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第2讲 排列与组合
一、排列
从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.两个要素：一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”
二、排列数
1.排列数：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
2.排列数公式：（且）
3.全排列：个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，且
.我们记，叫做的阶乘，规定.
三、排列问题常用方法
1.有“相邻”要求，通常采用“捆绑法”.
2.有“不相邻”要求，通常采用“插空法”.
3.特殊位置优先策略.
4.间接法.
四、组合
1.从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合.两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
五、组合数与组合数公式
1.组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.
2.组合数公式：（，且）
3.组合数的性质：(1)； (2)； (3)规定
【课堂训练】
一、单选题
1．下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
2．2022年北京冬奥会圆满结束，学校要求出一期有关于冬奥会的主题黑板报，小亮在书写本届冬奥会的主题“Together for a Shared Future”时，只记得Future包含的字母，忘记了正确拼写顺序，请问，小亮乱写，只有两个字母位置不对的概率是（ ）
A． B．
C． D．
3．甲、乙，丙、丁，戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都没有得到冠军．但都不是最差的．”从回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（ ）
A．27种 B．72种 C．36种 D．54种
4．6名学生和2位老师排成一排毕业留影，要求两位老师站最中间，学生甲、乙不相邻，则不同的站法种数为（ ）
A．1056 B．960 C．864 D．768
5．2022年11月11日下午，国务院联防联控机制综合组发布《关于进一步优化新冠肺炎疫情防控措施科学精准做好防控工作的通知》二十条．后疫情时代，北海市某中学为了广大师生能够更好地掌握关于新冠疫情防控注意事项，准备组织一次主题宣讲活动．特从某医院的3名医生和4名护士中，选出3人参加“新冠疫情防疫宣讲”主题活动．要求入选的3人中至少有一名医生，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．25 C．31 D．34
6．已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（ ）
A． B．
C． D．
7．袋中装有大小相同的2个白球和5个红球，从中任取2个球，则取到的2个球颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为（ ）
A．54 B．48 C．42 D．36
9．甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种.
A．24 B．96 C．174 D．175
10．2022年12月份，齐齐哈尔出现新冠疫情，各个社区马上进入应急状态，其中甲乙丙三个社区疫情最为严重，急需支援．学校迅速组织6位教师去支援，其中甲社区需要3位教师，乙社区需要2位教师，丙社区需要1位教师，则学校的不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
11．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，始见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.甲、乙、丙三名同学想学习这八种乐器，他们商定采用抽签（无放回）的方法，先制作8个号签（每个号签上分别写有这8个乐器的名称），再制作1个形状大小相同的空号签，然后每人抽取3个号签，选中的号签就是自己学习的乐器，若同学甲选择的打击乐器数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．北京2022年冬奥会会徽“冬梦”和冬残奥会会徽“飞跃”承载着中国几代冰雪人与奥运人对中国冰雪运动的期待与愿景.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小王 小李等6名志愿者分别以两个会徽为主题进行奥运宣讲，每位志愿者宣讲一个主题，每个主题至少有两位志愿者宣讲，若小王和小李不宣讲同一个主题，则不同的宣讲方案种数为（ ）
A．18 B．20 C．24 D．28
二、多选题
13．近期,某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的A、B、C、D四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（ ）
A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.
B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法.
C．若甲不去A区,乙不去B区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法.
D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法.
14．数列，中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，被4除所得余数为3
C．当时，被5除所得余数为3 D．
15．（多选）（ ）
A． B． C． D．
16．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ）
A．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法
D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
17．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若政治必须选，选法总数为
18．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则这样的数列共有360个
B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个
C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个
D．若，则这样的数列共有71个
三、填空题
19．甲、乙等五人在某景区站成一排拍照留念，则甲不站在两端，且甲、乙相邻的不同站法有 种．
20．甲、乙、丙三人站成一排，共有 种不同站队方式．(用排列数表示)
21．若，则实数 .
22．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可以组成 个四位数.
23．“灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，则不同取法总数为 .
24．用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55) ＝ .
