中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时25)§3．2 用关系式表示变量间关系
一.选择题：
1.李老师乘车从学校到省城参加会议，学校距省城150千米，车行驶的速度为每小时60千米,x小时后李老师距省城y千米，则y与x之间的关系为( )
A.y=60x-150 A.y=-60x-150 C.y=60x+150 D.y=-60x+150
2.在关系式y=3x+4中，当自变量x=7时，因变量y的值为（ ）
A.1 B.7 C.25 D.31
3.如图1是一个运算程序的示意图，若输出的值为2，则输入的值可能为（ ）
A．3 B．±1 C．1或3 D．±1或3
4.如图2，图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是( )
A．y＝4n－4 B．y＝4n C．y＝4n＋4 D．y＝n2
5.在高处让一石子由静止开始落下，它落下的高度与时间有下面的关系：推测一下用t表示h的公式，利用你的公式计算从静止开始，经过2.5秒，石子落下的高度为( )
A.30.25 B.31.25 C.32.25 D.33.25
二.填空题：
6.如图3，△ABC中,过顶点A的直线与边BC相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动,且越过点D后逐渐远离点D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是先由___变___,后又由___变___.
7.某电影院有1000个座位，门票每张3元可使客满，若每张提高x元，将有200x张门票不能售出，提价后每场电影票房收入y元与提高的票价x元之间的关系式为__________________．
8.烧一壶水，假设冷水的水温为20℃，烧水时每分钟可使水温提高8℃，烧了x分钟后水壶的水温为y℃，当水开时就不再烧了.(1)y与x的关系式为_________,其中自变量是___,它应在______变化.
(2)x=1时，y=___，x=5时，y=___.(3)x=______时，y=48.
三.解答题：
9.有一边长为xcm的正方形，若边长变化，则其面积也随之变化．
(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
(2)写出正方形的面积y(cm2)关于正方形的边长x(cm)的关系式．
10.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s) 1 2 3 4 …
距离s(m) 2 8 18 32 …
写出用t表示s的关系式．
11.为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400
油箱剩余油量 50 42 34 26 18
（1）该轿车油箱的容量为___L，行驶150km时，油箱剩余油量为___L；
（2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量与轿车行驶的路程之间的表达式；
（3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从地前往地，到达地时邮箱剩余油量为，求，两地之间的距离．
图3
图1
图2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时25)§3．2 用关系式表示变量间关系
【学习目标】能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系．
【学习重难点】能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.
【导学过程】
一.知识回顾
1.在一个变化过程中，______________的量叫做变量，其中一个量随着另一个量的_____而_____，我们把这一个量叫作_______，另一个量叫作_____.
2.表示两个变量间关系的表格，一般是第一栏表示_______，第二栏表示_______.
3.用代数式填空：
（1）若△ABC的底边长为6，高为h，则三角形的面积S=____.
（2）若梯形的上底为a，下底为8，高为6，则梯形的面积S=________.
（3）若圆锥的底面半径为3，高为h，则圆锥的体积V=________.
二.探究新知
1.游戏：数青蛙
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；
三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；……___只青蛙___张嘴，___只眼睛___条腿
2.问题探究：“变化中的三角形”
如图1，△ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在的
直线向B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？________.
①在这个变化过程中自变量和因变量分别是什么？自变量是：________；因变量：____.
②如果三角形的底边长为x（cm），那么三角形的面积y（cm2）可以表示为________.
③当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从____cm2变化到____cm2.
3.总结：用关系式表示的变量间关系
(1)y=3x表示了___________和________之间的关系，它是变量___随___变化的关系式.
(2)表示了________与____________之间的关系，它是变量___随___变化的关系式.
（3）两个变量之间的关系可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示变量之间关系的方法叫做关系式法.
注意：①利用关系式，如y=3x，我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值；
②关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式，即一定要将因变量单独放在等号的左边；
③有些问题中，自变量是有范围限制的，列关系式时要注意.
三.典例与练习
例1.“变化中的圆锥”如图2，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的
体积也随之发生了变化.
