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第4讲 条件概率与全概率公式
=1．C
【分析】设甲同学报的项目其他同学不报, 4位同学所报项目各不相同,利用条件概率求解.
【详解】解：设甲同学报的项目其他同学不报, 4位同学所报项目各不相同,
由题得,,
所以.
故选：C
2．B
【分析】根据题意分别求得，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，事件“四个人去的小区不相同”，事件“甲独自去一个小区”，
可得，
所以
故选：
3．C
【分析】记所求事件：利用，结合互斥事件的概率加法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】设买到的灯泡是甲厂产品为事件，买到的灯泡是乙厂产品为事件，
则，，
记事件：从该地市场上买到一个合格灯泡，则，
所以.
故选：C.
4．A
【分析】根据条件概率的含义，明确条件概率，的意义，即可得到答案.
【详解】根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“至少出现一个1点”的情况下，“三个点都不同”的概率.
“至少出现一个1点”的情况数目为，“三个点都不同”则只有一个1点，共种，则，
同理，其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“三个点都不同” 的情况下，“至少出现一个1点” 的概率.
“三个点都不同”的情况数目为，“只有一个1点”则三个点都不同，共种，即.
故选：A
5．B
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】设事件A：答对A题，事件B：答对B题，
则，
.
.
故选：B.
【点睛】本题考查了条件概率的计算，属于基础题.
6．B
【分析】由题设，应用全概率公式可直接求得该同学第2天去餐厅用餐的概率.
【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
由题意得：，，，
由全概率公式，得：，
因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为.
故选：B.
7．B
【分析】根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.
【详解】设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：
白白白，取法数为：
红白白，取法数为：
白红白，取法数为：
红红白：取法数为：
所以第三次取出的是白球的总情形数为：
则在第 k个袋子中连取三次球第三次取出的球是白球的概率为：，
因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：
当时，.
故选：B.
8．C
【分析】记女生甲被选中为事件，记男生至少一人被选中为事件，根据条件概率计算.
【详解】设女生甲被选中为事件，事件表示女生甲被选中后再从剩下的6人中选2人，故，
设男生至少一人被选中为事件，事件表示女生甲被选中后再选2男生或1男生和1女生（从剩余4女生中选），故
则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是.
故选：C.
9．A
【解析】表示20人随机抽取一人，既是甲组又是英语口语测试成绩不低于85分的概率， 确定出，，利用条件概率公式求解即可得 到答案.
【详解】由题意知，，
表示20人随机抽取一人，既是甲组又是英语口语测试成绩不低于85分的概率，，
根据条件概率的计算公式得.
【点睛】本题考查条件概率，考查学生分析实际问题的能力，和计算能力，属于基础题型，此类问题的关键是要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质.
10．C
【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案；
【详解】对A，，故A错误；
对B，若A，B对立，则，反之不成立，故B错误；
对C，根据独立事件定义，故C正确；
对D，若A，B互斥，则，故D错误；
故选：C
11．AB
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】因为，，所以，.
因为与为互斥事件，所以，
所以
，
所以，
故，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，，
所以，故D错误.
故选:AB.
12．ACD
【分析】选项A：根据古典概型求解；
选项B：根据众数、中位数概念求解；
选项C：根据百分位数定义求解；
选项D：根据相互独立事件判断；
【详解】选项A：根据古典概型， ,选项正确；
选项B：根据众数、中位数概念，众数是19，从小到大排列，中位数是16，选项错误；
选项C：根据百分位数概念，，这组数据的第70百分位数为7.选项正确；
选项D： ,即，选项正确；
故选：ACD.
13．ABC
【分析】根据给定条件，利用等可能事件的概率、条件概率、全概率公式计算，逐项判断作答.
