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第3讲 二项式定理
1．C
【分析】根据二项展开式的性质，合理利用赋值法，即可求解.
【详解】令，得；
令，得，
因为，所以．
故选：C.
2．B
【分析】利用二项式定理展开计算即可.
【详解】设的二项式展开式通项为，
即：，令，则，故的系数为.
故选:B
3．C
【分析】将代数式变形为，然后根据展开式的通项公式即得.
【详解】，
又的通项公式为，
所以的展开式中的系数为.
故选：.
4．A
【分析】写出并化简其通式得，再对的指数合理赋值即可得到方程，解出即可.
【详解】，
令，得．∴，
依题意，∴．
故选：A.
5．A
【分析】根据二项式系数和的性质求得，令，求得各项系数和为，即可求解.
【详解】由的展开式中的二项式系数和为，可得，
令，可得各项系数和为，
所以.
故选：A.
6．A
【分析】由二项展开式的通项求解即可.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，则，故含项的系数为.
故选：A.
7．D
【分析】由题设知，即可求a，再写出展开式通项，即可求其常数项.
【详解】令知：展开式中各项系数和为，
由题设有，即，
∴该展开式中常数项为，
故选：D．
8．C
【分析】求出二项式的通项公式，令x的指数为1，解得r的值，可得答案.
【详解】展开式的通项，
令，则，
所以的展开式中的系数为,
故选:C．
9．A
【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解.
【详解】的通项为，
又，
分别令、，解得或，
所以的展开式含项的系数为.
故选：A.
10．B
【分析】分三步处理问题，分别表示出取红球、蓝球、黑球的表达式，相乘即可.
【详解】第一步，5个无区别的红球都取出或都不取出，则有种不同的取法；
第二步，5个无区别的蓝球可能取出0个，1个，，5个，则有种不同的取法；
第三步，5个有区别的黑球可以看作5个不同编号的黑球，则从5个不同编号的黑球中任取出0个，1个，，5个，则有:种不同的取法；
所以根据分步计数原理，所有的红球都取出或都不取出的所有取法为：
.
故选：B.
11．ABD
【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案.
【详解】对于 A， 取 , 则 ，则A正确；
对B，根据二项式展开通式得的展开式通项为，即，其中
所以，故B正确；
对C，取，则，
则，故C错误；
对D，取，则，
将其与作和得，
所以，故D正确；
故选：ABD.
12．AD
【分析】利用赋值法以及二项式定理的通项公式：即可求解.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，令，则，故B不正确；
对于C，令，则，
即，所以，故C不正确；
对于D，由C项可得，故D正确.
故选：AD
【点睛】本题考查了二项式定理的展开式、赋值法求系数和，需熟记公式，属于基础题.
13．BD
【分析】根据赋值法依次判断4个选项即可.
【详解】A选项，令，，对，
令，，
令，，
B选项，，∴，错，
C选项，，∴，对，
D选项，令，，
又，∴，∴，错，
故选：BD.
14．ABC
【分析】根据题设知且，根据二项式的性质、赋值法等判断各选项的正误.
【详解】由题设，则，
A：所有项的二项式系数和为，正确；
B：当，所有项的系数和为，正确；
C：对于二项式系数，显然第四、五项对应二项式系数最大，正确；
D：有理项为，即、2、4、6共四项，错误.
故选：ABC
15．ABD
【分析】变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案.
【详解】，
展开式的通项为，
对选项A：令，可得，正确；
对选项B：，所以，正确；
对选项C：令，可得，错误；
对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．
故选：ABD
16．BCD
【分析】利用二项展开式的通项及二项式定理即可求解.
【详解】对于A，的展开式的通项为.
令，解得，所以展开式的常数项为，故A错误；
对于B，，因为都是的倍数，所以是的倍数，所以被7除余1，故B正确；
对于C，的展开式的第二项为，故C正确；
对于D，，因为都是的倍数，所以是63的倍数，所以被63除余1，故D正确.
故选：BCD.
