中小学教育资源及组卷应用平台
第5讲 离散型随机变量及其分布列
1．C
【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.
故选：C.
2．D
【分析】由的分布列，先求出,再求出，再由,即可得出结果.
【详解】由的分布列可得：，所以,所以.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的均值与方差的性质，属于基础题型.
3．A
【分析】利用排列问题的运算求解即可.
【详解】由于后四位数字两两不同，且都大于，
因此只能是四位数字的不同排列，故有种.
故选：A
4．A
【分析】利用分布列的性质即可得解.
【详解】由概率和等于1可得：，则.
故选：A.
5．B
【分析】设，，则由，，求出，，由此能求出．
【详解】设，，
由题意得，
解得，，
.
故选：B.
6．A
【分析】根据标中数据，利用期望和方差公式求解判断.
【详解】由已知可得，
，
所以，
，
，
所以，
故选：A．
7．D
【分析】由概率和为1列方程求出的值，再由可求出的值，然后由方差公式求出，再由方差的性质可求出结果.
【详解】由题意得，得，
所以，解得，
所以，
所以
故选：D.
8．C
【分析】先利用公式计算随机变量的方差，再利用公式计算即可.
【详解】因为随机变量，方差，
所以.
故选：C.
9．D
【解析】首先求和，然后换元，，利用函数的单调性，判断充分必要条件.
【详解】由题意可知： ，
且，，
解得：，
，
，
设，
，
当时，增大，当时，减小，
所以当减小时，不能推出增加；
设，
，
，
当时，，此时，当增加时，也增加，
当时，，此时，当增加时，减小，
所以当增加，不能推出减小.
综上可知：“减小”是“增加”的既不充分也不必要条件.
故选：D
【点睛】本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.
10．C
【分析】根据分布列中概率和为可得的值和的范围，再求出，的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题，计算即可得出结果.
【详解】，故，
易得，，则，
故，
，
又因为，所以．
故选：C．
11．ABD
【分析】根据离散型随机变量的特征判断即可.
【详解】ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征，而一天内的温度变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不是离散型随机变量.
故选：ABD．
12．ACD
【分析】根据原样本、新样本的期望、方差、中位数、平均数的对应关系确定正确选项.
【详解】依题意为正实数，
原样本的期望为，新样本的期望为，由于，所以，A选项正确.
原样本的方差为，新样本的方差为，由于，所以，B选项错误.
原样本的中位数为，新样本的中位数为，C选项正确.
原样本的平均数为，新样本的平均数为，D选项正确.
故选：ACD
13．BD
【分析】利用，的计算公式求出，再利用函数的单调性即可判断出结论．
【详解】由题意可得，，
因为在上单调递减，
所以当时，无最大值和最小值.故A错误，B正确.
，
因为在上单调递减，
所以当时，无最大值和最小值.故C错误，D正确.
故选:BD.
14．ABD
【分析】首先设乙的得分为，则的所有可能取值为0，10，25，40，分别求出对应的概率，即可得到，即可判断A，B正确，记“甲得分为正数”为事件，“乙得分为正数”为事件，根据独立重复试验概率公式即可判断C错误，根据独立事件概率公式即可判断D正确.
【详解】A，B选项：设乙的得分为，则的所有可能取值为0，10，25，40，
且，
，，，
因此，故A，B正确；
C，D选项：记“甲得分为正数”为事件，“乙得分为正数”为事件，
则，，
，，
因此甲得0分的概率是，
甲、乙的得分都是正数的概率是，
故C错误，D正确.
故选：ABD
15．CD
【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出．
【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球，
或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，
或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，
故，A错误；
BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，
或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，
或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，
故，B错误，C正确；
D选项，的所有可能有，
故，D正确．
故选：CD.
16．BCD
【分析】分别求出随机选择一项、两项、三项时得分的期望，然后即可得出结果.
【详解】因为多选题可能有个或个正确的选项，恰有两个正确选项的概率为，所以恰有三个正确选项的概率为，
若随机选择一项，则得分的所有可能取值为0，2，
则，，
则，
若随机选择两项，则得分的所有可能取值为0，2，5，
则，，，
则，故A错误；
若随机选择三项，则得分的所有可能取值为0，5，
则，，
则，显然存在使，故D正确；
由于，
，
所以无论为多少，随机选择一项总能使最大，故B正确；
由得，
所以当，随机选择两项比随机选择三项更优，故C正确；
故选：BCD.
