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第8讲 成对数据的统计相关性
1．C
【分析】由相关系数的绝对值越接近于1，回归模型拟合效果越好即可得出结论.
【详解】根据相关系数的绝对值大小可得模型3的相关系数为0.9，离1最接近，
所以C项的拟合效果最好．
故选：C
2．C
【分析】根据相关系数的定义判断．
【详解】因为，，所以变量与之间呈正相关关系，变量与之间呈负相关关系，且与之间的相关性弱于与之间的相关性.
故选：C．
3．C
【详解】分析：将数据按照大小顺序排列后，由于一共有7个数字，所以取第四个数字为中位数.
日均成交量为成交量的平均数，正相关为统计图中的点从左下分布至右上.
认购量与成交量的增量均是第七天与第六天数据之差.
详解：将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以①错；
平均成交量为，超过44.1的只有一天，所以②错；
由图中可以看出，数据点并不是从左下分布至右上，所以③错；
10月7日认购量增量为，成交量增量为，所以④对.
故选C.
点睛：本题主要考查统计知识，需熟练掌握样本数据特征的计算以及变量的相关性的概念.
4．D
【分析】根据残差图的定义和性质逐个分析判断即可.
【详解】对于A，通过残差图可以发现原始数据中的可疑数据,判断所建模型的拟合效果，所以A正确，
对于B，由残差图可知残差图的纵坐标只能是残差,横坐标可以是编号,解释变量,也可以是预报变量，所以B正确，
对于C，残差点分布的带状区域的宽度越窄,模型拟合精度越高,预报精度越高，所以C正确，
对于D，残差点分布的带状区域的宽度越窄,残差平方和越小,相关指数越大，所以D错误，
故选：D
5．C
【分析】根据正相关、负相关以及线性相关关系的强弱可得出结果.
【详解】由题意可知，第一、四组数据正相关，第二、三组负相关，
当相关系数的绝对值越大，数据的线性相关性越强，
且第一组数据的线性相关性较第四组强，则，
第二组数据的线性相关性较第三组强，则且，，则.
因此，.
故选：C.
6．D
【分析】①根据回归分析基本思想判断，残差平方和越小，拟合效果越好；
②根据相关系数的计算公式，来判断②是否正确；
③利用回归方程的系数，判断③是否正确；
④根据独立性检验的基本思想，观测值越大，“与有关系”的把握程度越大.
【详解】根据回归分析基本思想，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越不好，即①为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位，故③为真命题；对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，故④为假命题；故真命题为：②③.
故选：D.
【点睛】本题借助考查命题的真假判断，考查回归分析，独立性检验，重点考查基础概念，属于基础题型.
7．B
【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.
【详解】由散点图可知第1，3图表示的正相关，且第1个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，
故；
第2，4图表示的负相关，且第2个图中的点比第4个图中的点分布更为集中，
故，且，故，
综合可得，
故选：B
8．D
【分析】根据一元线性回归模型对随机误差的假定即可判断结果.
【详解】图A显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分；
图B说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；
图C显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型；
图D的残差较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，
可见D满足一元线性回归模型对随机误差的假定．
故选：D．
9．C
【分析】根据回归方程和相关系数的定义逐项判断即可．
【详解】对于A：若，则与是正相关，故A错误；
对于B：若接近，则表示与的相关性很强，故B错误；
对于C：若，则与是正相关，则，故C正确；
对于D：线性回归方程为估计值，不知准确值，故D错误．
故选：C．
10．A
【详解】分析：利用回归方程，计算时，的值，进而可求方程在样本处的残差．
详解：当时，，
∴方程在样本处的残差是
故选A.
点睛：本题考查线性回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．ACD
【分析】根据相关系数的意义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，相关系数，可以为负值，A错误；
对于BC，根据相关系数意义知：，且越接近于，相关程度越大，相反则越小，B正确，C错误；
对于D，当时，两个变量之间为负相关关系，D错误.