17．AD
【分析】根据题目要求结合二项式定理的各项性质即可得到结果
【详解】易知的展开式中所有项的二项式系数和为，故A正确；
由二项式通项，知，所以第1350项的系数为，所以第1350项不是系数最大项，故B错误；
当时，有①，当时，有②，
①－②，可得，故C错误；
当时，有，当时，
所以，故D正确．
故选：AD
18．AC
【分析】由已知可推得.根据二项式系数的性质，即可得出A项；赋值令以及，即可判断B项；令以及，即可得出C项；判断各项的符号，去掉绝对值，即可求出结果，判断D项.
【详解】由已知可得，，所以.
对于A项，根据二项式定理的性质可知，A项正确；
对于B项，令可得，；
令可得，.
两式相加可得，，
所以，故B项错误；
对于C项，令可得，；
令可得，，
所以，故C项正确；
对于D项，易知均为负数，均为正数.
所以，.
又，，
所以，，
所以，，故D项错误.
故选：AC.
19．26
【分析】由题意依次求出展开式中，项的系数，求和即可求得的系数.
【详解】因为，所以的系数为26．
故答案为：26
20．
【分析】由二项式系数和可求得的值，然后在二项式中令，可求得所有项的系数和.
【详解】的二项式系数和为，可得，
所以，的所有项的系数和为.
故答案为：.
21．
【分析】由二项式定理可知二项式系数和，所有项的系数和，结合常数项为70可得，进而得到含的项.
【详解】依题得，所以n=8，在的展开式中令x=1，则有，所以a+b=2，又因为展开式的通项公式为，令.所以得到（舍），当时，由得.所以令，所以，故填.
【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
22．
【分析】根据二次展开式的通项公式确定常数项即可求的值.
【详解】二项式展开式的通项为，
令，得，常数项为，得．
故答案为：.
23．
【分析】写出二项式展开式,利用的次幂为0，即可得常数项.
【详解】展开式通项为：
令 ，得，
所以常数项为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项，求展开式中某一项的系数，属于基础题.
24．720
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为即可求解.
【详解】由得，
令，
故答案为：.
25．2
【分析】利用赋值法计算即可.
【详解】由，
令，则，
令，则，
∴.
故答案为：2.
26．6
【分析】的展开式的通项为，
由题意，得，由二项式系数的性质得是二项式系数的最大值，
所以的最大值为，即的最大值为6.
点睛：在利用二项式定理处理问题时，要注意区分“二项式系数”和“各项系数”，二项式系数仅是通项中的组合数，而各项系数是未知数以外的常数.
27．－1
【分析】先赋值，求出，再求出的展开式的通项公式，得到，与的对应项相乘后得到展开式中的系数.
【详解】令，得，解得，
则，
展开式的通项.
当时，，
所以的展开式中的系数为；
当时，，
的展开式中的系数为.
所以的展开式中的系数为.
故答案为：.
28．0
【分析】令，根据题意求得，再令，求得所有不含“y”的项的系数和，即可求得结果.
【详解】令，，可得，据题意可得，即有；
令，，可得，即所有不含“y”的项的系数和为64，
故可得含“y”的项的系数和为0.
故答案为：.
29．x5－1.
【分析】逆用二项式定理即可得解.
【详解】解:原式＝ (x－1)5＋(x－1)4＋(x－1)3＋ (x－1)2＋(x－1)＋－1
＝[(x－1)＋1]5－1
＝x5－1.
30．xn
【分析】逆用二项式定理可以化简多项式，进而求得结果.
【详解】原式＝ (x＋1)n＋ (x＋1)n－1(－1)＋ (x＋1)n－2(－1)2＋…＋ (x＋1)n－r·(－1)r＋…＋ (－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
31．（1）；（2）
【分析】（1））根据二项定理，即可得到二项时的展开式；
（2）根据二项式定理的逆用，即可得到相应的二项式.
【详解】（1）
.
（2）原式
.
32．（1）；（2）①②第6项和第7项
【分析】（1）由，利用赋值法求解；
（2）先得到通项公式，①由二项式系数最大的项为中间项，即第5项求解；②设第项系数的绝对值最大，由求解.
【详解】解：（1）∵，
令，可得，
令，可得，
∴．
（2）①．
二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以．
②设第项系数的绝对值最大，
则，所以
解得
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
33．（1）；（2）
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式分别求出中的系数，然后相加即可求解；
（2）利用二项式定理展开，可得展开式中除了最后一项外，其余都能被整除，
再利用二项式定理展开，可得最后两项不能被整除，
又因为，所以除以的余数为，即可求解.
