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(总课时26)§3.2图形的旋转(2)
【学习目标】会进行简单的平面图形的旋转作图.
【学习重难点】掌握确定一个图形旋转后的位置的条件.
【导学过程】
一.知识回顾
如图1，将四边形AOBC绕O点旋转得到四边形DOEF,在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是____，旋转角是____；
（2）旋转后，点A对应点____，点B对应点____；
（3）AO与DO、BO与EO的长有什么关系？______，______.
（4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？____________.
二.探究新知
探究（一）旋转作图
1.点、线段的旋转:
点的旋转：（以单摆为模型，并将此抽象为“点的旋转”）
操作①：试着画一画如图2所示，A点绕O点顺时针旋转60°后所在的位置A′
线段的旋转：
操作②：如图3所示，画出线段AB绕着端点A顺时针旋转60度后的线段.
画法：（1）以AB为一边按顺时针方向画∠BAX=____；
（2）在射线AX上取点C，使AC=____，线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段。
操作③:如图4所示试着画一画线段AB绕O点顺时针旋转90°后所得的线段（O点在线段外）.
2.三角形的旋转
操作④：如图5所示,试着画△ABC绕O点逆时针旋转60°后所得的三角形
画法：(1)如图,连接OA,OB,OC;(2)分别以OA,OB,OC为一边作∠AOA'=_____=_____=60°;
(3)分别在射线OA',OB',OC'上截取OA'=___,OB'=___,OC'=___,
依次连接_______________,则_________就是△ABC绕点O按顺时针方向旋转60°后所得的图形.
三.典例与练习
例1.如图6，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C对应点的位置，以及旋转后的三角形．
画法：(1)连接OA，OD，OB，OC．
（2）如图，分别以OB、OC为一边作______=______=∠AOD．
(3)分别在射线OE、OF上截取OE=___、OF=___．
(4)连接____________．则△DEF,就是△ABC绕O点旋转后的图形．
【关键词】：①连接--②作角--③截取--④连接
练习1.如图7中，将大写字母N绕它右下侧的顶点O按顺时针方向旋转90°，作出旋转后的图案.
例2.如图8，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.（1）将△ABC绕点P旋转180°，得到△A′B′C′；(2)再作△A′B′C′绕点C′逆时针旋转90°，得到△A′′B′′C′′，请画出图形（不要求写画法）
练习2.如图9，方格纸中△ABC的三个顶点均在格点上，将△ABC向右平移5格到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°，得到△A2B2C2.在方格纸中画出△A1B1C1和△A2B2C2.（不要求写画法）
四.课堂小结
1.旋转简单图形作图的步骤：步骤一：确定旋转______；步骤二：确定旋转___和旋转______；步骤三：确定______；步骤四：画出旋转后的图形.
2.旋转的关键是找_________和______.
3.确定一个图形旋转后的位置，需要哪些条件？
(1)_________；(2)_________；(3)______.
五.分层过关
1.如图10为旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为（ ）.
A、30 B、45 C、60 D、90
2.若点A的坐标为（6，3），O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）
A. （3，﹣6） B. （﹣3，6） C. （﹣3，﹣6） D. （3，6）
3.如图11，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）
A. 8° B. 10° C. 12° D. 18°
4.如图12，五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）
A. 36° B. 60° C. 72° D. 90°
5.如图13所示，钟表的指针AOBC绕中心O沿顺时针方向旋转60°得到四边形DOEF，那么四边形DOEF绕中心O沿顺时针方向旋转______度才能得到四边形AOBC.
6.如图14，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于______．
7.你能对图15中的甲图案进行适当的运动变化，使它与乙图案重合吗？写出你的操作过程？
8.如图16，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.
（1)求证：EF=BC;
（2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
图1
画法：如图2
（1）连接OA，
(2）以OA为边逆时针方向画
∠AOA′=____；点A′即为所求作.
图2
图5
A
B
O
图4
图3
X
C
图6
图8
图9
A
C
B
图7
图10
图12
图11
图14
图13
图15
图16
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(总课时26)§3.2图形的旋转(2)
【学习目标】会进行简单的平面图形的旋转作图.
【学习重难点】掌握确定一个图形旋转后的位置的条件.
