5.1.1任意角
一、教学目标
1.了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养．
2.理解角的加减运算以及相反角的概念．
3.掌握与角终边相同的角的表示方法．
二、教学重难点
1.将到范围的角扩充到任意角.
2.任意角概念的构建，用集合表示终边相同的角.
三、教学过程
1.呈现背景 提出问题
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性.例如：地球自转、地球于太阳公转，月亮圆缺、潮汐变化等，数学中的圆周运动也是一种常见的周期性变化现象.
问题1：如图，上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？
(
O
A
P
) (
P
) (
O
) (
A
)
【预设的答案】我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．在图中，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角，射线OA，OP分别是角的始边和终边，点P是终边OP与的交点．可以借助角的大小变化刻画点P的位置变化．
【设计意图】创设情境，以圆为载体研究周期性变化对理解角的扩充更有帮助．
由初中知识可知，射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到范围内的角．如果继续旋转，那么所得到的的角就超出这个范围了．所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围．
2.任意角的概念、运算及分类
现实生活中随处可见超出范围的角．例如,体操中有 “前空翻转体540度”,“后空翻转体720度”，齿轮的旋转等.
问题2：这些角有哪些不同，体现在哪几个方面？
【预设的答案】不同体现在旋转量和旋转方向.
【设计意图】引导学生从生活实际出发用数学的眼光分析问题，归纳刻画角的两个方面——旋转量和旋转方向．
很显然，角难以满足我们的需要，所以我们需要对角的概念进行推广.
2.1角的概念
类比实数的学习，我们对角的范围进行扩充：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．
2.2角的表示与作图
【数学情境】你能分别作出750°、210°、-150°、-660°吗？
【设计意图】再次强调决定一个角的要素是旋转方向和旋转量.
2.3角的运算
问题3：类比实数，思考下列问题：
（1）你认为相等的两个角应该怎样规定？
（2）两角相加又是怎样规定的？
（3）你知道什么是互为相反角吗？两角怎样相减？
【预设的答案】（1）旋转方向相同且旋转量相等.
（2）角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.
（3）类似于实数中的相反数我们引入相反角的概念．我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．类似于实数的相反数是，角的相反角记为．
类似实数减法中“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减去一个角等于加上这个角的相反角．即．
【设计意图】让学生尝试定义角的相等和加减法，体会定义的合理性．
2.4象限角
角的范围扩充后，为了讨论的方便，我们通常在直角坐标系中研究角.角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
问题4：根据终边位置的不同，可以把角分为哪几类？
【预设的答案】根据角的终边所在象限，将角分为第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角．
【设计意图】让学生体会在直角坐标系中研究角是自然和合理的．
这样我们得到了象限角的概念：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，也称为轴线角.
问题5：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？
【预设的答案】因为锐角是指大于且小于的角，所以锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角．
【设计意图】让学生明确“锐角”“第一象限角”之间的关系，避免混淆．
2.5终边相同的角
问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与角终边重合的角还有哪些？有多少个？
【预设的答案】328°，688°，－392°，－752°；无数个
追问：它们与角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？
【预设的答案】相差360°的整数倍，可以用表示．
追问：将推广到一般角，结论应该是什么？
【预设的答案】.
【设计意图】通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论，符合学生由特殊到一般的认知规律，并且培养了学生的数学抽象素养．
一般地，我们有：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
3.典例分析
例1 在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
（1）－120 ；（2）640 ；（3）－950 12′.
【预设的答案】（1）与－120 终边相同的角为240 ，它是第三象限角.
（2）与640 终边相同的角为280 ，它是第四象限角.
（3）与－950 12′终边相同的角为129 48'，它是第二象限角.
【设计意图】利用终边相同的角判定其象限，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础．
例2 写出终边在轴上的角的集合．
【预设的答案】终边落在y轴非负半轴上的角构成集合：
，
终边落在y轴非正半轴上的角构成集合
，
观察发现，中的角均相差的整数倍，用集合表示是
．
另外，我们还可以用这种方式求出：
．
【设计意图】引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式．
例3写出终边在直线上的角的集合．中满足不等式的元素有哪些？
【预设的答案】在范围内，终边在直线上的角有两个：，．
(
x
y
O
)因此，终边在直线上的角的集合
．
中适合不等式的元素有
，，，
，，．
【设计意图】巩固终边相同的角的表示．
4.归纳小结
四、课外作业
1．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
（1）420°； （2）-75°； （3）855°； （4）-510°．
2．写出终边与-225°终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素．5.1.2《弧度制》教学设计
一、教材分析
本节内容为学生学习三角函数的基础概念课，前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.
二、课程目标
1.了解弧度制,明确1弧度的含义.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.