25．某校社团召开学生会议，要将11个学生代表名额，分配到某年级的6个班级中，若每班至少1个名额，共有 种不同分法．（用数字作答）
26．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有 种．
27．将3名男同学和2名女同学全部分配到，4个岗位参加志愿者工作，每个岗位至少有一人参加工作，则男同学甲与女同学乙不去同一个岗位的分配方法数为 .（用数字作答）
28．现有6种不同的颜色，给图中的5个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用四种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种.
四、解答题
29．（1）求值；
（2）已知，求
30．（1）求值：；
（2）解方程：.
31．（1）求值:；
（2） 解不等式:.
32．利用组合数的性质化简：．
33．求值：（1）；
（2）.
34．求正整数，使得成立．
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第2讲 排列与组合
1．D
【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.
【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
2．C
【分析】根据古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】小亮乱写,共有种写法，
其中从中任选两个位置不对的有，从中选一个，从两个中任选一个位置不对的有种，
所以只有两个字母位置不对的有种，
（或6个字母任选两个错位，减去选到两个u的情况，有种）,
所以小亮乱写，只有两个字母位置不对的概率是.
故选：C
3．C
【分析】根据题意，先排甲乙，再排剩下三人，由排列数的计算，即可得到结果.
【详解】根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一名，
先排甲乙，再排剩下三人，则5人的名次排列种数为种.
故选：C
4．A
【分析】先求出老师站最中间总共的方法数，然后减去甲、乙相邻的方法数即可.
【详解】老师站最中间有(种)站法，
老师站最中间且学生甲、乙相邻有(种)站法，
不同的站法种数为(种)，
故选：A.
5．C
【分析】先求出从3名医生和4名护士中，选出3人的方法总数，再求出若入选的3人没有医生的方法总数，相减即可得出答案.
【详解】根据题意，从3名医生和4名护士中，选出3人，有种选法．
若入选的3人没有医生，即全部为护士的选法有种，
则有种不同的选取方案．
故选：C.
6．B
【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.
【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；
由排列数的定义可知，B选项正确；
由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B.
【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.
7．D
【分析】利用组合数及古典概型的概率的计算公式即可求解.
【详解】设“取到的2个球颜色相同”为事件为,则
，
所以取到的2个球颜色相同的概率为.
故选：D.
8．C
【分析】根据题意，分两种情况讨论：乙是冠军，乙不是冠军，再安排其他人，由加法计数原理可得答案.
【详解】由题意，第一种情况：乙是冠军，则甲在第二位，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况；
第二种情况：先从丙、丁、戊中选1人为冠军，再排甲，乙两人，再把甲和乙捆绑与其他人排列，共有种；
综上可得共有种不同的情况.
故选：C.
9．D
【分析】根据去茶经楼的人数进行分类讨论，结合排列组合知识进行求解.
【详解】若4人均去茶经楼，则有1种参观方式，
若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处，
有种参观方式；
若有2人去茶经楼，则从4人中选择2人，另外2人从另外3处景点任意选择一处，
有种参观方式；
若有1人去茶经楼，则从4人中选择1人，另外3人从另外的3处景点任意选择一处，
有种参观方式，
综上：共有种参观方式.
故选：D
10．B
【分析】利用分步乘法计数原理和组合可得.
【详解】由题意：第一步从6位教师中选3位去甲社区有种选法，
第二步从剩余3位教师中选2位去乙社区有种选法，
第三步剩下1位教师去丙社区有1中选法，
共有种选法，
故选：B
11．A
【分析】由题意知，同学甲所抽号签分不含空号签、含空号签两种情况，分别求出两种情况下的抽法种数，及所有抽法数，由古典概型的概率求法，求即可.
【详解】由题意，同学甲所抽号签分不含空号签、含空号签两种情况，
1、当甲同学所抽号签不含空号签时，的抽法有种；
2、当甲同学所抽号签含空号签时，的抽法有种；
而抽号签的所有抽法有种，
∴.
故选：A
12．D
【分析】根据题意分2种情况讨论：①小王宣讲“冬梦”，小李宣讲“飞跃”，②小王宣讲“飞跃”，小李宣讲“冬梦”，由加法原理即可求解.
