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第7讲 正态分布
一、正态曲线及其性质
1.连续型随机变量：取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0.
2.正态曲线：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
3.若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
4.正态分布的期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
5.正态曲线的特点：
(1)非负性：对 x∈R，，它的图象在x轴的上方．
(2)定值性：曲线与x轴之间的面积为1.
(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
(4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值.
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
(7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
5.若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．
6.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
二、正态分布的应用（3σ原则）
解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
【课堂训练】
一、单选题
1．设随机变量服从正态分布，若，则 a 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
2．已知随机变量X，Y满足，，且，则的值为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0..5 D．0.6
3．已知：，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为，使用寿命不少于6年的概率为，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以下的试卷中应抽取（ ）
A．份 B．份 C．份 D．份
7．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，，
A．32 B．64 C．128 D．256
8．在某项测验中，假设测验数据服从正态分布.如果按照，，，的比例将测验数据从大到小分为，，，四个等级，则等级为的测验数据的最小值可能是（ ）
【附：随机变量服从正态分布，则，，】
A．75 B．79 C．83 D．91
9．以下四个命题中：
①函数关系是一种确定性关系；
②回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；
③独立性检验中的统计假设就是假设相关事件、相互独立；
④某项测量结果服从正态分布，且，则.
以上命题中，真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列有关说法错误的是（ ）
A．“事件、互为互斥事件”是“事件、互为对立事件”的充分不必要条件
B．若随机变量服从正态分布，，则
C．若随机变量服从二项分布：，则
D．甲、乙、丙、丁个人到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则
二、多选题
11．下列说法正确的是（ ）
A．设随机变量X等可能取，…，n，如果，则
B．设随机变量X服从二项分布，则
C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
12．甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小
D．乙类水果的质量服从正态分布的参数δ2=1.99
13．下列说法中正确的有（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以后，平均数也变为原来的倍
B．若一组数据的方差越小，则该组数据越稳定
C．由样本数据点、、、所得到的回归直线至少经过其中的一个点
D．在某项测量中，若测量结果，则
14．已知三个正态分布密度函数 (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，下列关于μ1，μ2，μ3，σ1，σ2，σ3的大小关系正确的是（ ）
A．μ1＜μ2＝μ3 B．σ1＝σ2＜σ3
C．μ1>μ2＝μ3 D．σ1＝σ2>σ3
15．设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（ ）
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)
16．（多选）若随机变量，，其中，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知随机变量， 随机变量， 则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从二项分布，若，则
B．已知随机变量X服从正态分布，若，则
C．已知，，，则
D．已知，，，则
三、填空题
19．已知随机变量服从正态分布，，则的值为 ．
20．设随机变量，，则 .
21．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝ .
22．某个部件由两个电子元件按如图
方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立．那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 .
23．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且，若该校1800学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于99分的学生人数为 .
24．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标，且质量指标在内的产品数量为5436，请估计该批次检测的产品数量为 .
25．“双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为 ．（若，则
26．在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩服从正态分布，若，则 .
27．已知随机变量服从正态分布，若，则 ．
28．已知随机变量，若，则 ．
四、解答题
29．设X～N(10,1)，若P(X≤2)＝a，求P(10
30．设服从，求下列各值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
31．某地区的月降水量（单位：㎝）服从正态分布，试求该地区连续10个月降水量都不起过50㎝的概率．
32．若随机变量，求的概率密度函数．
33．设服从，试求下面的概率：
(1)
(2)
(3)
(4)
34．某中学高考数学成绩近似地服从正态分布 ，求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比．
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第7讲 正态分布
1．B
【分析】根据正态分布的对称性，即得解.
【详解】∵随机变量服从正态分布，
根据正态分布的对称性，可得，
解得.
故选：B.
2．D
【分析】利用正态分布的计算公式： ，
【详解】 且
又
故选：D
3．C
【分析】由正态分布求解即可
【详解】由题意，，
所以
故选：C．
4．B
【分析】因为，所以其图像关于对称，所以有，解出的值
【详解】因为，根据正态分布密度函数的图形特征，其图像关于对称，
又因为，所以当和时，其函数值相等，根据对称性，和关于，
所以有，解得
故选：B
5．B
【分析】由已知结合正态分布的对称性先求得使用寿命不少于4年的概率，然后由二项分布的概率公式可得.
