；
存放2个盒子，有3种；
存放3个盒子，有4种；
共有8种，故D正确.
故选：ABD.
19．48
【分析】分三个步骤参观完三个景点及沿途风景，根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】根据题意，从点P处进入后，参观第一个景点时，有6条线路可以选择，从中任选一个，有6种选法；
参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4条线路可以选择，从中任选一个，有4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有2条线路可以选择，从中任选一个，有2种选法．
由分步乘法计数原理知，共有6×4×2＝48种不同的游览路线．
故答案为：48.
【点睛】本题考查了分步乘法计数原理，解题关键是正确分步，属于基础题.
20．9
【解析】以老师监考的班级分类讨论即可求出答案．
【详解】解：当老师监考班时，剩下的三位老师有3种情况，同理当老师监考班时，也有3种，当老师监考班时，也有3种，共9种，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查计数原理，属于基础题．
21．mn/nm
【分析】根据分步计数原理可得出结果.
【详解】从集合A的m个元素取1个元素，有m种方法，
从集合B的n个元素取1个元素，有n种方法，
根据分步计数原理可知，两个集合中各取1个元素，一共有mn种．
故答案为：mn.
22．18
【分析】先从1，2中选一个数排在百位，再由十位和个位各有3种选法求解.
【详解】解：先从1，2中选一个数排在百位，有2种选法，
然后十位和个位各有3种选法，
故组成的三位数（允许数字重复)的个数为，
故答案为：18
23．216
【分析】依次求出眼睛、鼻子、嘴巴的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，要求“眼睛”用相同颜色，需要在6种不同的颜色任选1种，则涂眼睛有种情况，
涂鼻子时，需要在6种不同的颜色任选1种，有种情况，
涂嘴巴时，需要在6种不同的颜色任选1种，有种情况，
则共有种涂法方法.
故答案为：216.
24．100
【分析】先找出0~9中的质数，奇数，偶数的个数，再由分步乘法计数原理求解即可
【详解】因为0~9中的质数为2，3，5，7，共有4个数字；
0~9中奇数为1，3，5，7，9，共有5个数字；
0~9中偶数为0，2，4，6，8，共有5个数字；
故由分步乘法计数原理可知，
他可选择的不同密码的个数为．
故答案为：100
25．120
【分析】根据题意，将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组不能为0的问题，根据0的个数分情况，结合挡板法即可求解．
【详解】根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中，
若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有个，
若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个数不为0的3组，0可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有个，
若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有个，
若四位数的“英雄数”中有3个0，则只能是8000，只有一种情况，
综上：共有个“英雄数”．
故答案为：120．
26．65
【分析】利用间接法，利用分步计数原理求出没有限制的方案数，排除没人去人民公园的方案数，即得.
【详解】由题可知没有限制时，每人有3种选择，则4人共有种，
若没人去人民公园，则每人有2种选择，则4人共有种，
故人民公园一定要有人去的不同游览方案有种.
故答案为：65.
27．
【分析】采用分步乘法计数原理进行分析：先从第一行选取个代表，然后再从第，，，行中分别选取个代表，注意保证每一列都有代表，由此求出结果.
【详解】从第行中选取一个代表，选法有种，
从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，
从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，
从第行中选取一个代表，为保证每一列都有代表，选法有种，
由分步乘法计数原理可知，不同的选法数有：，
故答案为：.
28．
【分析】根先将四人平均分成两组，再安排服务工作共有种，再根据全排求甲、乙安排一起服务的种数，结合古典概型即可求解.
【详解】将四人分成两人两组共有种，
再安排四人到篮球与演讲比赛现场进行服务工作有种，
又甲、乙安排在一起共有种，
所以甲、乙安排在一起的概率为，
故答案为：.
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第1讲 分类加法与分步乘法计数原理
一、分类加法计数原理
完成一件事情有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
三、两种计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 都是完成一件事的不同方法的种数问题
不同点 完成一件事有类不同方案，关键词是“分类”，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事 完成一件事需要个步骤，关键词是“分步”，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事
【课堂训练】
一、单选题
1．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，从一层到4层共有种走法？
A．8 B．23 C．42 D．24
2．从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．8
3．“3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文 数学 外语3门科目，“1”是指考生在物理 历史两门选择性考试科目中所选择的1门科目，“2”是指考生在思想政治 地理 化学 生物4门选择性考试科目中所选择的2门科目.小明同学非常喜欢化学，所以必选化学，那么他的选择方法数有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
4．象棋，亦作“象暮” 中国象棋，中国传统棋类益智游戏，在中国有着悠久的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，如果每个区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色的方法有（ ）种.
A．120 B．180 C．240 D．72
6．从4名男教师和2名女教师中选出3名教师，分配到3个班担任班主任(每班一个班主任)，要求男女教师都要有，则不同的安排方法种数为（ ）
A．96 B．72 C．60 D．16
7．把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（ ）种方法.
A．81 B．64 C．12 D．7
8．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中,每瓶不空,如果甲、乙两种种子都不许放入第一号瓶子内,那么不同的放法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
9．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种
10．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
11．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（ ）
A．25个 B．26个 C．36个 D．37个
12．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
14．用0到9这10个数字.可组成（ ）个没有重复数字的四位偶数？
A．
B．）
C．
D．
15．第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小赵、小李、小罗、小王、小刘为五名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（ ）
A．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有54种
B．若每项工作至少安排一人，则有120种不同的方案
C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案
D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法
16．现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法
17．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革，改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.选择性科目是由学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，则（ ）
A．不同的选科方案有20种
B．若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有12种
C．若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有10种
D．若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有12种
18．下列选项正确的是（ ）
A．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种
B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种
C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种
D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种
三、填空题
19．一个旅游景区的游览线路如图46－2所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有 种(用数字作答)．
20．高三年段有四个老师分别为，这四位老师要去监考四个班级，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求老师不能监考班，老师不能监考班，老师不能监考班，老师不能监考班，则不同的监考方式有 种.
21．集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是 .
22．由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复)的个数为 .
23．用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中、所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有 种．（用数字作答）
24．某种旅行箱的密码锁由三个数字组成（每个位置上的数字可从0~9这10个数字中任选一个）．小张购买一个旅行箱后，打算设置密码，自上而下第一个位置的数字设置为质数，第二个位置的数字设置为奇数，第三个位置的数字设置为偶数，则他可选择的不同密码的个数为______．
25．在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有 个（用数字回答）
26．2021年12月，南昌最美地铁4号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种数为 .
27．个人排成一个n行，n列的方阵，现要从中选出n个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有 种不同的选法.
28．将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为 ．
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