故选：ACD.
12．AC
【分析】利用相关系数的定义与性质可判断各选项的正误.
【详解】两个变量的相关系数，则两个变量正相关，A对；
两个变量的相关系数的绝对值越大，它们的线性相关程度越强，B错；
若两个变量负相关，则其样本点集中在一条斜率为负的直线附近，C对；
相关系数的取值范围是，D错.
故选：AC.
13．BCD
【分析】根据回归分析的基本概念，逐项分析，即可求解.
【详解】对于A中，根据回归系数的含义，可得回归方程，变量增加一个单位，平均减少4个单位，所以A是正确的；
对于B中，根据互斥事件与对立事件的关系，可得互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，所以B项不正确；
对于C中，对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大，所以C项不正确；
对于D中，两个随机变量的线性相关系数越接近0，则这两个随机变量相关性越弱，所以D项不正确.
故选：BCD.
【点睛】本题主要考查回归分析的基本概念，以及互斥事件与对立事件的关系，以及分类变量的线性相关系数的基本概念，属于基础概念题.
14．ABD
【分析】由已知求出可得，代入可解得，即可判断A；根据正态分布的对称性，即可判断选项B；若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，可得C答案错误；由一组数据的平均数是2算出，即可判断D答案正确.
【详解】由可得
，代入可解得，故A答案正确；
因为区间和关于对称，
所以正态分布在区间和上取值的概率相等，
故B答案正确；
若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，
故C答案错误；
若一组数据的平均数是2，即
解得，所以这组数的众数和中位数都是2，故D答案正确
故选：ABD
【点睛】本题考查的知识点有：线性回归分析、正态分布、平均数、中位数和众数，属于基础题.
15．BC
【分析】根据二项分布的期望公式，即可判断A；根据正态分布的对称性，即可判断B；根据百分位数的定义，判断C，根据相关系数的定义，即可判断D.
【详解】对于A，随机变量,则,
故,故A错误；
对于B,∵随机变量,,
∴；故B正确；
对于C,先把原数据从小到大排列：90,92,92,93,93,94,95,96,99,100,,第80百分位数为,故C正确；
对于D,样本相关系数人的范围在-1和1之间,有正有负,相关有正相关和负相关,
相关系数的绝对值的大小越接近1,两个变量的线性相关性越强,反之,线性相关性越弱,故D错误；
故选：BC
16．AD
【分析】根据散点图和变量关系依次判断即可.
【详解】对A，根据散点图易得变量与正相关，故A正确；
对B，由散点图可得与的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，故B错误；
对C，若选择模型二，，令，则图象经过点，故C错误；
对D，当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1，故D正确.
故选：AD.
17．BC
【分析】根据线性回归系数的定义、正态分布的性质以及期望与方差的性质逐一判断可得选项.
【详解】解：对于A：相关系数的定义得：相关系数r的绝对值越接近于1， x，y的线性相关程度越强，故A错误；
对于B：回归方程为时，因为，所以变量x和y具有负的线性相关关系，故B正确；
对于C：因为随机变量服从正态分布N（0，1），P（>1）=P，所以P（-1<<1）=1-2P，故C正确；
对于D：根据期望与方差的性质得E(2X+1)=2E(X)+1，D(2X+1)=4D(X)，故D错误，
故选：BC.
18．ABC
【分析】对于A，正态分布曲线关于直线对称，则，故选项A正确；对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确；对于C，所求概率为，所以C正确；对于D，由，解得或，所以D错误．
【详解】对于A，随机变量服从正态分布，若，则正态分布曲线关于直线对称，则，故选项A正确；
对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确；
对于C，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则该生在前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，由独立事件的概率乘法可知，所求概率为，所以C正确；
对于D，由，即，解得或，所以D错误．
故选：ABC．
19．
【分析】根据数据计算各相关量，结合相关系数公式直接计算.
【详解】由已知得，，，，，
所以相关系数，
故答案为：.