①在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
自变量是________________________，因变量是____________.
②如果圆锥底面半径为 r（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与r的关系式为________.
③当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由________cm3变化到________cm3 .
练习1.变量x与y之间的关系式是y=x2－3，当自变量x=2时，因变量y的值是( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
例2.你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式.排碳公式如图3，据此作答下列问题：
（1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为________其中的字
母表示________________________.
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW·h，二氧化碳排放量增加
________.当耗电量从1kW·h增加到100kW·h时，二氧化碳排放量从________增加到________.
（3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.①用电的二氧化碳：________________（kg）②开私家车的二氧化碳：____________（kg）③用天然气的二氧化碳：___________（kg）④用自来水的二氧化碳：______________（kg）
练习2.若一辆汽车以50千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为S（千米），行驶时间为t（时），则用t表示S的关系式为（ ）A．S=50+50t B．S=50t C．S=50-50t D．以上都不对
四.课堂小结
1、利用________表示变量间关系，比用表格表示更全面，更简单明了.
2、利用________，我们可以根据任何一个________的值求出相应的________的值.
3、关系式法是用等式表示两个变量之间关系的方法，其基本特征是:
(1)等式的左边是________，等式的右边是关于________的代数式;
(2)等式中只含有________和________这两个变量，其他的都是常量;
(3)自变量可在允许的范围内任意取值.
五.分层过关
1.小颖现已存款200元，为赞助“希望工程”她计划今后每月存款10元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的关系式是（ ）
A．y=10x B．y=120x C．y=200-10x D．y=200+10x
2．一个蓄水池有15m3，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量Q(m3)与注水时间t（分）间的关系式为（ ）
A．Q=0.5t B．Q=15t C．Q=15+0.5t D．Q=15-0.5t
3.变量x与y之间的关系是y=2x+1，当y=5时，自变量x的值是( )
A．13 B．5 C．2 D．3.5
4.如图4，△ABC的边BC长为12cm,乐乐观察到当顶点A沿着BC边上的高AD所在直线向上运动时，三角形的面积发生变化，在这个变化过程中，如果三角形的高为x(cm)，那么△ABC的面积y（cm2）与x（cm）之间的关系式是____
5.一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所示：
请你根据表格，解答下列问题：
行驶时间t(h) 0 1 2 3 4 …
油箱中剩余油量Q(L) 54 46.5 39 31.5 24 …
(1)上表反映了____________________________________两个变量之间的关系；
自变量是________；因变量是________________.
(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量________.
(3)Q与t的关系式是：____________；，当连续行驶6h后，油箱中的剩余油量是：____；
(4)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是________.
6.为保护学生的视力，课桌椅的高度均按一定的关系配套设计，已知课桌的高度随着椅子的高度变化而变化，它们之间的关系用关系式近似地表示y=1.6x+11，y表示课桌的高度(单位:cm)，x表示椅子的高度(单位:cm).
(1)求当椅子的高度为40cm时，课桌的高度;(2)求当课桌的高度为83cm时，椅子的高度.
7.按图（1）（3）的方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续摆放，如果摆放的餐桌为x张，摆放的椅子为y把，则y与x之间的关系式为____________.
图1
图2
图3
图4
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时25)§3．2 用关系式表示变量间关系
【学习目标】能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系．
【学习重难点】能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.
【导学过程】
一.知识回顾
1.在一个变化过程中，可以取不同值的量叫做变量，其中一个量随着另一个量的变化而变化，我们把这一个量叫作因变量，另一个量叫作自变量.
2.表示两个变量间关系的表格，一般是第一栏表示自变量，第二栏表示因变量.
3.用代数式填空：
（1）若△ABC的底边长为6，高为h，则三角形的面积S=3h.
（2）若梯形的上底为a，下底为8，高为6，则梯形的面积S=3a+24.
（3）若圆锥的底面半径为3，高为h，则圆锥的体积V=3πh.
