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(总课时27)§3.3 中心对称
一.选择题：
1.点A（3，﹣1）关于原点的对称点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
2.下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆
4.下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是( )
A. B. C. D.
5.如图1，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
二.填空题：
6.若点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′在第四象限的取值范围是____________.
7.如图2,若四边形ABCD与四边形CEFG成中心对称,则它们的对称中心是____,点A的对称点是____,点E的对称点是______.BD∥___且BD=____.连接点A,F的线段经过____,且被C点____,△ABD≌____.
8.如图3，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是______．
9.如图4，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB=6，∠BAC=40°，则CD的长度为___，∠ACD的度数为______．
10.如图5所示,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论成立的是______.(填序号)
①点A与点A'关于点O对称;②BO=B'O;③AC∥A'C';④∠ABC=∠C'A'B'.
三.解答题：
11.如图6，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A,D1,D三点的坐标分别是（0,4），
（0，3），（0，2）.
(1)直接写出对称中心的坐标；______________________________
(2)求出顶点B,C,B1,C1的坐标.
12.如图7，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下：
（1）分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标．
（2）从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来．
（3）根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点
M（2a+5，1﹣3b）经过变换后，在△PRQ内的坐标称为
N（﹣3﹣a，﹣b+3），求关于x的方程的解．
13.下列3×3的网格图都是由9个相同的小正方形组成,每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影,请在余下的6个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影:
(1)请在图1中选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)请在图2中选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)请在图3中选取2个涂上阴影,使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
图1
图4
图3
图2
图5
图6
图7
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(总课时27)§3.3 中心对称
【学习目标】了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质.
【学习重难点】会作简单的中心对称图形，理解其性质并能应用.
【导学过程】
一.情境引入
猜一猜：如图1所示的4张扑克牌，当魔术师把任意一张牌旋转180 ；把旋转过的扑克牌贴到黑板上，得到的扑克牌如右图所示，请问哪一张牌被旋转过了？_______
二.探究新知
探究（一）：两个图形成中心对称
1.观察发现：如图2，左图是怎样的运动变化可以和右图重合？图3呢？
【定义】：在平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它的对称中心.
强调：“两个图形关于一个点对称”可以简称为“两个图形成中心对称”.
2.探究性质：如图4，如果△ABC与△A′B′C′关于O点成中心对称.
①分别连接对称点AA′，BB′，CC′,点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？
②△ABC与△A′B′C′有什么关系？
【性质】：
①中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心所平.
②中心对称的两个图形是全等图形
探究（二）：中心对称图形
1.观察下图，这些图形有什么共同特征？
【定义】：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
我们所学过的平面图形中，找出哪些是中心对称图形？并指出对称中心.
中心对称图形有：①_____，②____________，③________，④________，⑤____________，⑥____.
对称中心：①__________，②______________________，③___________________，
④__________________，⑤__________________________，⑥___________.
2.中心对称和中心对称图形有什么区别和联系？
区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系,中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
联系:如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.
如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形,则它们成中心对称.
3.轴对称图形和中心对称图形有什么区别？
轴对称图形 中心对称图形
都是一个图形具有的特征
至少有一条对称轴——____ 只有一个对称中心——____
沿对称轴____180O 绕对称中心____180O
翻折后对称轴两侧的图形互相____ 旋转前、后的图形互相____
三.典例与练习
例1.如图5，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形.
练习1.如图6，△ABC与△A′B′C′关于成中心对称，
下列结论中不成立的是为( )
A.OC=OC′ B.OA=OA′ C. BC=BC′ D. ∠ABC=∠A′B′C′
例2.已知：下列命题中真命题的个数是（ ）
①中心对称的两个图形不一定全等.②中心对称的两个图形是全等图形.
③两个全等的图形一定关于中心对称.A 0 B 1 C 2 D 3
四.课堂小结
1.中心对称与中心对称图形是相对而言的：
①把中心对称的两个图形看成一个整体，这个图形就是____________；
②把中心对称图形看成两部分，这两部分就是____________的两个图形.
2.轴对称图形与中心对称图形：①都是一个图形的特征，②对称轴（直线）与对称中心（点），
③翻折（180O）与旋转（180O）④操作前后都要重合.
五.分层过关
1.下列图形中，中心对称图形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图7，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
4.如图8所示，△ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，AB＝AC，△AEC绕点A旋转到△AFB的位置；∠FAD＝____，∠FBD＝____
5.如图9所示是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90，∠B=30，AC=2，则AB′的长为____
6.中心对称图形的旋转角是____．
7.已知：如图10，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
图1
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图2
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图4
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(总课时27)§3.3 中心对称
【学习目标】了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质.
【学习重难点】会作简单的中心对称图形，理解其性质并能应用.
【导学过程】
一.情境引入
猜一猜：如图1所示的4张扑克牌，当魔术师把任意一张牌旋转180 ；把旋转过的扑克牌贴到黑板上，得到的扑克牌如右图所示，请问哪一张牌被旋转过了？方块J
二.探究新知
探究（一）：两个图形成中心对称
1.观察发现：如图2，左图是怎样的运动变化可以和右图重合？图3呢？
【定义】：在平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它的对称中心.
强调：“两个图形关于一个点对称”可以简称为“两个图形成中心对称”.
2.探究性质：如图4，如果△ABC与△A′B′C′关于O点成中心对称.