20．
【分析】利用观测值减去预测值来求得残差.
【详解】，
残差为.
故答案为：
21．有
【分析】分析表格数据物品大小与销售价格的关系得解.
【详解】解：物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此，两个变量有相关关系.
故答案为：有
22．①③/
【分析】根据相关系数的大小与线性相关性之间的关系判断可得出结果.
【详解】一般而言，当，则变量和具有较强的线性相关关系，
所以，①和③中变量和具有线性相关关系，②中相关系数的绝绝对值较小，
④中观察值的组数较少.
故答案为：①③.
23．
【分析】由于所有散点都在一条直线上，故，根据直线可知.
【详解】因为，所以这两个变量成负相关，故这组样本数据的相关系数为负值，又所有样本点都在直线上，则，所以．
【点睛】本小题考查相关系数的知识，如果散点都在一条直线上，则.
24．②
【分析】根据散点图判断即可；
【详解】解：根据散点图知，更适宜作为年销量关于年份代码的回归方程；
故答案为：②
25．/
【分析】利用样本中心在其经验回归方程为上，求出,再计算当时的残差即可.
【详解】经验回归直线过样本点的中心，，，
经验回归方程为．当时，，残差为．
故答案为：.
26．①④
【分析】根据回归分析有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】解：回归直线经过样本点中心，①正确.
线性回归方程对应的直线不一定经过样本数据点，②错误.
在残差图中，残差点分布的代状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，③错误.
在回归分析中，越接近越好，④正确.
故答案为：①④
27．②
【分析】根据最小二乘法的定义，即可判断.
【详解】根据最小二乘法的定义，回归方程是为了使残差平方和最小.
故答案为：②
28．②
【分析】利用中位数、相关系数、的观测值、残差分析的相关知识逐个分析即可．
【详解】①由甲的数据可知它的中位数为45，乙的中位数为，故正确；
②相关系数时，两个变量有很强的相关性，故②错误；
③由于的观测值，满足，故有95%的把握认为两个变量有关，所以③正确；
④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据的残差是指，是正确的．
故答案为②.
【点睛】本题考查了中位数、相关系数、的观测值、残差分析，属于基础题．
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第8讲 成对数据的统计相关性
一、变量的相关关系
1、相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
2、散点图：将样本中n个数据点()描在平面直角坐标系中得到的统计图叫做散点图，是描述成对数据之间关系的一种直观方法.
3.(1)正相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；
(2)负相关：如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势.
4.(1)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；(2)非线性相关与曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关；
二、相关关系与函数关系的异同
1.相同点：两者均是指两个变量之间的关系.
2.不同点：(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种不确定的关系；(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
三、样本相关系数
1.样本相关系数：
其中，，，它们分别是变量x和变量y的算术平均数．
2.样本相关系数r的性质
(1)当时，称成对样本数据正相关；当时，成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系；
(2)r的取值范围为[-1,1]. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
【课堂训练】
一、单选题
1．在变量与x的回归模型中，根据下面四个的相关系数，判断拟合效果最好的是（ ）
A．模型1的相关系数为0.2 B．模型2的相关系数为0.3
C．模型3的相关系数为0.9 D．模型4的相关系数为0.8
2．已知表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，且，，则（ ）
A．变量与之间呈正相关关系，且与之间的相关性强于与之间的相关性
B．变量与之间呈负相关关系，且与之间的相关性强于与之间的相关性
C．变量与之间呈负相关关系，且与之间的相关性弱于与之间的相关性
D．变量与之间呈正相关关系，且与之间的相关性弱于与之间的相关性
3．某市国庆节天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是;②日成交量超过日平均成交量的有天；③认购量与日期正相关；④月日认购量的增量大于月日成交量的增量．上述判断中错误的个数为
A． B． C． D．
4．下列关于残差图的叙述错误的是
A．通过残差图可以发现原始数据中的可疑数据,判断所建模型的拟合效果
B．残差图的纵坐标只能是残差,横坐标可以是编号,解释变量,也可以是预报变量
C．残差点分布的带状区域的宽度越窄,模型拟合精度越高,预报精度越高
D．残差点分布的带状区域的宽度越窄,残差平方和越小,相关指数越小
5．对四组数据进行统计后，获得了如下图所示的散点图，对于其相关系数的比较，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下面四个命题中真命题的是（ ）
①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位；
④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大.
