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第9讲 一元线性回归模型及其应用
一、一元线性回归模型
1.Y关于x的一元线性回归模型 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差.
如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.
2.我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计，
其中， ＝. 回归直线方程过样本点的中心(,).
二、回归分析
1.残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测称为残差.
2.残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽带越窄，说明模型拟合精度越高.
3.残差平方和：称为残差平方和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好.
4.决定系数R2：，R2越大，表示残差平方和越小，模型的拟合效果越好，R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.
【课堂训练】
一、单选题
1．下列命题中错误的是（ ）
A．在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强
B．对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大
C．线性回归直线恒过样本中心
D．在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
2．某同学在研究变量之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则（ ）
4.8 5.8 7 8.3 9.1
2.8 4.1 7.2 9.1 11.8
A． B． C． D．
3．为了解某种产品的广告投入x（单位：万元）对销量y（单位：万件）的影响，对近五年该产品的广告投入和销量，统计如下表：
x 145 130 120 105 100
y 110 90 102 78 m
已知x和y具有线性相关关系，且回归直线方程为，那么表中m的值为（ ）
A．68 B．70 C．72 D．74
4．某产品近四年的广告费x万元与销售额y万元的统计数据如下表：
x 40 20 30 50
y 490 260 390 540
根据此表可得回归方程中的，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为（ ）
A．650万元 B．655万元 C．677万元 D．720万元
5．某产品生产厂家的市场部在对5家商场进行调研时，获得该产品的售价（单位：元）和销售量（单位：百个）之间的五组数据：，，，，，根据数据可得回归直线方程为，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，由此进行了5次实验，收集数据如下：
零件数：个 10 20 30 40 50
加工时间：分钟 59 71 75 81 89
由以上数据的线性回归方程估计加工100个零件所花费的时间为（ ）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
A．124分钟 B．150分钟 C．162分钟 D．178分钟
7．给出下列命题，其中正确命题的个数为（ ）
①若样本数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为6；②回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；③随机变量服从正态分布，，则；④甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在，，，的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表.由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为.那么，年龄在的爱看人数比为（ ）
A．0.42 B．0.39 C．0.37 D．0.35
9．已知，之间的一组数据：
2 4 6 8
1 5 3 7
则与的线性回归方程必过点
A．(20,16) B．(16,20) C．(4,5) D．(5,4)
10．已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）
A． B．2.45 C．3.45 D．54.55
二、多选题
11．下列说法中正确的是（ ）
A．某射击运动员进行射击训练，其中一组训练共射击九次，射击的环数分别为 则这组射击训练数据的70分位数为
B．已知随机变量服从，若，则
C．在经验回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1
D．用模型拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，若通过这样的变换后，所得到经验回归方程为，则
12．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一
B．已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6
C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等
D．经验回归直线恒过样本点的中心（），且在回归直线上的样本点越多，拟合效果一定越好
13．已知由样本数据点集合求得的线性回归方程为，.现发现两个数据点和的误差较大，去除这两个数据点后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则下列说法中正确的有（ ）
A．去除这两个数据点前，当变量x每增加1个单位长度时，变量y减少1.5个单位长度
B．去除这两个数据点后的回归直线过点
C．去除这两个数据点后y的估计值的增长速度变慢
D．去除这两个数据点后，当时，y的估计值为6.2
14．已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（ ）
A．变量x与y具有正相关关系 B．去除后的回归方程为
C．去除后y的估计值增加速度变快 D．去除后相应于样本点的残差为0.05
15．为了检验变量与的线性相关程度，由样本点，，…，求得两个变量的样本相关系数为，则下列说法错误的是（ ）
A．若所有样本点都在直线上，则
B．若所有样本点都在直线上，则
C．若越大，则变量与的线性相关程度越强
D．若越小，则变量与的线性相关程度越强
16．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表所示.