三、教学重难点
重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；
难点：弧度制概念的理解．
四、教学过程
1．度量角的两种单位制
(1)回顾角度制
①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的．
(2)定义弧度制
①定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
(
零
) (
负数
) (
正数
)
3.角度制与弧度制的转算
（1）例1：（1） 把 67°30′化成弧度．
（2）例2．一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 度 0 π 2π
（3）例3．利用弧度制证明扇形的面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：
(1)弧长公式：l＝．
(2)扇形面积公式：S＝＝．5．2．2同角三角函数的基本关系
一、内容和内容解析
1．内容
同角三角函数的基本关系及其应用．
2．内容解析
本节课要学的内容同角三角函数的关系，指的是正弦、余弦、正切函数三者之间的关系．本单元前面学生已经学过三角函数的定义并从定义出发发现了三角函数值的符号规律，此外还从终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一，本节课同角三角函数的关系就是在此基础上的发展．由于本节课的内容还与后面的诱导公式有重要的联系，在三角函数的学习中占有重要地位，对于后面的内容有着基础性的作用，是本章的重点内容．
同角三角函数的基本关系是在前面三角函数概念的基础上学习的，是对三角函数的复习巩固，又是后续内容如诱导公式、两角和差公式推导的基础，所以起到承上启下的作用，并且应用也比较广泛，因此是一节非常重要的课，应使学生熟练掌握．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：同角三角函数的基本关系式和．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）理解同角三角函数的基本关系式，，体会三角函数的内在联系性．
（2）通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．
2．目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生能利用三角函数定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．
（2）能运用同角三角函数的基本关系进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．
教学问题诊断分析
本节课学生可能遇到的问题是在同角三角函数的基本关系式变形中有点难度，产生这一问题的原因学生没有考虑角的符号问题，要解决这一问题教师就要借助平面直角坐标系，分析角所在的象限，关键是理解角在每个象限上的符号．
本节课的学习难点是对三角函数内在联系性的认识．出现这个难点的主要原因在于三角函
数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数的学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强．为此，教学中应在思想方法上加强引导．例如，可以通过问题“对于给定的角，点是的终边与单位圆的交点，而则是点的纵坐标与橫坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系．你能从定义出发，研究一下它们有怎样的联系吗”引导学生探究同角三角函数的基本关系．
四、教学支持条件分析
在本节课同角三角函数的基本关系的教学中，准备使用板书教学．因为使用板书教学，有利于培养学生的动手能力、活跃学生思维．
教学过程设计
（一）同角三角函数的基本关系
导入语：此前我们学习了三角函数的定义，并从定义出发发现了三角函数值的符号规律，我们还从终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一．公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？
师生活动：教师引导学生讨论，利用公式一先把问题转化为“同一个角的三个三角函数之间的关系”；然后让学生自主探究，得出同角三角函数的基本关系式：，．这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角的正切．
设计意图：“终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键思想；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力．借助单位圆上点的坐标的意义，由三角函数定义可以直接得出“同角三角函数的基本关系”．
（二）同角三角函数的基本关系的应用
例1已知，求，的值．
变式：已知，为第三象限角，求，的值.
师生活动：学生思考后给出解答．对于本例在学生给出答案后，应该要求学生总结解题步骤，明确这类题目应该先根据条件判断角所在的象限，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系求解．在此基础上，可以让学生归纳用同角三角函数的基本关系求值的问题类型．
设计意图：进一步加强学生对三角函数值在各象限的符号的认识以及对同角三角函数的基本关系的理解．
例2化简：
；（2）； （3） ．
设计意图：考査学生利用同角三角函数的基本关系进行简单的三角恒等变换的能力．
例3 求证．
师生活动：学生可能根据此前用到的分析法进行证明，也可以用综合法直接给出证明，教师板书证明过程．
设计意图：本例实际上是的变形，采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导，可以要求学生至少给出两种证明方法．
例4已知，求的值．
变式：已知，求的值．
师生活动：学生经过思考给出思路，可以利用同角三角函数的基本关系由和解出和的值，但是由于无法确定所在象限，因此无法判断和的正负，若要求出代数式的值，需要进行分类讨论．教师在肯定了这个思路后进行追问．
追问：有没有其它的方法可以避免谈论和的符号，直接用到已知的取值来求出分式的值呢？
