兴文二中高2022级高二下学期开学考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小感，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角是
A．41° B．49° C．131° D．139°
3．为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程，则甲、乙恰好选中相同课程的概率为
A． B． C．1 D．
4．圆与圆的位置关系是
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
5．若直线与直线平行，则的值为
A．或 B． C．或 D．
6．已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为
A． B． C． D．
7．记椭圆的左焦点和右焦点分别为，右顶点为，过且倾斜角为的直线上有一点，且在轴上的投影为.连接，的方向向量，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
8．斐波那契数列是意大利数学家斐波那契在撰写《算盘全书》(LiberAbacci)一书中研究的一个著名数列，，，，，，，，，，该数列是数学史中非常重要的一个数列．它与生活中许多现象息息相关，如松果、凤梨、树叶的排列符合该数列的规律，与杨辉三角，黄金分割比等知识的关系也相当密切．已知该数列满足如下规律，即从第三项开始，每一项都等于前两项的和，根据这个递推关系，令该数列为，其前项和为，，，若，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某公司对三名毕业生的九项能力进行指标测试（每项指标总分为1，分值高者为优），根据雷达图判断下列说法合理的有
A．学生甲各项素质和能力都比较突出 B．学生乙各项素质和能力相对处于中等水平
C．学生乙需要提高语言表达能力 D．学生丙各项能力都有待提高
10．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是
A．C的渐近线方程为
B．若直线与双曲线C有交点，则
C．点P到C的两条渐近线的距离之积为
D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
11．已知动点P与两定点，的距离之比为，则
A．点P的轨迹所围成的图形的面积是
B．点P到点A的距离的最大值是2
C．点P到点B的距离的最大值是6
D．当P，A，B不共线时，的面积最大值是3
12．在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则
A．无论，取何值，三棱锥的体积为定值30
B．当时，的最小值为
C．当时，直线与直线恒为异面直线
D．当时，平面
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．椭圆的焦距等于 .
14．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是第 项.
15．已知椭圆：，直线：与椭圆交于，两点，则过点，且与直线：相切的圆的方程为 ．
16．设抛物线 的焦点是， 直线与抛物线相交于、两点， 且， 线段的中点到抛物线的准线的距离为， 则的最小值为
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.
18．（12分）某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．
(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；
(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x，y，从下面两个条件中选一个，求事件E的概率．
①事件E：；②事件E：．
注：如果①②都做，只按第①个计分．
19．（12分）已知是公比为的等比数列，前项和为，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和.
20．（12分）已知抛物线的焦点为F，A，B是该抛物线上不重合的两个动点，O为坐标原点，当A点的横坐标为4时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)以AB为直径的圆经过点，点A，B都不与点P重合，求的最小值．
21．（12分）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
(1)求与平面所成角的大小；
(2)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使平面与平面垂直 若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由.
22．（12分）已知，，点满足，记点的轨迹为曲线.斜率为的直线过点，且与曲线相交于，两点.
(1)求斜率的取值范围；
(2)在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由.兴文二中高2022级高二下学期开学考试
数学试题参考答案：
1．B 2．D 3．D 4．A 5．D 6．C 7．C 8．D
9．BC 10．AC 11．ACD 12．BD
13．4 14．5 15．． 16．3
17．解：（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故边AC所在直线的方程为：，即3x﹣y+9＝0，
（2）BC边上的中点D（0，2），
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k，
故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为y＝2（x+3），即2x﹣y+6＝0.
18．解：（1）第七组的频率为，
所以第六组的频率为，第八组的频率为0.04，
第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，
设优秀等级的最低分数为，则，
由，解得，
故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数.
（2）第六组的人数为4人，设为,，第八组的人数为2人，设为，
随机抽取两名学生，则有共15种情况，
选①：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，
所以事件包含的基本事件为共7种情况，故.
选②：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，
所以事件包含的基本事件为共8种情况，故.
19．解：(1)由已知，得或（舍去），
又，由，解得，所以；
(2)由题意得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
则.
20．解：（1）设，因为，所以，，过点A作AD⊥x轴于点D，则，，解得：，所以抛物线方程为.
（2）设直线AB为，，由方程与联立得：，所以，即，且，，所以，，因为以AB为直径的圆经过点，所以，即，即，所以，所以，所以或，
当时，直线AB为过点P，此时与题干条件A，B都不与点P重合矛盾，不合题意，舍去；
当时，直线AB为，满足要求，所以，则，所以当时，最小，且最小值为11.
21．解：（1）在中，因为，故，
故在四棱锥中，有，，，
而，且平面,平面故平面，
因平面，所以，
而，故，
而，故可建立如图所示的空间直角坐标系：
在中，因为，
，，
故，，，
在中，，
则，，，，，
故，故，又，，
设平面的法向量为，则即，
取，则，，故，故，
故与平面所成角的正弦值为，
因为与平面所成角为锐角，故该角为.
（2）假设点，设，则，故，
又，，
，设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，故，
设平面的法向量为，
则即，
取，则，，故.
因为平面平面，故，所以，故，
所以,所以线段上存在点，使平面与平面垂直，此时.
22．（1）依题意，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支.
则，，，，
所以曲线的方程为.
曲线的方程为对应的渐近线方程为，
根据渐近线的性质可知，要使直线与曲线有2个交点，
则的取值范围是
（2）由题意得直线为，
由消去并化简得，
其中，.
设，，
则，，
设，因为，即，
则，，
，，
，
所以，
所以，，
，，，
所以存在，使成立