广告支出费用 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
销售量 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2
根据表中的数据可得经验回归方程，，以下说法正确的是（ ）
A．第三个样本点对应的残差
B．在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中
C．该模型拟合效果较好
D．用该经验回归方程可以很准确地预测广告费用为万元时的销售量
17．考研已成为当今大学生的热门选择.下表统计了某市2017—2022年研究生的报考人数，
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代号x 1 2 3 4 5 6
报考人数y/万 1.87 2.36 2.92 3.25 3.73 4.47
由数据求得研究生报考人数y与年份代号x的回归直线方程为，且2021年研究生报考人数的预测值比实际人数多0.12万，则（ ）
A．x与y之间呈正相关关系
B．
C．年份每增加1年，研究生报考人数估计增加了1万
D．预测该市2023年研究生报考人数约为4.85万
18．年月日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比如表所示. 已知，于是分别用p＝和p＝得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，百分比y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ）（附：，）
年份
年份代码x
p q
A． B． C． D．
三、填空题
19．已知一个线性回归方程为，其中，则 .
20．已知与之间的一组数据：
则与的线性回归方程必过点 .
21．已知，的取值如下表：
2 3 4 5
3.2 4.8 7.3
若与线性相关，且回归直线方程为，则实数的值为 ．
22．具有线性相关关系的变量，，满足一组数据如表所示：
0 1 2 3
-1 1 8
若与的回归直线方程为，则的值是 .
23．具有线性相关关系的变量、的一组数据如下表所示，与的回归直线方程为，则的值为 ．
24．将两个变量x、y的n对样本数据，，，…，在平面直角坐标系中表示为散点图，根据x、y满足一元线性回归模型及最小二乘法，求得其经验回归方程为．设为回归直线上的点，则下列说法正确的是 ．
①越小，说明模型的拟合效果越好；
②利用最小二乘法求出的线性回归直线一定经过散点图中的某些点；
③相关系数r的绝对值越接近于1，说明成对样本数据的线性相关程度越强；
④通过经验回归方程进行预报时，解释变量的取值不能距离样本数据的范围太远，求得的预报值不是响应变量的精确值．
25．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程.
零件数x（个） 10 20 30 40 50
加工时间y（min） 62 75 80 90
现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为 .
26．给出下列说法：
①回归直线恒过样本点的中心；
②某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；
③在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位．
其中说法正确的是 ．
27．在一次试验中测得(x，y)的四组数据如下：
x 16 17 18 19
y 50 34 41 31
根据上表可得线性回归方程，据此模型预报当x＝20时，y的值为 ．
28．某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg）的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下
个体编号 体重x（kg） 脂肪含量y（%）
1 89 28
2 88 27
3 66 24
4 59 23
5 93 29
6 73 25
7 82 29
8 77 25
9 100 30
10 67 23
建立男性体重与脂肪含量的回归方程为： .（结果中回归系数保留三位小数）
四、解答题
29．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
A大学 B大学 C大学 D大学
年毕业人数（千人）
年考研人数（千人）
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴.
（i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
（ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围.
参考公式：，.
30．下表是中国近年来人口数据（不包括香港、澳门特别行政区和台湾省）：
年份 2013 2014 2015 2016
人口数 13.61亿 13.68亿 13.75亿 13.83亿
(1)在平面直角坐标系内标出这四个点，再把这些点连接成线；
(2)选择其中合适的两个点，建立一次函数模拟，用模拟函数预测2017年中国人口数；
(3)能否用“更好”的直线来模拟这组数据的变化？也就是说，能否确定，的值，使式子的值最小？（按如下步骤进行预测）
①化简S，使之成为字母的二次三项式；
②当取何值时（设为），二次三项式S取最小值（设为），这里和都应该是含字母的式子，且是字母的二次三项式；
③求的值，使取最小值；
④求出对应于上述的值；
⑤用一次函数模拟数据的变化，用模拟函数预测2017年中国人口数．
(4)把所得到的两个预测数据和2017年中国实际人口数进行比较．
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第9讲 一元线性回归模型及其应用
1．B
【分析】相关系数来说，越接近，相关程度越大，说明拟合效果更好可判断A；由随机变量的观测值可判断B；由线性回归直线一定恒过样本中心可判断C；由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断D.