【导学过程】
一.知识回顾
如图1，将四边形AOBC绕O点旋转得到四边形DOEF,在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是点O，旋转角是∠AOD；
（2）旋转后，点A对应点D，点B对应点E；
（3）AO与DO、BO与EO的长有什么关系？AO=DO，BO=EO
（4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？∠AOD=∠BOE
二.探究新知
探究（一）旋转作图
1.点、线段的旋转:
点的旋转：（以单摆为模型，并将此抽象为“点的旋转”）
操作①：试着画一画如图2所示，A点绕O点顺时针旋转60°后所在的位置A′
线段的旋转：
操作②：如图3所示，画出线段AB绕着端点A顺时针旋转60度后的线段.
画法：（1）以AB为一边按顺时针方向画∠BAX=60°；
（2）在射线AX上取点C，使AC=AB，线段AC就是线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段。
操作③:如图4所示试着画一画线段AB绕O点顺时针旋转90°后所得的线段（O点在线段外）.
2.三角形的旋转
操作④：如图5所示,试着画△ABC绕O点逆时针旋转60°后所得的三角形
画法：(1)如图,连接OA,OB,OC;(2)分别以OA,OB,OC为一边作∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=60°;
(3)分别在射线OA',OB',OC'上截取OA'=OA,OB'=OB,OC'=OC,
依次连接A'B',B'C',C'A',则△A'B'C'就是△ABC绕点O按顺时针方向旋转60°后所得的图形.
三.典例与练习
例1.如图6，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C对应点的位置，以及旋转后的三角形．
画法：(1)连接OA，OD，OB，OC．
（2）如图，分别以OB、OC为一边作∠BOE=∠COF=∠AOD．
(3)分别在射线OE、OF上截取OE=OB、OF=OC．
(4)连接EF，ED，FD．则△DEF,就是△ABC绕O点旋转后的图形．
【关键词】：①连接--②作角--③截取--④连接
练习1.如图7中，将大写字母N绕它右下侧的顶点O按顺时针方向旋转90°，作出旋转后的图案.
例2.如图8，在10×10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.（1）将△ABC绕点P旋转180°，得到△A′B′C′；(2)再作△A′B′C′绕点C′逆时针旋转90°，得到△A′′B′′C′′，请画出图形（不要求写画法）
练习2.如图9，方格纸中△ABC的三个顶点均在格点上，将△ABC向右平移5格到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°，得到△A2B2C2.在方格纸中画出△A1B1C1和△A2B2C2.（不要求写画法）
四.课堂小结
1.旋转简单图形作图的步骤：步骤一：确定旋转中心；步骤二：确定旋转角和旋转方向；步骤三：确定对应点；步骤四：画出旋转后的图形.
2.旋转的关键是找旋转中心和旋转角.
3.确定一个图形旋转后的位置，需要哪些条件？
(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角.
五.分层过关
1.如图10为旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为（ C）.
A、30 B、45 C、60 D、90
2.若点A的坐标为（6，3），O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（A）
A. （3，﹣6） B. （﹣3，6） C. （﹣3，﹣6） D. （3，6）
3.如图11，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD=82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转（C ）
A. 8° B. 10° C. 12° D. 18°
4.如图12，五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ C ）
A. 36° B. 60° C. 72° D. 90°
5.如图13所示，钟表的指针AOBC绕中心O沿顺时针方向旋转60°得到四边形DOEF，那么四边形DOEF绕中心O沿顺时针方向旋转300度才能得到四边形AOBC.
6.如图14，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于﹣1．
7.你能对图15中的甲图案进行适当的运动变化，使它与乙图案重合吗？写出你的操作过程？
解：先把甲“树”绕A点旋转，得到与地面垂直的图形，再作平移变换．
8.如图16，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.
（1)求证：EF=BC;
（2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
解：(1)∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置∴AC=AF.
∵∠CAF=∠BAE∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE∴∠EAF=∠CAB
在△EAF和△BAC中
AC=AF，∠EAF=∠CAB，AE=AB
∴△EAF≌△BAC（SAS）∴EF=BC
(2)∵AE=AB，∠ABC=65°∴∠AEB=∠ABC=65°
∴∠BAE=（180°-2×65°）=50°∴∠CAF=∠BAE=50°
∵△EAF≌△BAC（SAS）∴∠C=∠F=28°，∴∠FGC=∠F+∠CAF=28°+50°=78°
图1
画法：如图2
（1）连接OA，
(2）以OA为边逆时针方向画
∠AOA′=60°；点A′即为所求作.