【详解】记摄像头的使用寿命为X，则，
由题知
所以，
所以，所以
记满4年时还能正常工作的摄像头个数为Y，则
所以.
故选：B
6．C
【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值，再乘以可得结果.
【详解】因为，所以，，
因此，应从分以下的试卷中应抽取份.
故选：C.
7．C
【分析】根据得到，进而结合正态分布的概率求法求得答案.
【详解】根据题意，，
而，则，所以.
故选：C.
8．B
【分析】设测验数据为，依题意，根据正态分布的性质可得，即可得解.
【详解】设测验数据为，依题意，则，，
设等级为的测验数据的最小值为，则，
因为，所以，
所以，所以的可能取值为.
故选：B
9．D
【解析】对四个命题一个一个进行判断.
【详解】①函数关系是一种确定性关系，所以①是正确的；
②回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，
所以②是正确的；
③独立性检验中的统计假设就是假设相关事件、相互独立，所以③是正确的；
④某项测量结果服从正态分布，由正态分布定义可知它的图像是关于对称，
因为，则，
所以，所以④是正确的；
故选：D
【点睛】本题考查了对相关关系概念的理解、正态分布的对称性，属于一般题.
10．A
【分析】利用互斥事件与对立事件的概念及充分、必要条件的定义可判断A；根据正态曲线的对称性可判定B；利用二项分布的期望值公式计算判定C；由条件概率，可以判定D．
【详解】A “事件、互为互斥事件”是“事件、互为对立事件”的必要不充分条件，故A错误；
B.若随机变量服从正态分布，
由题意可得，正态分布的对称轴为：，
结合题意和正态分布的对称性可得：故B正确．
C.若随机变量服从二项分布：，则，故C正确．
对于，种，种，
所以，，而，故正确．
故选：A.
11．ABC
【分析】对于A：由，解之可判断；
对于B，根据二项分布可判断；
对于C，根据两点分布计算可判断；
对于D：根据正态分布的对称性可判断；
【详解】对于A：对于，故A正确；
对于B，设随机变量X服从二项分布，则，故B正确；
对于C，因为且，故C正确；
对于D：随机变量服从正态分布正态曲线的对称轴是.
，D错误；
故选：ABC.
12．ABC
【解析】根据图像得出以及，AC正确，再根据甲图像比乙图像更“高瘦”判断出B正确，最后根据判断出D错误.
【详解】由图像可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，C正确；
甲图像比乙图像更高瘦，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为1.99，即=1.99，δ2≠1.99，故D错误.
故选：ABC
13．ABD
【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用方差的定义可判断B选项；利用回归直线的特点可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项.
【详解】对于A，设数据、、、的平均数为，则，
则数据、、、的平均数为，A对；
对于B，由方差的定义可知，方差越小，样本越稳定，B对；
对于C，回归直线一定过样本的中心点，不一定过样本点，C错；
对于D， 在某项测量中，若测量结果，则，D对.
故选：ABD.
14．AB
【分析】正态分布关于对称，越大图象的对称轴越靠近右边，越小，曲线越瘦高，对比图像得到答案.
【详解】正态分布关于对称，且越大图象的对称轴越靠近右边，
故第一个曲线的均值比第二和第三的均值小，且二，三两个的均值相等，故.
越小，曲线越瘦高，则第二个图象要比第三个的要小，故.
故选：AB.
15．ABD
【分析】根据正态分布的密度曲线可知和的大小关系，由正态分布的意义即可求解.
【详解】由题图可知μ1<0<μ2，σ12<，
∴P(Y≥μ2)P(X≤)>P(X≤σ1)，故B错；
当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，
∴P(X>t)t)，故C正确，D错．
故选：ABD
16．AC
【分析】由题意可得正态曲线关于对称，可判断A；分别计算和可判断B；计算可判断C；计算结合选项C可判断D，进而可得正确选项.
【详解】因为随机变量服从标准正态分布，
所以正态曲线关于对称，如图所示.
又，，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，故选项B不正确；
因为，故选项C正确；
，故选项D不正确；
故选：AC.
17．ABC
【分析】根据正态密度曲线的对称性及正态分布的原则即可求解.
【详解】解：因为随机变量，所以，
因为随机变量，所以，
所以利用正态密度曲线的对称性可得，，故选项A、B正确；
因为，，
所以，故选项C正确；
因为，，
所以，故选项D错误.