①分别连接对称点AA′，BB′，CC′,点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？
②△ABC与△A′B′C′有什么关系？全等.
【性质】：
①中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心所平.
②中心对称的两个图形是全等图形
探究（二）：中心对称图形
1.观察下图，这些图形有什么共同特征？
【定义】：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
我们所学过的平面图形中，找出哪些是中心对称图形？并指出对称中心.
中心对称图形有：①线段，②平行四边形，③长方形，④正方形，⑤偶数边的正多边形，⑥圆.
对称中心：①线段：中点，②平行四边形：对角线交点，③长方形：对角线交点，
④正方形：对角线交点，⑤偶数边的正多边形：对角线交点，⑥圆：圆心.
2.中心对称和中心对称图形有什么区别和联系？
区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系,中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
联系:如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.
如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形,则它们成中心对称.
3.轴对称图形和中心对称图形有什么区别？
轴对称图形 中心对称图形
都是一个图形具有的特征
至少有一条对称轴——直线 只有一个对称中心——点
沿对称轴翻折180O 绕对称中心旋转180O
翻折后对称轴两侧的图形互相重合 旋转前、后的图形互相重合
三.典例与练习
例1.如图5，点O是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形.
解：连接BO并延长至B'使得OB'=OB;连接CO并延长至C'使得OC'=OC;
连接DO并延长至D'使得OD'=OD;顺次连接A,D',C',B',E.图形
AD'C'B'E就是以点O为对称中心、与五边形ABCDE成中心对称图形.
练习1.如图6，△ABC与△A′B′C′关于成中心对称，
下列结论中不成立的是为( D )
A.OC=OC′ B.OA=OA′ C. BC=BC′ D. ∠ABC=∠A′B′C′
例2.已知：下列命题中真命题的个数是（ B ）
①中心对称的两个图形不一定全等.②中心对称的两个图形是全等图形.
③两个全等的图形一定关于中心对称.A 0 B 1 C 2 D 3
四.课堂小结
1.中心对称与中心对称图形是相对而言的：
①把中心对称的两个图形看成一个整体，这个图形就是中心对称图形；
②把中心对称图形看成两部分，这两部分就是成中心对称的两个图形.
2.轴对称图形与中心对称图形：①都是一个图形的特征，②对称轴（直线）与对称中心（点），
③翻折（180O）与旋转（180O）④操作前后都要重合.
五.分层过关
1.下列图形中，中心对称图形有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
A. B. C. D.
3.如图7，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（A）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
4.如图8所示，△ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，AB＝AC，△AEC绕点A旋转到△AFB的位置；∠FAD＝60°，∠FBD＝60°
5.如图9所示是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90，∠B=30，AC=2，则AB′的长为4
6.中心对称图形的旋转角是180°．
7.已知：如图10，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
解：(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；
(2)∠F=∠MCD.理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，
∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，
设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM ∠PMF=α β，∠MCD=∠CDE ∠DMC=α β，
∴∠F=∠MCD.
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图8
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(总课时27)§3.3 中心对称
一.选择题：
1.点A（3，﹣1）关于原点的对称点A′的坐标是（ C ）
A．（﹣3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
2.下列四个图形中，是中心对称图形的是（D）
A. B. C. D.
3.下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（A ）
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆
4.下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是( A )
A. B. C. D.
5.如图1，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（A ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
二.填空题：
6.若点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′在第四象限的取值范围是 ﹣2＜m＜ ．
7.如图2,若四边形ABCD与四边形CEFG成中心对称,则它们的对称中心是点C,点A的对称点是点F,点E的对称点是点D.BD∥EG且BD=EG.连接点A,F的线段经过点C,且被C点平分,△ABD≌△FGE.
8.如图3，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是 ．
9.如图4，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB=6，∠BAC=40°，则CD的长度为6，∠ACD的度数为40°．
10.如图5所示,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论成立的是①②③.(填序号)
①点A与点A'关于点O对称;②BO=B'O;③AC∥A'C';④∠ABC=∠C'A'B'.
三.解答题：
11.如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A,D1,D三点的坐标分别是（0,4），
（0，3），（0，2）.
(1)直接写出对称中心的坐标；对称中心的坐标是（0，2.5）．
(2)求出顶点B,C,B1,C1的坐标.
解：（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2，
∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），
∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1），∴B1，C1坐标分别是（2，1），（2，3），
综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．
12.如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下：
（1）分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标．
（2）从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来．
（3）根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点
M（2a+5，1﹣3b）经过变换后，在△PRQ内的坐标称为
N（﹣3﹣a，﹣b+3），求关于x的方程的解．
解（1）点A的坐标为（4，3），点P的坐标为（﹣4，﹣3）；点B的坐标为（3，1），点Q的坐标为（﹣3，﹣1）；点C的坐标为（1，2），点R的坐标为（﹣1，﹣2）．
（2）△ABC与△PQR关于原点对称．
（3）由题意得，2a+5＝3+a，1﹣3b＝b﹣3，
解得：a＝﹣2，b＝1，则方程可化为：﹣＝1，解得：x＝
13.下列3×3的网格图都是由9个相同的小正方形组成,每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影,请在余下的6个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影:
(1)请在图1中选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)请在图2中选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)请在图3中选取2个涂上阴影,使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
图1
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图7
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