图2
图5
图3
X
C
A
B
O
图4
图6
图9
A
C
B
C1
C2
B2
A1
B1
图8
图7
图10
图12
图11
图14
图13
图15
图16
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一.选择题：
1.在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图1所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失( )
A．顺时针旋转90°，向右平移 B．逆时针旋转90°，向右平移
C．顺时针旋转90°，向下平移 D．逆时针旋转90°，向下平移
2.如图2所示，把△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，若∠A＝25°，则∠CED等于（ ）
A. 55° B. 65° C. 45° D. 75°
3.下面图形(1)-(4)，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是( )
A. （1），（4） B. （1），（3） C. （1），（2） D. （3），（4）
4.如图3，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE=2，∠B=60°，则CD的长为（ ）
A. 0.5 B. 1.5 C. D. 1
5.如图4,△ABC和△ADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是( )
A.△ABC和△ADE B.△ABC和△ABD C.△ABD和△ACE D.△ACE和△ADE
二.填空题：
6.如图5,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(1,0),若点A的坐标为(a,b),将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA',则点A'的坐标是_________.
7.如图6，在△ABC中，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，连接DE，若∠DEC＝45°，则∠BAC的度数为____．
8.如图7，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC =90°，则∠A的度数是____．
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8,先将△ABC绕点B旋转90°，得到关于A的对应点D，则AD的长是________．
三.解答题：
10.如图8,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°),得到△MCN,连接AM,BN.求证:AM=BN.
11.如图9，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC是通过△A1B1C1旋转得到．
（1）在图中标出旋转中心点O；
（2）画出△ABC向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长
度得到的△A2B2C2．
12.如图10，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC,将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF，
求证：(1)EF=CF (2)AB=AF+BD
图3
图4
图2
图1
图7
图5
图6
图8
图9
图10
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(总课时26)§3.2图形的旋转(2)
一.选择题：
1.在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图1所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失( D )
A．顺时针旋转90°，向右平移 B．逆时针旋转90°，向右平移
C．顺时针旋转90°，向下平移 D．逆时针旋转90°，向下平移
2.如图2所示，把△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，若∠A＝25°，则∠CED等于（ B）
A. 55° B. 65° C. 45° D. 75°
3.下面图形(1)-(4)，绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的是( C )
A. （1），（4） B. （1），（3） C. （1），（2） D. （3），（4）
4.如图3，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE=2，∠B=60°，则CD的长为（D）
A. 0.5 B. 1.5 C. D. 1
5.如图4,△ABC和△ADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是( C )
A.△ABC和△ADE B.△ABC和△ABD C.△ABD和△ACE D.△ACE和△ADE
二.填空题：
6.如图5,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(1,0),若点A的坐标为(a,b),将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA',则点A'的坐标是(b+1,-a+1).
7.如图6，在△ABC中，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，连接DE，若∠DEC＝45°，则∠BAC的度数为 30° ．
8.如图7，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC =90°，则
∠A的度数是55°．
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8,先将△ABC绕点B旋转90°，得到关于A的对应点D，则AD的长是．
三.解答题：
10.如图8,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°),得到△MCN,连接AM,BN.求证:AM=BN.
证明:∵CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,∴CE=CF.
由旋转的性质得CM=CE=CN=CF,∠ACM=∠BCN=α,
在△AMC和△BNC中,
∴△AMC≌△BNC,∴AM=BN.
11.如图9，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC是通过△A1B1C1旋转得到．
（1）在图中标出旋转中心点O；
（2）画出△ABC向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长
度得到的△A2B2C2．
解：（1）如图，点O即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
12.如图10，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC,将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF，
求证：(1)EF=CF (2)AB=AF+BD
证明：∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF∴CE=CF，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形，∴EF=CF
(2)作DM∥AC交AB的延长线于M．∴∠M=∠CAE=∠ABC=∠DBM=60°，
∴△DBM是等边三角形，∴DM=BM=BD，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，
∵∠EBC=∠EDC+∠DEM=60°，∠ECB+∠ACE=60°，∴∠DEM=∠ACE，
∴△EDM≌△CAE，∴DM=AE，EM=AC=AB，∴AE=BM=BD，
∵BE=AF，∴AB=AE+BE=BD+AF．
图3
图4
图2
图1
图7
图5
图6
图8
图9
图10
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