故选：ABC.
18．ACD
【分析】利用二项分布期望公式及性质计算判断A；利用正态分布的对称性计算判断B；利用条件概率公式推理判断C；利用全概率公式计算判断D作答.
【详解】对于，由二项分布的期望公式，，
由期望的性质得，则，正确；
对于，由正态分布曲线的性质知，，
根据对称性知，，于是，B错误；
对于C，由，得，
所以，C正确；
对于D，由，得，又，
由全概率公式得，，D正确.
故选：ACD
19．
【详解】试题分析：因对称轴是，所以，故应填.
考点：正态分布的性质及运用．
20．0.15/
【分析】根据正态分布的对称性得到答案.
【详解】因为，由对称性可知.
故答案为：0.15
21．0.3/.
【分析】根据随机变量ξ～N(10，σ2)，得到正态曲线的对称轴，然后由P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4求解.
【详解】因为随机变量ξ～N(10，σ2)，
所以正态曲线μ＝10，
又因为P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4.
所以P(10≤ξ≤11)＝0.2，
∵P(ξ≥10)＝0.5，
∴P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
故答案为：0.3.
22．.
【分析】本题由正态分布与事件的独立性直接求解即可
【详解】解法一：(1)由正态分布知元件，1，2的平均使用寿命为1 000小时，设元件1，2的使用寿命超过1 000小时分别记为事件A，B，显然P(A)＝P(B)＝，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为，所以其概率P＝.
解法二：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)得两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为，则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为.
【点睛】本题考查正态分布与事件的独立性问题，是偏易题.
23．360
【分析】由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，求得，进而可求解，得到答案.
【详解】解：由题意，成绩近似服从正态分布，则正态分布曲线的对称轴为，
又由，
根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以该市某校有1800人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为人，
故答案为：360.
24．40000
【分析】根据正态分布的原则得，进而.
【详解】由，可知，，
所以，
所以估计该批次检测的产品数量为.
故答案为：40000
25．0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）
【分析】根据题意和正态曲线的特征可得到，再根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可．
【详解】依题意可得，
要使次品率不高于，则正品率不低于，
又根据正态曲线的特征知，，
所以，
所以，解得．
故答案为：0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）．
26．0.5
【分析】根据正态分布的对称性可得答案.
【详解】因为，且，
所以，所以
所以，
故答案为：0.5.
27．
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果.
【详解】，，
又，，.
故答案为：.
28．0.2
【分析】随机变量，得到曲线关于称，根据曲线的对称性得到 ，根据概率的性质得到结果．
【详解】随机变量，∴曲线关于对称，
∴，故答案为0.2.
【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题
29．.
【详解】试题分析：由正态曲线的的对称性可得，再结合和的值，即可得出答案.
试题解析:X～N(10,1)所以正态曲线的对称轴x=10.
P(X.
30．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）依题意可得，再根据标准正态分布及正态分布的性质计算可得.
【详解】（1）解：因为 ，所以，
所以；
（2）解：
；
（3）解： ；
（4）解：
（5）解：
（6）解：
.
31． .
【详解】试题分析： ，
，即该地区连续个月降水量都不超过的概率为．
试题解析： ，
所以 ．即该地区连续10个月降水量都不超过50㎝的概率为 ．
32．见解析.
【详解】试题分析：随机变量，即均值，方差为，由均值和方差的性质知，的均值为，方差，故标准差，代入密度函数即可.
试题解析：求 对应的概率密度函数，即求 对应的 和 ．因为 ，所以 ，所以， ，即 对应的 和 为2和1．又因为， ，所以， 也服从正态分布，其对应的概率密度函数为：
33．(1)0.5328
(2)0.9996
(3)0.6977
(4)0.5
【分析】正态分布区间上的概率，关于对称,根据正态分布各区间概率的对称性，以及概率和为求解即可逐一求解.
【详解】（1）因为 所以，
（2）
（3）
.
（4）
34．2.28％．
【详解】试题分析： 设表示学生高考数学成绩，根据题意知要求的值．因为， ，所以，，故数学成绩在分以上的考生占总人数的．
试题解析：设 表示学生高考数学成绩，根据题意知要求 的值．因为， ，所以，，故数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28％．
【方法点睛】本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布挂起钩来；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.
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