【详解】对于A，回归分析中，对于相关系数，
越接近，相关程度越大，说明拟合效果更好，A对；
对于B，对分类变量与，它们的随机变量的
观测值越小，说明“与有关系”的可能性越小，B错；
对于C，由线性回归直线，其中，
所以一定恒过样本中心，所以C正确；
对于D，在回归分析中，残差平方和越小，模型的
拟合效果越好，D正确.
故选：B
2．D
【分析】画出散点图，数形结合得到答案.
【详解】画出散点图如下：
从而可以看出中，.
故选：D
3．B
【分析】根据题中的数据先求，再代入回归直线方程可求得，从而可求解.
【详解】由题中的数据可得，代入中，可得，
所以有，解得.
故选：B
4．B
【分析】求出样本中心点，代入回归直线方程求出，利用回归直线方程计算时，销售额的估算值即可.
【详解】由图表可得，
，.
∵，∴，
则，
取，可得（万元）.
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用样本中心点求线性回归方程，根据线性回归方程预测销售额问题，属于容易题.
5．C
【分析】由数据求样本中心点，根据回归直线过样本中心，将所得样本中心代入方程求参数m即可.
【详解】，，则样本点的中心为(3，)，
将样本中心代入，得，解得m＝7．
故选：C．
6．A
【详解】分析：先求出，再求出得到回归直线方程，再令x=100得到加工100个零件所花费的时间.
详解：由题得
，
所以
所以当x=100时，y=124.故答案为A
点睛：本题主要考查回归分析和回归方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的计算能力，考查学生解决实际问题的能力.
7．A
【分析】根据方差的性质可判断①；根据变量x，y的线性回归方程的系数，判断变量x，y是负相关关系可判断②；利用正态分布的对称性，计算求得结果可判断③；根据简单随机抽样概率均等，计算出每人被抽取的概率可判断④.
【详解】对于①，若样本数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为，故①错误；
对于②，回归方程为，可知，则变量x与y具有负的线性相关关系，故②正确；
对于③，随机变量X服从正态分布，，根据正态分布的对称性，所以，故③错误；
对于④，根据简单随机抽样概率均等可知，某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为，故④错误.
故选：A.
8．D
【分析】根据题意，可列出关于的表格，求出，代入，求出，即可求解
【详解】由题，对数据进行处理，得出如下表格：
年龄段 42 47 52 57
爱看人数比 0.10 0.18 0.20 0.30
求得，，因样本中心过线性回归方程，将代入，得，即，年龄在对应的为，将代入得：，对应的爱看人数比为：0.35
故选：D
【点睛】本题考查线性回归方程的应用，样本中心过线性回归方程是一个重要特征，属于中档题
9．D
【详解】本题考查线性回归方程的性质．
由线性回归方程必过点，可知线性回归方程必过点(5,4)选D．
10．B
【分析】根据样本点的横坐标和回归直线方程得出y的估计值，根据残差定义计算.
【详解】把代入，得，
所以在样本点处的残差.
故选：B.
11．ABD
【分析】根据百分位数的计算即可判断A，根据二项分布的期望和方差的计算公式以及方差的性质即可判断B，根据相关系数的性质即可求解C，根据线性经验回归方程和非线性之间的转化关系即可判断D.
【详解】对于A，将环数从小到大排列为 由于，故这组射击训练数据的70分位数为第七个数10.3，故A正确，
对于B，由二项分布的期望公式可得，由于 故，故B正确，
对于C，在经验回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1，故C错误，
对于D，，又，所以，故D正确，
故选：ABD.
12．AC
【分析】依据方差定义及众数定义去判断选项A；求得第40百分位数去判断选项B；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C；依据回归直线拟合效果判断标准去判断选项D.
