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第6讲 二项分布与超几何分布参考答案：
1．B
【分析】根据二项分布的期望与方差公式计算可得.
【详解】解：因为，所以，，
解得，所以.
故选：B.
2．C
【分析】恰有一次测到正品，则有两次测到次品，再根据独立重复实验求概率得方法即可得解.
【详解】解：由题意可知，三次测试中恰有一次测到正品，则有两次测到次品，故所求事件的概率为.
故选：C．
3．C
【分析】求出一次摸到白球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再根据二项分布的期望公式即可得解.
【详解】每次摸到白球的概率为，
因为是有放回地取7次球，
所以，
所以.
故选：C.
4．B
【分析】由，可得，由此列出关于的方程组，从而得出结果．
【详解】解：据题意，
得,
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了二项分布的数学期望和方差，熟记离散型随机变量的数学期望和方差的性质是关键．
5．A
【分析】由题可得，再利用独立重复概率公式即得.
【详解】由题意得，，解得，
故在该地该季节的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为．
故选：A．
6．C
【分析】由题可得甲同学一节课在直播屏幕上出现的轮次服从二项分布，甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间，根据二项分布的期望公式及期望的性质可得答案.
【详解】每5分钟算作一轮，每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为，设他在直播屏幕上出现的轮次为X，
根据题意，，设甲同学在直播屏幕上出现的时间为，
则．
故答案为：C.
7．A
【分析】利用二项分布的期望公式求出的值，再利用期望的性质可求得的值.
【详解】因为，则，因为，则.
故选：A.
8．C
【解析】根据二项分布的性质可得，，化简即，结合基本不等式即可得到的最小值.
【详解】离散型随机变量X服从二项分布，
所以有，
，
所以，即，（，）
所以 ，
当且仅当时取得等号．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
9．C
【分析】求使取最大值的的值可通过比较和的大小得到．可利用做差或做商法比较大小．
【详解】解：，得．
所以当时，，
当时，，则
从而或4时，取得最大值．
故选：C．
10．C
【分析】由，，求出值，利用二项分布的方差公式求出，再利用方差的线性性质，即可得到答案．
【详解】由于随机变量满足： ，，
，
解得：，即
，
又随机变量，满足：，
，
故选：C.
11．AD
【分析】利用二项分布的期望、方差公式计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算判断CD作答.
【详解】随机变量X服从二项分布，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
12．ACD
【分析】直接利用随机事件，两点分布的和二项分布的区别，条件概率的应用，相互独立事件的定义，逐项判断，即可得到结果．
【详解】对于A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故出现正面的次数是随机变量，故A正确；
对于B：某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从二项分布 而不是两点分布，故B错误；
对于C：小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，故 ，，所以 ，故C正确；
对于D，由于，所以，又，所以，故D正确.
故选：ACD.
13．BC
【分析】由题可得，根据均值可求出，即可求出方差.
【详解】由题意，，又，∴m＝2，
则，故.
故选：BC.
14．ACD
【分析】根据二项分布的期望与方差的公式，求得和，进而求得，即可求解.
【详解】由题意，随机变量，且，可得，所以，
又由，且.
故选：ACD.
15．BC
【分析】根据超几何分布的定义以及概率公式，可得答案.
【详解】由题意知随机变量服从超几何分布；
的取值分别为0，1，2，3，4，
则，，
，，，
故选：BC．
16．ABD
【分析】根据统计表中数据利用加权平均数计算可判断A；根据石榴日销售量在101~600 kg之间的天数服从二项分布，由二项分布概率公式可判断B；列出销售点每日销售量情况并分别计算不裁减工作人员的情况下平均每日利润的期望值可判断C；列出销售点每日销售量情况并分别计算不裁减工作人员的情况下平均每日利润的期望值可判断D.
【详解】对于A，该销售点销售每千克石榴的价格的平均值为元，故正确；
对于B，由题意可得石榴销售重量在101~600 kg之间的天数为15天，频率，可估计概率为，显然未来4天中石榴销售重量在101~600 kg之间的天数服从二项分布，故该销售点未来4天内至少有1天石榴销售重量在101~600 kg之间的概率为，故正确；
对于C，该销售点在不裁减工作人员的情况下，则每日销售量的上限为1500kg，销售点每日销售量情况如下;
重量范围（单位：kg） 0~100 101~300 301~600 601~900 901~1500
重量（单位：kg） 50 200 450 800 1250
天数（单位：天） 1 5 10 3 1
频率 0.05 0.25 0.50 0.15 0.05
故平均销售量为，
故销售点平均每日利润的期望为元，故错误；
对于D，该销售点在裁减工作人员1人的情况下，则每日销售量的上限为1200kg，销售点每日销售量情况如下;
重量范围（单位：kg） 0~100 101~300 301~600 601~1200
重量（单位：kg） 50 200 450 800
天数（单位：天） 1 5 10 4
频率 0.05 0.25 0.50 0.20
故平均销售量为，
故销售点平均每日利润的期望为元，故正确.