【详解】设事件“笔记本电脑在第号门后”，事件“主持人打开第号门”（），
由于游戏参与者不知道哪扇门后是笔记本电脑，只能随机选择一扇门开启，因此，C正确；
由于初次选择的是1号门，则，
所以主持人打开3号门的概率
，A正确；
在主持人打开3号门的条件下，1号门有笔记本电脑的概率，B正确；
在主持人打开3号门的条件下，2号门有笔记本电脑的概率，
因为，则改选2号门与保持原选择获得笔记本电脑的概率更大，D错误.
故选：ABC
14．ABC
【分析】根据给定条件，利用利用互斥事件意义判断A；利用全概率公式求出概率判断B；利用条件概率公式计算判断C；利用概率的乘法公式及互斥事件的概率加法公式计算判断D作答.
【详解】依题意，，
对于A，事件，不可能同时发生，即，因此事件，互斥，
同理：事件，，事件，互斥，故A正确；
对于B，从乙箱中取出的是红球的事件为，
则，
因此，故B正确；
对于C，由选项B知，，C正确；
对于D，取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，取出的两球都是红球的事件可以分拆成2个互斥事件的和，
记甲箱中取红球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件为，
则，
记甲箱中取黑球或白球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件为，
则
所以所求概率为，故D错误.
故选：ABC.
15．AC
【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A选项；利用和事件的关系判断B选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C选项；利用条件概率公式，求解事件A与B的积事件，根据独立事件关系确定A、B的独立性可判断D.
【详解】选项A：若A，B为互斥事件，则，，故A正确；
选项B：，故B错误；
选项C：若A，B相互独立，
，故C正确；
选项D：，则A，B不相互独立，故D错误；
故选：AC.
16．ACD
【分析】A与B是互斥事件，A正确，，B错误，利用公式计算CD正确，得到答案.
【详解】对选项A：A与B是互斥事件，正确；
对选项B：，，，
，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确.
故选：ACD
17．BCD
【分析】在各自新的样本空间中求出，判断A，B；利用全概率公式计算，判断C，D作答.
【详解】在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，A不正确；
在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，B正确；
因，，，
则，C正确；
因，，
则，D正确.
故选：BCD
18．BCD
【解析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案．
【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，
对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，当发生时，，当不发生时，，事件与事件不相互独立，故C正确；
对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力.
19．
【分析】根据题意，求出4人去4个不同的景点的总事件数，事件的总数和事件的总数，可求出，然后利用条件概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，总事件数为，
事件的总数为，则
，
事件和事件同时发生，即“甲去了九嶷山，另外3人去了另外3个不同的景点”则
事件的总数为，
所以，
所以，
故答案为：
20．
【分析】运用条件概率计算公式即可.
【详解】设“某种机械设备能够连续正常工作10000小时”为事件A，
“某种机械设备能够连续正常工作15000小时”为事件B，
P(A)=0.85,P(AB)=0.75，
现有一台连续工作10000小时的这种机械，
它能够连续正常工作15000小时的概率：
.
故答案为：
21．
【分析】计算女生中戴眼镜的人数，根据条件概率的意义，即可求得答案.
【详解】由题意从这个班级中随机抽出一名学生，己知这名学生是女生，而女生有18人，
女生中不戴眼镜的有8人，则戴眼镜的有10人，
故所抽到学生戴眼镜的概率是，
故答案为：
22．
【分析】根据条件事件的概率计算公式分别求出，然后代入计算即可.
【详解】总的情况数为，则,，
所以
故答案为:
23．
【解析】记事件第一次摸出红球，事件第二次摸出红球，计算出和，利用条件概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】记事件第一次摸出红球，事件第二次摸出红球，
则，，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查条件概率的计算，熟练应用条件概率公式是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
24．/0.5
【分析】根据条件概率公式代入求得.
【详解】由题意：，
，
，
.
故答案为：.
25．/0.6
【分析】根据条件概率公式即可求得答案.
【详解】．
故答案为：.
26．②③④
【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析五个结论的真假，可得答案．
【详解】∵甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，
则
，故①⑤错误；
②P(B|A1)=，正确；
③由上，，，
而，
故事件B与事件A1不相互独立，正确；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件，正确；
故答案为：②③④
27．
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】记事件A为“取出的2本中有1本是数学”，事件为“另1本是物理或化学”，
则，
所以.