17．BC
【分析】根据题意可知10所学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数为4个，故可确定X的取值范围为，判断A;求出X的每个取值的概率，判断B,C;求得X的期望，判断D.
【详解】由题意知10所学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数为4个，
故X的取值范围为，故A错误；
由此可得 ,故B，C正确；
又，
故，故D不正确，
故选：BC
18．BC
【分析】由条件，根据概率加法公式判断A，B，确定随机变量的分布列，根据期望公式和方差公式求，由此判断CD.
【详解】因为小明得A等和D等的概率都为，得B等和C等的概率都为，
所以小明得B等或C等的概率为，A错误；
事件相当于事件小明得等或等，
所以，B正确；
由已知可得随机变量的分布列如下；
所以，C正确；
，D错误；
故选：BC.
19．2
【分析】利用离散型随机变量的均值与方差公式计算即可（附公式： ）
【详解】因为随机变量的分布列为
故答案为：2
20．9
【分析】根据方差的性质即可求解.
【详解】.
故答案为：9
21．/0.9375
【分析】求出的可能取值及相应的概率，求出期望值，进而求出方差.
【详解】的可能取值为5,4,3,2
，，，
，
则，
则
故答案为：
22． 0.4 0.1 0.5
【分析】根据均值、方差与概率性质列方程组求解即可．
【详解】由题意知，解得
故答案为：0.4，0.1，0.5．
23．/
【分析】由题意知，随机变量的可能取值为0，1，即可得到所对应的概率，再求出期望与方差；
【详解】解：由题意知，随机变量的可能取值为0，1；
因为，，
所以，．
故答案为：．
24．
【分析】利用均值的性质有求参数，再由方差性质求新数据方差即可.
【详解】由题设，则，
所以.
故答案为：
25．9.8
【分析】求出Y的所有可能取值，进而求出相应的概率，列出分布列，再结合方差的计算公式即可求出结果.
【详解】由题意可知Y的所有可能取值0,2,6,10,
，
，
，
．
所以随机变量Y的分布列如下表所示：
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
所以，．
所以工期延误天数Y的方差为9.8．
故答案为：9.8.
26．
【分析】根据题意，得到随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，利用期望公式，即可求解.
【详解】由题意，随机变量的所有可能取值为，
则；；，
所以期望为.
故答案为：.
27．
【分析】根据分布列的性质求出，从而求出、，最后根据方差的性质计算可得.
【详解】依题意，解得，
所以，
则，
又，所以.
故答案为：
28．/0.8
【分析】分由题意可得，利用超几何分布列的计算公式即可得出．
【详解】由题意可得：．
，，，
可得的分布列：
0 1 2
故答案为：
29．(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1）由条件概率公式计算即可得解；
（2）由题意可得的所有可能取值分别为：0，1，2，分别求出对应的概率，即可得分布列，从而求出期望与方差；
（3）由已知可得，由二项分布的概率和方差公式计算即可得解．
【详解】（1）解：设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，
所以，
所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，
则他戴的是角膜塑形镜的概率是．
（2）解：依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：0，1，2，
其中：；；
，
所以男生人数的分布列为：
0 1 2
所以，
（3）解：由已知可得：，
则：，，
30．(1)
(2)分布列见解析，
(3)11月6日
【分析】（1）根据古典概型即可得解；
（2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对于概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可；
（3）先分别求出各个区间的人数，从而确定甲乙步数所在的区间，进而可得出结论.
【详解】（1）设“甲比乙的步数多”为事件，
在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多，
所以；
（2）由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天；
的所有可能取值为，
，
所以的分布列为
0 1 2
；
（3）由频率分布直方图知，步数在各个区间的人数如下，
有人，
有人，
有人，
有人，
有人，
有人，
因为甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，
所以甲走的步数在区间内，乙走的步数在区间内，
符合的只有11月6日这一天，
所以这是11月6日的数据.
31．(1)分布列见解析，
(2)（i）0.815；（ii）
【分析】（1）服从超几何分布，直接用公式求解.
（2）利用全概率公式求解ChatGPT的回答被采纳的概率；利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可.
【详解】（1）易知的所有可能取值为
此时，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
则.
（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
记“输入的问题有语法错误”为事件B，
记“ChatGPT的回答被采纳”为事件C，
则，，，.
.