二.探究新知
1.游戏：数青蛙
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；
三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；……n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿
2.问题探究：“变化中的三角形”
如图1，△ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在的
直线向B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？面积变小.
①在这个变化过程中自变量和因变量分别是什么？自变量是：底边长；因变量：面积.
②如果三角形的底边长为x（cm），那么三角形的面积y（cm2）可以表示为y=3x.
③当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从36cm2变化到9cm2.
3.总结：用关系式表示的变量间关系
(1)y=3x表示了三角形面积和三角形底边长之间的关系，它是变量y随x变化的关系式.
(2)表示了圆锥体积与圆锥底面半径之间的关系，它是变量v随r变化的关系式.
（3）两个变量之间的关系可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示变量之间关系的方法叫做关系式法.
注意：①利用关系式，如y=3x，我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值；
②关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式，即一定要将因变量单独放在等号的左边；
③有些问题中，自变量是有范围限制的，列关系式时要注意.
三.典例与练习
例1.“变化中的圆锥”如图2，圆锥的高度是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的
体积也随之发生了变化.
①在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
自变量是圆锥的底面半径的长度，因变量是圆锥的体积.
②如果圆锥底面半径为 r（cm），那么圆锥的体积V（cm3）与r的关系式为.
③当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由cm3变化到cm3 .
练习1.变量x与y之间的关系式是y=x2－3，当自变量x=2时，因变量y的值是( C )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
例2.你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式.排碳公式如图3，据此作答下列问题：
（1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为y=0.785x其中的字
母表示二氧化碳排放量 耗电量.
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW·h，二氧化碳排放量增加
0.785kg.当耗电量从1kW·h增加到100kW·h时，二氧化碳排放量从0.785kg增加到78.5kg.
（3）小明家本月用电大约110kW·h、天然气20m3、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.①用电的二氧化碳：110×0.785=86.35（kg）②开私家车的二氧化碳：75×2.7=202.5（kg）③用天然气的二氧化碳：20×0.19=3.8（kg）④用自来水的二氧化碳：5×0.91=4.55（kg）
练习2.若一辆汽车以50千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为S（千米），行驶时间为t（时），则用t表示S的关系式为（ B ）A．S=50+50t B．S=50t C．S=50-50t D．以上都不对
四.课堂小结
1、利用关系式法表示变量间关系，比用表格表示更全面，更简单明了.
2、利用关系式法，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.
3、关系式法是用等式表示两个变量之间关系的方法，其基本特征是:
(1)等式的左边是因变量，等式的右边是关于自变量的代数式;
(2)等式中只含有自变量和因变量这两个变量，其他的都是常量;
(3)自变量可在允许的范围内任意取值.
五.分层过关
1.小颖现已存款200元，为赞助“希望工程”她计划今后每月存款10元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的关系式是（ D ）
A．y=10x B．y=120x C．y=200-10x D．y=200+10x
2．一个蓄水池有15m3，以每分钟0.5m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量Q(m3)与注水时间t（分）间的关系式为（ C ）
A．Q=0.5t B．Q=15t C．Q=15+0.5t D．Q=15-0.5t
3.变量x与y之间的关系是y=2x+1，当y=5时，自变量x的值是( C )
A．13 B．5 C．2 D．3.5
4.如图4，△ABC的边BC长为12cm,乐乐观察到当顶点A沿着BC边上的高AD所在直线向上运动时，三角形的面积发生变化，在这个变化过程中，如果三角形的高为x(cm)，那么△ABC的面积y（cm2）与x（cm）之间的关系式是6x
5.一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所示：
请你根据表格，解答下列问题：
行驶时间t(h) 0 1 2 3 4 …
油箱中剩余油量Q(L) 54 46.5 39 31.5 24 …
(1)上表反映了油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)两个变量之间的关系；
自变量是时间t；因变量是油箱中剩余油量Q.
(2)随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量在不断减小.
(3)Q与t的关系式是：Q＝54－7.5t；，当连续行驶6h后，油箱中的剩余油量是：9(L)；
(4)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是7.2h.