【详解】若小王宣讲“冬梦”，小李宣讲“飞跃”，则剩余的四名志愿者可能是1名宣讲“冬梦”，3名宣讲“飞跃”；2名宣讲“冬梦”，2名宣讲“飞跃”；3名宣讲“冬梦”，1名宣讲“飞跃”；此类有种分组方法；
若小王宣讲“飞跃”，小李宣讲“冬梦”， 则剩余的四名志愿者可能是1名宣讲“冬梦”，3名宣讲“飞跃”；2名宣讲“冬梦”，2名宣讲“飞跃”；3名宣讲“冬梦”，1名宣讲“飞跃”；此类有种分组方法；
则不同的宣讲方案种数为种，
故选：.
13．ABD
【分析】对于A，直接用全排列公式求解即可；
对于B，先选一个区无人去，然后将四名医生分成3组，再全排，最后用分步乘法计数原理求解即可；
对于C，使用间接法求解即可得解；
对于D，使用隔板法求解可得结果.
【详解】对于A，若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.故A正确；
对于B，若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法.故B正确；
对于C，若甲不去A区,乙不去B区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法.故C不正确；
对于D，若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱隔成4份，且隔板不相邻、不在两端，则共有种不同的安排方法.故D正确.
故选：ABD.
14．ACD
【分析】AD选项根据阶乘的含义计算即可，BC选项将被4除所得的余数、被5除所得余数分别转化为被4除所得的余数、被5除所得余数，然后计算即可.
【详解】A选项：，故A正确；
B选项：，，，都能被4整除，所以当时，被4除所得的余数和被4除所得的余数相同，，被4除的余数为1，故B错；
C选项：同理可得，当时，被5除所得余数和被5除所得余数相同，，被5除所得余数为3，故C正确；
D选项：，故D正确.
故选：ACD.
15．CD
【分析】由组合数的性质即可求得答案.
【详解】
.
故选：CD．
16．ACD
【分析】对A：根据分步乘法计数原理运算求解；对B：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C：根据分步乘法计数原理运算求解；对D：利用捆绑法运算求解.
【详解】对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A正确；
对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：
全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B错误；
对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C正确；
对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D正确；
故选：ACD.
17．AC
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理、分类加法计数原理及排列组合，依次判断各选项，即可得解．
【详解】对于A，任意选择三门课程，选法总数为，A正确；
对于B，物理和化学至少选一门，分两类，
第一类：物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，有种方法，共有种选法；
第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的五门中选一门，有种方法，共有种选法，
由分类加法计数原理知，选法总数为，B错误；
对于C，物理和历史不能同时选，选法总数为，C正确；
对于D，政治必须选，另两门从余下六门中任选两门，选法总数为，D错误．
故选：AC
18．AD
【分析】根据对称性可得，即可判断A，对于B：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断B，对于C：对的位置分类讨论，对于D，分、、三种情况讨论.
【详解】解：对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；
对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故B错误；
对于C：从1，2，3，4，5，6中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧，
得到先减后增的数列有个；
故满足条件的总个数为：个，故C错误．
对于D：若则这样的数列有个，
若则这样的数列有个，
若则这样的数列有个，
所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确；
故选：AD
19．36
【分析】先求出甲、乙相邻的不同站法有，再利用间接法求解即可.
【详解】甲、乙等五人在某景区站成一排拍照，
甲、乙相邻的不同站法有，
其中甲站在两端的同站法有，
所以甲不站在两端，且甲、乙相邻的不同站法有种．
故答案为：36.
20．
【分析】甲、乙、丙三人站成一排的情况即为全排列,则情况数可得.
【详解】甲、乙、丙三人站成一排，
不同站队方式数为.
故答案为：.
21．或
【分析】根据组合数的性质得解.
【详解】由组合数的性质得或，
所以或
【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题.
22．
【分析】在已知的5个数字中任选4个作全排列即可得答案.
【详解】用1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，即任选4个数字作全排列即可，
所以个.
故答案为：
23．
【分析】根据题意，先对6盏不同的花灯进行全排列，结合定序排列的解决方法，即可求解.
【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种排法，
因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，
又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，
所以共有种不同的取法.
故答案为：.
24．
【分析】由排列数的定义求解即可.
【详解】∵55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，
且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝.