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
7．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知变量关于的回归直线方程为，相关系数为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则与是正相关
B．若接近，则表示与的相关性很强
C．若，则
D．若变量增大一个单位，则变量就一定增加个单位
10．已知回归方程，则该方程在样本处的残差为
A．-1 B．1 C．2 D．5
二、多选题
11．对于线性相关系数，以下说法错误的是（ ）
A．只能是正值，不能为负值
B．，且越接近于，相关程度越大；相反则越小
C．，且越接近于，相关程度越小；相反则越大
D．时表示两个变量无相关关系
12．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．两个变量的相关系数，则两个变量正相关
B．两个变量的相关系数越大，它们的线性相关程度越强
C．若两个变量负相关，则其样本点集中在一条斜率为负的直线附近
D．相关系数的取值范围是
13．下列说法中错误的是（ ）
A．对于回归方程，变量增加一个单位，平均减少4个单位
B．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
C．对分类变量与，随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大
D．两个随机变量的线性相关系数越接近0，则这两个随机变量相关性越强
14．下列说法中正确的是（ ）
A．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是
B．正态分布在区间和上取值的概率相等
C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
D．若一组数据的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2
15．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量，，则
C．96，90，92，92，93，93，94，95，99，100的第80百分位数为97.5
D．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
16．某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999—2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：
该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值随年份的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的有（ ）
A．变量与正相关
B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况
C．若选择模型二，的图象一定经过点
D．当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1
17．下列说法正确的有（ ）
A．相关系数r的绝对值越接近于1， x，y的线性相关程度越弱
B．回归方程为时，变量x和y具有负的线性相关关系
C．设随机变量服从正态分布N（0，1），若P（>1）=P，则P（-1<<1）=1-2P
D．E(2X+1)=2E(X)+1，D(2X+1)=4D(X)+1
18．下列命题中正确的是（ ）
A．设随机变量服从正态分布，若，则
B．经验回归方程为时，变量x和y负相关
C．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
D．若，则取最大值时
三、填空题
19．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号
根部横截面积
材积量
则该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数 （精确到）.
20．已知方程是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160，53)的残差是 ．
21．以下是收集到的某物品的销售价格y和物品的大小x的数据：
物品大小/m2 11.5 110 80 135 105
销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22
则根据数据可以判断x，y 相关关系.(填“有”或“无”)
22．对四对变量与进行线性相关检验，已知是观测值组数，是相关系数，若已知①，；②，；③，；④，；则变量和具有线性相关关系的是 ．
23．在一组样本数据为，，…，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数 ．
24．习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展.根据近几年我国某新能源汽车的年销售量的调研，做出如图所示的散点图，给出与销售的两种回归模型①，②，你认为哪个模型更适宜 .（从①②中选一个填到空格处）
25．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（），其经验回归方程为，且，，则相应于点的残差为 ．
26．下列说法正确的命题是 （填序号）.
①回归直线过样本点的中心；
②线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点，，…，中的一个点；
③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；
④在回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好.
27．一组成对数据，，，…，的样本中心点为（，），由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使 最小.①总偏差平方和；②残差平方和；③回归平方和.
28．有如下四个命题：
①甲乙两组数据分别为甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67.则甲乙的中位数分别为45和44.
②相关系数，表明两个变量的相关性较弱.
③若由一个22列联表中的数据计算得的观测值,那么有95%的把握认为两个变量有关.
④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据的残差是指.
以上命题“错误”的序号是
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