6.为保护学生的视力，课桌椅的高度均按一定的关系配套设计，已知课桌的高度随着椅子的高度变化而变化，它们之间的关系用关系式近似地表示y=1.6x+11，y表示课桌的高度(单位:cm)，x表示椅子的高度(单位:cm).
(1)求当椅子的高度为40cm时，课桌的高度;(2)求当课桌的高度为83cm时，椅子的高度.
解：(1)当x=40时，y=1.6×40+11=75.
(2)当y=83时，83=1.6x+1.解得x=45.故当椅子的高度为40cm时，课桌的高度应为75cm;当课桌的高度为83cm时，椅子的高度应为45cm.
7.按图（1）（3）的方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续摆放，如果摆放的餐桌为x张，摆放的椅子为y把，则y与x之间的关系式为y=4x+2
图1
图2
图3
图4
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时25)§3．2 用关系式表示变量间关系
一.选择题：
1.李老师乘车从学校到省城参加会议，学校距省城150千米，车行驶的速度为每小时60千米,x小时后李老师距省城y千米，则y与x之间的关系为( D )
A.y=60x-150 A.y=-60x-150 C.y=60x+150 D.y=-60x+150
2.在关系式y=3x+4中，当自变量x=7时，因变量y的值为（ C ）
A.1 B.7 C.25 D.31
3.如图1是一个运算程序的示意图，若输出的值为2，则输入的值可能为（C）
A．3 B．±1 C．1或3 D．±1或3
4.如图2，图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是( B )
A．y＝4n－4 B．y＝4n C．y＝4n＋4 D．y＝n2
5.在高处让一石子由静止开始落下，它落下的高度与时间有下面的关系：推测一下用t表示h的公式，利用你的公式计算从静止开始，经过2.5秒，石子落下的高度为( B )
A.30.25 B.31.25 C.32.25 D.33.25
二.填空题：
6.如图3，△ABC中,过顶点A的直线与边BC相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动,且越过点D后逐渐远离点D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是先由大变小,后又由小变大.
7.某电影院有1000个座位，门票每张3元可使客满，若每张提高x元，将有200x张门票不能售出，提价后每场电影票房收入y元与提高的票价x元之间的关系式为y=-200x2+400x+3000．
8.烧一壶水，假设冷水的水温为20℃，烧水时每分钟可使水温提高8℃，烧了x分钟后水壶的水温为y℃，当水开时就不再烧了.(1)y与x的关系式为y=8x+20,其中自变量是x,它应在0--10变化.
(2)x=1时，y=28，x=5时，y=60.(3)x=3.5时，y=48.
三.解答题：
9.有一边长为xcm的正方形，若边长变化，则其面积也随之变化．
(1)在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
(2)写出正方形的面积y(cm2)关于正方形的边长x(cm)的关系式．
解：（1）正方形的边长变化，则其面积也随之变化，在这个变化过程中，自变量是边长，正方形的面积是因变量；
（2）正方形的面积y（cm2）关于正方形的边长x（cm）的关系式为y=x2．
时间t(s) 1 2 3 4 …
距离s(m) 2 8 18 32 …
10.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
写出用t表示s的关系式．
解：观察表中给出的t与s的对应值，再进行分析，归纳得出关系式．
当t＝1时，s＝2=2×12；当t＝2时，s＝8=2×22；当t＝3时，s＝18=2×32；
当t＝4时，s＝32=2×42，…所以s与t的关系式为s＝2t2，其中t≥0.
故答案为s＝2t2(t≥0)．
11.为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400
油箱剩余油量 50 42 34 26 18
（1）该轿车油箱的容量为50L，行驶150km时，油箱剩余油量为38L；
（2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量与轿车行驶的路程之间的表达式；
（3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从地前往地，到达地时邮箱剩余油量为，求，两地之间的距离．
解（1）由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为，行驶时，油箱剩余油量为：．故答案是：50；38；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，据此可得与的关系式为；故答案是：；
（3）令，得．
答：，两地之间的距离为．
图3
图1
图2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