【详解】（1）由题意，二项式的展开式的通项,其中，N，
即项的系数为，项的系数为，项的系数为，
所以的展开式中项的系数为．
（2）解法一:展开式中前92项均能被100整除，
故只需求最后一项除以100的余数．
，
前91项均能被100整除，后两项的和为，
又因为，
所以除以的余数为，
故除以的余数为.
解法二： ，
前项均能被整除，后两项的和为，
显然除以的余数为 ，
故除以的余数为.
34．(1)
(2)
【分析】(1)将化为,利用二项展开式的通项公式,即可求得答案;
（2）根据组合数的性质以及排列数的计算，化简，可得答案.
【详解】（1）因为，
设,
令,得,
故展开式中的系数为.
（2）.
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第3讲 二项式定理
一、二项式定理及相关概念
1.二项式定理： ，(n∈N*).
2.二项展开式：Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，展开式共有项，
3.二项式系数：各项的系数.
4.叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项：.
5.在二项式定理中，若设，，则得到公式：.
二、二项式定理的性质
1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，…，
2.增减性与最大值：当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减小.
当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项=同时取得最大值．
三、二项式定理中的系数和问题
1.求二项式系数的和，已知
(1)令，得，所以的展开式的各二项式系数的和等于.
(2)令，则，即，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
2.求各项系数的和
(1)形如，求各项系数之和，只需令.
(2)形如求各项系数之和，只需令.
(3)若，则的各项系数之和为，
奇数项系数之和为，偶数项系数之和为.
四、系数的最值问题
求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第项的系数为最大，然后解不等式即可.
五、余数问题
六、杨辉三角
(a＋b)n展开式的二项式系数：
(a＋b)0…………………………………1
(a＋b)1………………………………1 1
(a＋b)2……………………………1 2 1
(a＋b)3…………………………1 3 3 1
(a＋b)4………………………1 4 6 4 1
(a＋b)5……………………1 5 10 10 5 1
(a＋b)6…………………1 6 15 20 15 6 1
【课堂训练】
一、单选题
1．设，则（ ）
A．-36 B．6 C．-29 D．-27
2．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在的二项式展开式中，的系数为（ ）
A．10 B． C． D．
3．的展开式中的系数为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
4．展开式中含项的系数为，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则（ ）
A．33 B．31 C．-33 D．-31
6．的展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C．1 D．5
7．的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
8．在的展开式中的系数为（ ）
A．40 B．-40 C．80 D．-80
9．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
10．用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知多项式则下列说法正确的是（ ）
A．的值为1 B．的值为8
C．的值为70 D．的值为72
13．若（），则下列计算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为1
C．第4项和第5项的二项式系数最大
D．有理项共3项
15．已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．下列命题为真命题的是（ ）
A．展开式的常数项为20 B．被7除余1
C．展开式的第二项为 D．被63除余1
17．已知，则（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数和为
B．展开式中系数最大项为第1350项
C．
D．
18．的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（ ）
A．第项的二项式系数最大
B．所有奇数项的系数和为
C．
D．
三、填空题
19．的展开式中，的系数为 ．
20．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于
21．二项式的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若，则含的项为 ．
22．若二项式展开式的常数项为60，则实数的值为 ．
23．二项式展开式中常数项为 .
24．的二项展开式中项的系数是 （填数字）.
25．已知，则 .
26．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N)是一个单调递增数列，则k的最大值是 ．
27．已知的展开式中所有项的系数和为8，则展开式中的系数为 .
28．已知展开式的各项系数和为64，则所有含“y”的项的系数和为 .
四、解答题
29．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
30．化简：(x＋1)n－(x＋1)n－1＋ (x＋1)n－2－…＋(－1)r (x＋1)n－r＋…＋(－1)n.
31．完成下列各题.
（1）求的展开式;
（2）化简.
32．（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项；
33．（1）求的展开式中的系数；
（2）求 除以的余数．
34．根据条件，分别求解：
(1)求展开式中的系数；
(2)求值：.
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