（ii）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为
.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第5讲 离散型随机变量及其分布列
一、随机变量与离散型随机变量
1.一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
二、离散型随机变量的分布列
1.一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个值的概率，为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列可以用表格表示：
X …
P …
2.离散型随机变量分布列的性质
(1)；
(2)
三、两点分布
1.对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，
定义 ，如果，则，那么X的分布列如表所示．
X 0 1
我们称X服从两点分布或0－1分布．
四、离散型随机变量的均值
1.一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示，
X …
P …
则称为随机变量的均值或数学期望，简称期望.
2.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，刻画的是取值的“中心位置”，反映了随机变量取值的平均水平.
3.如果随机变量服从两点分布，那么. (为成功概率)
4.如果是一个离散型随机变量，(其中为常数)也是随机变量，则
二、离散型随机变量的方差
1.如果离散型随机变量的分布列如表所示，
X …
P …
则称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.
2..
3.随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
4.，.
【课堂训练】
一、单选题
1．下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
2．已知ξ的分布列如下表:
0 1
P
若η=2ξ+2,则Dη的值为( )
A．- B． C． D．
3．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．12
4．已知随机变量服从的分布列为
1 2 3 n
P
则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
5．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（ ）
A． B． C． D．1
6．有两个随机变量和，它们的分布列分别如下表：
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
则关于它们的期望，和它们的方差，，下列关系正确的是（ ）
A．，且
B．，且
C．，且
D．，且
7．随机变量的分布列如下表，且，则（ ）
0 2
A．10 B．15 C．40 D．45
8．已知随机变量，则（ ）
A．4.8 B．5.8 C．9.6 D．10.6
9．设，随机变量的分布列是
-1 1 3
则当在内增大时，“减小”是“增加”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知离散型随机变量X的分布列如下，则的最大值为（ ）
X 0 1 2
P a
A． B． C． D．1
二、多选题
11．下列是离散型随机变量的是（ ）
A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为
B．某网站中某歌曲一天内被点击的次数为
C．一天内的温度为
D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射手在一次射击中的得分
12．有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为正实数．下列说法正确的是（ ）
A．样本甲的期望一定小于样本乙的期望
B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C．若m为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为
D．若m为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为
13．已知随机变量满足，，，若，则（ ）
A．有最大值 B．无最小值
C．有最大值 D．无最小值
14．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精神，并推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是，乙能答对其中的6道题，规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，最终得分最低为0分，甲、乙两人答对与否互不影响，则（ ）
A．乙得40分的概率是 B．乙得分的数学期望是
C．甲得0分的概率是 D．甲、乙的得分都是正数的概率是
15．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．在本场考试中，多选题可能有个或个正确的选项，全部选对得分，漏选得分，有选错或未选的得分.如果你因完全不会做某道题目而必须随机选择项选项，设该题恰有两个正确选项的概率为，你的得分为随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A．若随机选择两项，则存在使
B．无论为多少，随机选择一项总能使最大
C．若，则随机选择两项比随机选择三项更优
D．若随机选择三项，则存在使
17．为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在某市中小学中随机抽取了10所学校，这10所学校中了解这个项目的人数如图所示.若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（ ）
A．X的取值范围为 B．
C． D．
18．某校高三学生参加某门学科的标准化选拔考试，成绩采用等级制.根据模拟成绩，考生小明得A等和D等的概率都为，得B等和C等的概率都为，为了进一步分析的需要，学校将等级转换成分数，A，B，C，D分别记为90分、80分、60分、50分.若用模拟成绩来估计选拔考试的情况，设小明选拔考试的成绩等级转换为分数X，则（ ）
A．小明得B等或C等的概率为 B．
C． D．
三、填空题
19．已知随机变量的分布列为,则 ．
20．设随机变量的方差，则的值为 .
21．学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则= ．
22．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为 ， ， .
23．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9，设其罚球一次的得分为X，则X的方差 ．
24．设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，且的均值为5，则方差为 .
25．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
降水量X
工期延误天数Y 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为 ．
26．一个盒子里有1个红球和2个绿球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出绿球的个数为，则 .
27．已知离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量满足，则 ．
0 1 2
28．一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球，从中摸出两个球，若表示摸出黑球的个数，则 ．
四、解答题
29．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大
(2)从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；
(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差.
30．某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示.
(1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；
(2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望；
(3)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论）
31．ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.
(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