故答案为：.
25．252
【分析】采用“隔板法”，11个名额之间有10个空，隔5块板就可以分成6份，计算出结果即可.
【详解】采用“隔板法”，11个名额之间有10个空，隔5块板就可以分成6份，每份至少一个名额，故共有种方案.
故答案为：252.
26．480
【分析】先只考虑甲乙丙三人的情况，其中甲乙两人均在丙领导人的同侧有4种，故甲乙两人均在丙领导人的同侧占总数的，则再考虑其他成员的情况即可迎刃而解.
【详解】甲乙丙的三个人顺序种，
其中甲乙两人均在丙的同侧有4种，在丙的两侧有2种，
故甲乙两人均在丙领导人的同侧占总数的，
则甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有种．
故答案为：480
27．216
【分析】分二步：先将5人分成4组，再分配到4个岗位，利用分步计数原理即可求出结果.
【详解】因为男同学甲与女同学乙不去同一个岗位，故将5人分成2组，共有种；
所以男同学甲与女同学乙不去同一个岗位的分配方法数为种.
故答案为：.
28．3030
【分析】由题意选出的颜色可以是二种，三种或者四种，当选择二种颜色时，共有种方法；当选择三种颜色时，又分第一个空和第三个空颜色相同和不同的情况并减去整体只用了两种颜色的情况；当选择四种颜色时，有一种颜色必用了2次，再采用插空的方式进行计算共有种情况，然后利用分类计数原理求和即可得出结果.
【详解】由题意选出的颜色可以是二种，三种或者四种，规定左边起为第一个空，情况如下：
当选出两种颜色时，第一个空有两种情况选择，第一个空颜色确定后，其余空颜色就确定了，共有种方法；
当选出三种颜色时，第一个空有三种选择，第二个空有两种选择，第三个空可分为与第一个空颜色相同和不同的情况，
第四个空和第五个空都各有两种选择，但要去掉整体只用了两种颜色的情况，共有种方法；
当选出四种颜色时，必有两个颜色相同，可采用插空法，这两个相同颜色去插入另外三种颜色形成的空，共有种方法，
所以不同的涂色方法共有种，
故答案为：
29．(1)当时为，当时为；(2) .
【分析】(1)由组合数公式可得或5，带入即可得出的值；
(2)求解组合数方程可得，即可计算.
【详解】（1），，或．
当时，原式；当时，原式．
（2）由题意可知，的取值范围为，
因为，所以
，
即，
，解得：（舍）或，
．
30．（1）；（2）或
【分析】（1）利用组合数的性质可计算出所求代数的值；
（2）利用组合数的性质结合已知等式可得出关于的等式，结合可求得的值.
【详解】解：（1）因为，
所以，；
（2）因为，由可得或，解得或.
31．（1）；（2）.
【分析】（1）根据组合数性质进行计算，然后可求结果；
（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算求解出不等式解集.
【详解】（1）因为，所以，
原式
；
（2）因为，
所以，
化简可得，解得，
所以不等式解集为.
32．
【分析】根据组合数性质，可逐步抵消得出，计算即可.
【详解】利用组合数与杨辉三角之间的关系可知组合数性质为；
又易知，
所以
所以可得
33．（1）31464；（2）.
【分析】（1）根据组合数性质即可得结果；
（2）根据组合数性质即可得结果；
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查了通过组合数的性质计算式子的值，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.
34．答案见解析
【分析】利用对称性由，分情况讨论，从整除性得矛盾，再利用因式分解及数的范围分别得到结果.
【详解】因为为正整数，不妨设．
若，则，但，矛盾，∴．
（1）若，此时若，则为奇数，与题设矛盾，故，
从而．只有时，时，，即或．
（2）若，则，故．
此时若，则，但，矛盾，∴．
①若，则．注意到时，，而时，，故此时无解．
②若，应用，此时当时，，矛盾，∴．又，故．
只能是取或5，分别得解或．
综上所述，满足条件的正整数有四组，
若考虑到的其他排列顺序，
当时，变换时还有，
当为时，变换时还有，
当时，变换时还有种，
当时，变换时还有种，
综上：合计有18组解．
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