泸县一中高2022级高二下学期开学考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小感，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．
1．设在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
3．在不超过15的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数的积是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则（ ）
A．2 B．13 C．6 D．
8．已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4
B．数据11，19，15，16，19众数是19，平均数为18
C．数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的极差为12
D．对于随机事件与，若，，则事件与独立
10．已知数列满足，的前项和为，则（ ）
A．成等比数列 B．当时，
C．当时， D．若，则
11．双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ）
A． B．
C．平行四边形各边所在直线斜率均不为 D．
12．在如图所示的试验装置中，和均为边长为1正方形框架，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在对角线，上移动，且，（）．则下列结论正确的是（ ）
A.，
B.，
C.，平面
D．，平面⊥平面
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为 .
14．已知，空间向量．若，则 ．
15．一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．
16．已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）某中学随机选取了名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．
（Ⅰ）求的值及样本中男生身高在（单位:）的人数；
（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
（Ⅲ）在样本中，从身高在和（单位:）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于的概率．
18.（12分）已知关于直线对称，点，都
在上.
（Ⅰ）求线段垂直平分线的方程；
（Ⅱ）求的标准方程
19．（12分）设为数列的前n项和，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
20．（12分）已知、分别是双曲线C：（，）的两个焦点，若双曲线的一条渐近线与直线恰好平行．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率；
（Ⅱ）若，M为双曲线上一点，且，求的值﹒
21．（12分）长方体中，，是对角线上一动点（不含端点），是的中点.
（Ⅰ）若，求三棱锥体积；
（Ⅱ）平面与平面所成角的余弦值，求与平面所成角的余弦值.
22．（12分）椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线AB的斜率为2时，求AB的长度；
（Ⅲ）若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求
四边形面积的范围.泸县一中高2022级高二下学期开学考试
数学试题参考答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D
9．ACD 10．BCD 11．BC 12．ACD
13． 14．1 15．或 16．
17．解：（1）根据题意， .解得 ．
所以样本中学生身高在内（单位:）的人数为．
（2）设样本中男生身高的平均值为，则
．
所以，该校男生的平均身高为．
（3）样本中男生身高在内的人有
（个），记这两人为．
由（Ⅰ）可知，学生身高在内的人有个，记这四人为．
所以，身高在和内的男生共人．
从这人中任意选取人，有，
共种情况．
设所选两人的身高都不低于为事件，事件包括，共种情况．
所以，所选两人的身高都不低于的概率为．
18．解:（1）因为点，，所以线段的中点为
因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在.
所以垂直平分线的方程为；
（2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为，
又因为点，在上，所以，解得，
所以的标准方程为.
解法二：因为直线与直线的交点为圆心，
由，解得，故圆心.又因为.
所以的标准方程为.
19．解:（1）因为，
当时，，即；
当时，，
两式相减，得，
整理得，即，
所以，
当时，也满足上式，所以.
（2）因为，
所以，
则
两式相减得，
，所以.
20．解:（1）根据题意，双曲线的渐近线为，因为双曲线的一条渐近线与直线平行，
所以即．
∵，∴．∴．
（2）由得，即．由（1）知，，得．
由双曲线的定义可得：，解得或．
∵，∴．
21．解:（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
设，由题意设，
即，则，所以.
（1）因为，解得.所以.
.
（2）由长方体可知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为
则，
令，则，，则，
由题意得：，解得：或（舍），
则，，设与平面所成角为，则
，则.所以与平面所成角余弦值为.
22．解:（1）焦点为，则，即，
点在椭圆：上，即，
解得或（舍去），则，所以椭圆的方程为.
（2）直线设其方程为，，，联立，可得，
则①，又②，③
以为直径的圆过原点即
，
将②，③代入得，解得④，
.
（3）当直线斜率存在时，设其方程为，，，
联立，可得，
则①，又②，③
以为直径的圆过原点即，
化简可得，
代入②③两式，整理得，即④，
将④式代入①式，得恒成立，则，
设线段中点为，由，所以，
又，
又由，则点坐标为，
化简可得，代入椭圆方程可得，即，
则，
当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴，
易得，，，综上，四边形面积的取值范围为.