【详解】对于选项A：由方差
可得，即此组数据众数唯一，A正确；
对于选项B：数据2，3，5，7，8，9，9，11.共有8个数，由可知，该组数据的第40百分位数为第4个数7，B错误；
对于选项C：依据中位数定义和平均数定义，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等，C正确；
对于选项D：回归直线的拟合效果看残差平方和，残差平方和越小，拟合效果越好，不是回归直线上的样本点多，拟合效果就越好，D错误.
故选：AC
13．BCD
【分析】利用回归方程即可判断选项，利用回归方程求出去掉前的样本中心，分别去掉的两个数的平均数，即可判断选项，通过去掉数据后，回归方程斜率的变化情况，即可判断选项，利用待定系数法求出去掉数据后的回归方程，将代入求解，即可判断选项．
【详解】解：去掉两个数据点和之前，，
所以x每增加1个单位，y约增加1.5个单位，故选项A错误；
去掉两个数据点和之前，
回方程过，则，
而去掉的2个点，，
所以去掉后的，没有变化，
故去除这两个数据点后的回归直线过点，故选项B正确；
去掉两个数据点后，回归方程的斜率由1.5变为1.2，
故去除这两个数据点后y的估计值的增长速度变慢，故选项C正确；
去掉两个数据点后，得到样本的中心为，则有，解得，
故回归方程变为，
当时，，故选项D正确.
故选：BCD.
14．AB
【解析】A. 根据回归直线方程的x系数的正负判断.B. 根据去除前后样本点不变判断.C. 根据去除前后x的系数大小判断.D.根据残差的计算公式判断.
【详解】因为回归直线方程为，，
所以变量x与y具有正相关关系.故A正确.
当时，，
样本点为，去掉两个数据点和后，样本点还是，
又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，
所以，
解得，
所以去除后的回归方程为，故B正确.
因为，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故C错误.
因为，
所以，故D错误.
故选：AB
【点睛】本题主要考查回归分析的理解，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
15．AD
【分析】根据相关系数与变量与的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误.
【详解】若所有样本点都在直线上，且直线斜率为负数，则，故A说法错误，B说法正确；
若越大，则变量与的线性相关程度越强，故C说法正确，D说法错误.
故选：AD.
16．AC
【分析】根据题意可求出，从而可对A项判断；由，可对B、C项作出判断；由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，而广告费用万元远大于表格中广告费用值，从而可对D项判断.
【详解】对于A项：由题意得，，
代入，得，故，
所以，故A项正确；
对于B、C项：由于，所以该回归模型拟合的效果比较好，故C项正确；
故对应的残差图中残差点应该比较均匀地分布在水平的带状区域中，故B项错误；
对于D项：由于样本的取值范围会影响回归方程的使用范围，
而广告费用万元远大于表格中广告费用值，
故用该经验回归方程预测广告费用为万元时的销售量不一定准确，故D项错误．
故选：AC.
17．ABD
【分析】结合题目数据求出，再利用线性回归直线方程过点，求出回归直线方程，然后逐项判断求解即可.
【详解】由表中数据知，随的增大而增大，所以与之间呈正相关关系，A项正确；
又，，
因为回归直线必过点，所以，
因为2021年研究生报考人数的预测值比实际人数多0.12万，
所以点在直线上，所以，解得，，
B项正确；
因为，所以年份每增加1年，研究生报考人数估计增加了0.5万，C项错误；
将代入，得，
所以预测该市2023年研究生报考人数约为4.85万，D项正确.
故选：ABD
18．ABC
【分析】根据已知条件，结合方差、相关系数的定义，以及最小二乘法公式即可求解.
【详解】时，，变量、呈线性正相关，故，故A正确；
方差反映数据的稳定性，显然时更稳定，故此时方差更小，即，故B正确；
由于，当时，
，
当时，，
所以，故C正确；
因为，所以时，，故D错误.
故选：ABC
19．/
【分析】利用回归直线通过样本中心点，代入计算.
【详解】因为回归直线通过样本中心点，
，
故答案为：
20．
【分析】根据表格数据可计算求得样本中心点，由此得到结果.