故选：ABD.
17．AD
【分析】利用全概率公式可判断A选项；利用条件概率公式可判断B选项；利用二项分布的方差公式可判断C选项；利用超几何分布的概率公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，记事件第一次摸到红球，事件第一次摸到蓝球，
事件第二次摸到红球，则，，，
所以，，A对；
对于B选项，每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，
记事件第一次摸到红球，事件第二次摸到红球，
则，，
由条件概率公式可得，B错；
对于C选项，每次摸出个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸次后，
摸到红球的次数为，则，
由二项分布的方差公式可得，C错；
对于D选项，从中不放回摸个球，
摸到红球的个数的概率是，D对.
故选：AD.
18．ABD
【分析】由题意可知服从二项分布可判断A，根据二项分布的期望与方差判断CD，由二项分布计算判断B.
【详解】根据题意，在一次试验中，抽到白球的概率为，有放回的抽取，取到白球的个数为X，
所以随机变量，故A正确；
所以，故B正确；
所以期望，方差，故C错误，D正确.
故选：ABD
19．2
【分析】根据给定条件利用二项分布的期望公式直接计算作答.
【详解】因为随机变量，所以.
故答案为：2
20．/0.175
【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解.
【详解】恰有2个中果的概率为．
故答案为：
21．
【分析】利用二项分布的概率公式和方差公式，即得解
【详解】由题意，
故答案为：，
22．1.6
【详解】试题分析：甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8.所以相当与他们是独立性重复的实验，所以=，即=.
考点：1.独立性重复试验.2.数学期望的公式.
23．
【分析】利用二项分布的期望公式及期望的性质计算可得
【详解】解：由已知得随机变量服从二项分布，则，
因为，所以，
故答案为：
24．
【分析】首先根据二项分布的概率公式求出，，再根据计算可得；
【详解】解：因为随机变量服从二项分布
所以，，所以
故答案为：
25．0.5/
【分析】由两点分布相关性质结合标准差定义可得答案.
【详解】由题可得随机变量的方差为，则的标准差.
故答案为：
26．80
【分析】根据二项分布的期望公式计算即可.
【详解】由题设随机变量，
知，
因为，
所以.
故答案为：80
27．
【分析】设，由题意得，求出时的概率，由此能求出落入号格的小球粒数．
【详解】解：设 “向右下落”，则 “向左下落”，且，
设，小球下落过程中共碰撞次，，
，，1，2，3，4，，
，
故投入粒小球，则落入号格的小球大约有粒．
故答案为：．
28．2
【分析】设红、黑球的个数分别是，利用二项分布，可得，，再结合，进而可得答案.
【详解】设红、黑球的个数分别是，则每次取到白球的概率为，
有放回地取球次，每次取个球，取到白球的次数为，取到一个红球一个黑球次数为，
因为取到白球的次数服从二项分布，
所以，则，
因为取到一个红球一个黑球次数服从二项分布，
所以，可得，
因为取到2个都是红球的次数最少，
所以可得
由，
所以红球的个数为2.
故答案为：2.
29．(1)
(2)20
【分析】（1）根据条件概率计算即可；
（2）易得服从二项分布，再根据二项分布的期望公式计算即可.
【详解】（1）设事件为甲通过了笔试，事件为甲第三门测试没有通过，
则，
，
故甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率为；
（2）设某人被录取的概率为，
则，
由题可知，
所以.
30．(1)3人，2人，2人.
(2)①答案见解析；②，
【分析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.
（2）①本小问符合超几何分布可以根据超几何分布公式求随机变量X的分布列.
②本小问符合二项分布可以根据二项分布公式求Y的期望和方差.
【详解】（1）由已知选取的三个年级的人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从高一 高二 高三三个年级的学生中分别抽取3人，2人，2人.
（2）①随机变量X符合超几何分布，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.则
所以，随机变量的分布列为
0 1 2 3
②取一个学生就是一次试验，有“睡眠不足”和“睡眠充足”两个结果，抽3个学生相当于3次独立重复抽一个学生的试验，于是符合二项分布，所以
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第6讲 二项分布与超几何分布
一、n重伯努利试验
1.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
2.将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验.
3.特征：(1)同一个伯努利实验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立.
二、二项分布
1.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～，且有 ， .
2.如果为整数，则最大概率为.如果不是整数，则取的整数部分，最大概率为.
三、超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.且有 .