故答案为：.
28．
【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.
【详解】由题意可知，，事件为，，，
所以，，
，
由条件概率公式得，故答案为.
【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.
29．(1)
(2)
【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可；
（2）先设事件 ，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可.
【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，
则，，
所以第二题抽到的是概念叙述题的概率
（2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题，
，，
，，
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第4讲 条件概率与全概率公式
一、条件概率公式
1.条件概率：A，B为两个随机事件，且，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.
2.概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则.
3.条件概率的性质
(1) P(B|A)+P(|A)=1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则.
二、全概率公式
1.全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有.
2..
三、贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件，，有，．
【课堂训练】
一、单选题
1．某学校安排音乐 阅读 体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲 乙 丙 丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
2．甲，乙 丙 丁四人去四个小区进行垃圾分类宣传，每个人只去一个小区，记事件“四个人去的小区不相同”，事件“甲独自去一个小区”，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.76 D．0.95
4．将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个1点”，则条件概率，分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为
A． B． C． D．
6．某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．现有n（n>2,）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其它无区别的小球，第k（k=1,2,3…n）个袋子中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率为，则n=（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
8．从5名女生2名男生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).
甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83
乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74
现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是
A．， B．，
C．， D．，
10．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则 A，B对立
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
二、多选题
11．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列说法正确的是（ ）
A．从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4
B．数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15
C．数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7
D．对于随机事件与，若，，则事件与独立
13．在某电视台举办的猜奖娱乐节目中，事先在编号为1，2，3的三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是笔记本电脑，其余两扇门背后是水杯，作为游戏参与者当然希望选中并赢得笔记本电脑，主持人知道笔记本电脑在哪扇门后面，假定你参与了该娱乐节目并初次选择的是1号门，接着主持人会从2、3号门中打开一道后面是水杯的门，则以下说法正确的是（ ）
A．主持人打开3号门的概率为
B．在主持人打开3号门的条件下，1号门有笔记本电脑的概率为
C．你获得笔记本电脑的概率为
D．在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门与保持原选择获得笔记本电脑的概率一样大．
14．现有甲 乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6个白球，乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是（ ）
A．两两互斥.
B．根据上述抽法，从乙中取出的球是红球的概率为.
C．以表示由乙箱中取出的是红球的事件，则.
D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为.
15．若，，则（ ）
A．若，为互斥事件， B．
C．若，相互独立， D．若，则，相互独立
16．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与C独立 C． D．
17．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A． B．
C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件
三、填空题
19．现有甲 乙 丙 丁四个人到九嶷山 阳明山 云冰山 舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则 .
20．设某种机械设备能够连续正常工作10000小时的概率为，能够连续正常工作15000小时的概率为，现有一台连续工作了10000小时的这种机械，它能够连续正常工作到15000小时的概率是 ．
21．已知某班级中，有女生18人，男生20人，而且女生中不戴眼镜的有8人，男生中戴眼镜的有11人，现从这个班级中随机抽出一名学生，已知这名学生是女生，则所抽到学生戴眼镜的概率是 ．
22．袋中装有标号为1、2、3的3个大小与质地相同的小球，从中任取1个，记下它的号码后放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，记事件A表示“三次抽到的号码之和为6”，事件B表示“三次抽到的号码都是2”，则 ．
23．袋中装有完全相同的个小球，其中有红色小球个，黄色小球个，如果不放回地依次摸出个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是 .
24．掷一颗骰子，令事件，，则 （结果用数值表示）．
25．袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件A＝“两球是同一颜色”，事件B＝“两球均为红球”，则 ．
26．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：
①P（B）=；
②P（B|A1）=；
③事件B与事件A1不相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关，
其中正确结论的序号为 ．（把正确结论的序号都填上）
27．小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 .
28．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率 ．（结果用分数表示）
附参考数据：；；．
四、解答题
29．为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．
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