【详解】由表格数据可知：，，
线性回归方程必过点.
故答案为：.
21．8.7
【分析】利用线性回归直线过样本中心点求解.
【详解】因为，，
所以，解得．
故答案为：.
22．4
【分析】根据题中数据计算变量的平均值，代入方程求解出参数.
【详解】根据题意，
代入回归直线方程得：
故答案为：4.
23．
【解析】根据表格数据求得，将代入回归直线即可求得结果.
【详解】由表格数据知：，，
回归直线过点，，解得：.
故答案为：.
24．③④/
【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质逐个分析判断即可.
【详解】对于①，对于线性回归方程，用相关系数来刻画回归效果，并非越小，模型的拟合效果就越好，所以①错误，
对于②，利用最小二乘法求出的线性回归直线有可能不经过散点图中的所有点，所以②错误，
对于③，相关系数r的绝对值越接近于1，说明成对样本数据的线性相关程度越强，所以③正确，
对于④，若解释变量的取值超出样本数据范围太多，则导致预报值准确度降低，得到预报值已不是准确值，所以④正确，
故答案为：③④
25．
【解析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程，代入样本中心点求出该数据的值．
【详解】解：设阴影部分的数据为，由表中数据得：，，
由于由最小二乘法求得回归方程，
将，，代入回归直线方程，得．
故答案为：．
26．①③
【分析】根据回归直线方程、平均数、方差等知识确定正确说法.
【详解】①回归直线恒过样本点的中心，①正确.
②加入新数据后，新平均数为，根据方差的计算公式可知，方差计算新增部分，但原方差是除以，而新方差是除以，所以方差变了，②错误.
③在回归直线方程中，由于的系数是，所以当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位，③正确.
故答案为：①③
27．26.5
【分析】首先求出，代入回归方程求出，再将x＝20代入回归方程即可求解.
【详解】，，
∴回归直线过点(17.5，39)，
∴39＝－5×17.5＋，∴＝126.5，
∴当x＝20时，y＝－5×20＋126.5＝26.5．
故答案为：26.5
28．
【分析】根据表格数据，结合最小二乘估计求解相关数据，即可得回归方程.
【详解】由表格数据可得：
，，，，
设回归直线方程为，其斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，
所以，，
故回归方程为.
故答案为：.
29．(1)
(2)（i）5028万元（ii）
【分析】（1）利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程；
（2）（i）直接将将x=120代入（1）中所求的线性回归方程计算即可；
（ii）先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围.
【详解】（1）由题意得，，
又，
，
，
，
所以，
故得y关于x的线性回归方程为；
（2）（i）将x=120代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）；
（ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、，
，
，
，
，
，可得，
又因为，可得，
故.
30．(1)图象见解析；
(2)选择见解析，预测2017年中国人口数为13.89亿；
(3)①；②，；③；④；⑤，预测2017年中国人口数13.9亿.
(4)答案见解析；
【分析】（1）根据所给数据，画出图象即可；
（2）选择两组数据，代入求解，即可求得模拟直线方程，进而可预测2017年人口数；
（3）根据题意及数据，逐一求解各个参数，可得模拟方程，进而可预测2017年人口数；
（4）查阅2017年人数，分析比较，即可得答案.
【详解】（1）如图所示：
（2）不妨选择前两组数据建立一次函数模拟，设模拟方程为，
令2013年对应x为1，则2014年对应x为2，选取两点进行模拟，
代入可得，
解得，所以，
2017年，即时，，
故预测2017年中国人口数为亿（选其他数据，计算合理也正确）
（3）①
②所以当时，S有最小值，
所以，
③由②可得当时，有最小值，即，
④当时，，
⑤，2017年对应x=5，代入可得，
所以预测2017年中国人口数为13.9亿.
（4）查阅可得2017人口总数为13.9亿，比较可得第二种方法算的更准确，误差更小.
【点睛】解题的关键是读懂题意，根据所给数据，代入求解，考查分析理解，计算求值的能力，计算难度大，属难题.
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