【课堂训练】
一、单选题
1．随机变量服从二项分布，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．某电子管的正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，那么在三次测试中恰有一次测到正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．袋子中有6个白球，8个黑球，现从袋子里有放回地取7次球，用表示取到白球的个数，则（ ）
A． B． C．3 D．
4．已知随机变量，若，则实数的值分别为
A．4，0.6 B．12，0.4 C．8，0.3 D．24，0.2
5．根据历史数据，某山区在某个季节中每天出现雾凇的概率均为p，且在该季节的连续4天中，都不出现雾凇的概率为．据此估计，该地在该季节接下来的连续三天中，恰有一天出现雾凇的概率为（ ）．
A． B． C． D．
6．某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的期望是（ ）
A．10分钟 B．5分钟 C．4分钟 D．2分钟
7．已知随机变量满足，随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为
A．2 B． C． D．4
9．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ）
A．2 B．3 C．4或3 D．4
10．设随机变量，满足：，，若，则（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、多选题
11．已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A． B．
C． D．
12．下列关于说法正确的是（ ）
A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B．某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从两点分布
C．小赵.小钱.小孙.小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
D．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则
13．从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则下列说法正确的是（ ）
A．D(X)＝ B．D(X)＝
C．m＝2 D．m＝4
14．随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
15．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布
16．石榴（Punicagranatum）原名“安石榴”，果实酸甜各异，是温带、亚热带稀有水果之一．自古就有“九州之奇树，天下之名果”、“多籽丽人”的美称．石榴原产伊朗中亚地区，秦汉时期，通过“丝绸之路”引入我国，已有两千多年的栽培历史，我国南北各地均有小流域的栽培，共有100多个品种．金秋十月，怀远石榴成熟．不同品种的石榴价格及某石榴销售点根据以往各种石榴日销量的统计如下表：
种类 软籽 硬籽
红玛瑙 白花玉石籽 红花玉石籽 红玛瑙 白花玉石籽 红花玉石籽
售价（单位：元/kg） 15 18 18 16 18 20
日销量（单位：kg） 50 80 70 80 120 100
此销售点对去年同一时间的20天，每天到该销售点要求订购石榴数量统计如下表：
重量范围（单位：kg） 0~100 101~300 301~600 601~900 901~1500
重量（单位：kg） 50 200 450 800 1250
天数（单位：天） 1 5 10 3 1
根据以往的经验，该销售点只有销售额的三分之一作为销售点员工的工资和销售点的利润，其余的费用是其它各项消费．目前该销售点有员工5人，每人每天销售石榴不超过300 kg，日工资280元；该销售点正在考虑每日利润的数学期望决定是否将员工裁减1人．以上数据已做近似处理，要求：（1）将频率视为概率；（2）在计算每千克石榴的价格的平均值时，结果精确到元（即精确到个位数）．则（ ）
A．该销售点销售每千克石榴的价格的平均值约为18元
B．该销售点未来4天内至少有1天石榴销售重量在101~600 kg之间的概率为
C．该销售点在不裁减工作人员的情况下，每日利润的数学期望为1350元
D．该销售点在裁减工作人员1人的情况下，每日利润的数学期望为1505元
17．已知袋子中有质地大小均相同的个红球和个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是（ ）
A．每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的概率为
B．每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为
C．每次摸出个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸次后，摸到红球的次数的方差为
D．从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是
18．袋子中有3个黑球，2个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，记取到白球的个数为X，则（ ）
A．
B．
C．的期望
D．的方差
三、填空题
19．若随机变量，则 .
20．从一箱脐橙（共10个，其中7个是大果，3个是中果）中任选3个，则恰有2个中果的概率为 ．
21．已知随机变量，则 ， （用数字作答）．
22．甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量为两人中能达标的人数，则的数学期望为 ．
23．已知随机变量，随机变量，则 ．
24．若随机变量服从二项分布，那么 ．
25．已知随机变量服从两点分布，若，则的标准差 ．
26．已知随机变量，若随机变量，则的数学期望 .
27．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有 ．
28．口袋里有若干大小完全相同的白、红、黑三种颜色的小球，其中只有1个白球. 某同学拟用独立重复实验的方法计算其中红球的数量，有放回地取球30次，每次取2个球，发现取到白球的次数为10，取到1个红球1个黑球次数最多为12，取到2个都是红球的次数最少，则红球的个数为 .
四、解答题
29．某单位招聘会设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试设有三门测试，三门测试相互独立，三门测试至少两门通过即通过笔试，通过笔试后进入面试环节，若不通过，则不予录用.面试只有一次机会，通过后即被录用.已知每一门测试通过的概率均为，面试通过的概率为.
(1)求甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率；
(2)已知有100人参加了招聘会，X为被录取的人数，求X的期望.
30．某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.
(1)应从高一 高二 高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：
②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：
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