师生活动：学生经过思考回答，可以利用将代数式中和转化为和常数．教师给予肯定并指出所求分式的结构特点，可利用“齐次式”的特征对此类分式进行化简后求值．
设计意图：通过本例了解“齐次式”的结构特点，并能利用特定的方法进行化简．通过以上几道例题加深了学生对三角函数基本性质的理解，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养．
（三）课时小结
教师引导学生回顾本课时的内容，并回答下面的问题：
（1）同角三角函数的基本关系是什么？
（2）在利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值及证明时要注意哪些问题？
（3）结合前一课时内容，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数的性质的？
师生活动：学生思考后给出解答．
（1）同角三角函数的基本关系式：，．
（2）在三角求值时，应注意：①注意角所在象限；②一般涉及到开方运算时要分类讨论．在化简时，应注意化简结果：①涉及的三角函数名称要相对较少；②表达形式较简单．证明恒等式时常用以下方法：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边等于同一个式子；③分析法，寻找等式成立的条件．证明的指向一般是“由繁到简”．
（3）借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一和同角三角函数的基本关系．
设计意图：引导学生回顾总结本课时的学习内容和学习方法．在小结中，要注意引导学生体会研究和发现三角函数性质的过程，为后续诱导公式二～五的学习做好铺垫．5.3.2诱导公式五、六
一、内容和内容解析
1.内容
诱导公式五、六．
2.内容解析
本节课的教学内容是三角函数的诱导公式中的公式五和公式六，是三角函数的主要性质．前面学生已经学习了诱导公式一到四，在此基础上继续学习公式五和公式六，其推导过程中涉及到对称变换，充分体现对称变换思想在数学中的应用．三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于直线，y轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体．诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用．
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°到90°角的三角函数值．诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用．
本节课的重点是诱导公式的探究，即利用三角函数的定义借助单位圆，通过寻找角的终边的对称性与角终边与单位圆交点的对称性，发现并推导出诱导公式，从而提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．
（2）通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式．
（2）会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简．
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一到四，这些内容是学生理解、归纳公式五和公式六的基础．“探究2”与“探究1”相比，采用的研究方法一样，不同之处在于对称轴变为直线，增加了推导的难度，体现在以下两个方面：
第一，终边关于直线对称的两个角之间的关系．角的终边与角的终边关于直线对称，那么，这个结论需要分多种情况，穷举证明．
第二，直角坐标系中关于直线对称的两个点的坐标之间的关系．
点与点关于直线对称，那么，．这个结论，需要学生证明之后才能应用．由于角是任取的，根据其终边位置分类，至少要对8种情况进行证明，其严谨简洁的证明需要在解析几何中完成，简单易证．教学时，按照教科书的处理方式，针对图5.3-5进行论证，并结合图形作直观分析即可．
“探究3”与前面两个探究相比，采用的研究方法一样，对称轴是y轴，其推导简单易行，不同之处在于，教科书选择了点，而不是点，学生可能会感到突然．事实上，可以引导学生进行更进一步的探索，探究1和探究2中对作了一次对称变换，对于探究3可以通过对作两次变换解决．通过对比发现，探究3所用的方法，体现了数学的简洁美．
四、教学支持条件分析
本节课的教学重点是利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明，因此可以借助于信息技术解决以上问题，以让学生有更多的时间用于观察与发现圆的对称性与三角函数之间的关系，缩减认识、理解诱导公式的时间．
五、教学过程设计
引导语：在前面，我们利用圆的对称性，研究了得到了三角函数的公式二到公式四．这节课，我们将继续研究三角函数的对称性．
（一）公式五
探究2：在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交点，作点关于直线对称点，
（1）以为终边的角与角有什么关系？
（2）与的坐标之间有什么关系？你能证明吗？
（3）角与角的三角函数值之间有什么关系？
师生活动：给出问题后，学生先独立思考，然后教师使用信息技术进行演示并讲解．
（1）以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
（2）如果在第一象限，如图，其关于对称的点，过作轴，过作轴，
则有，
，，
所以，
所以，，
即，．
同理可以证明的其他情况．
（3）根据三角函数的定义，得
，，
所以，（公式五）．
设计意图：“探究2”与第一课时的“探究1”一脉相承，研究方法相同，不同之处在于对称轴变为直线，增加了推导的难度．将难点细化为问题串，引导学生逐个攻破，经历推导公式的过程，培养了学生的化归思想．
（二）公式六
探究3：作关于y轴的对称点，又能得到什么结论？
（1）以为终边的角与角有什么关系？
（2）角的终边与角的终边具有怎样的关系？
（3）与的坐标之间有什么关系？
（4）角与角的三角函数值之间有什么关系？与角的三角函数值之间又有什么关系？
师生活动：给出问题后，学生先独立思考，然后教师使用信息技术进行演示并讲解．
（1）以为终边的角都是与角终边相同的角，即．只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
（2）旋转角度：角的终边逆时针旋转角，就得到角的终边．
轴对称角度：角的终边首先关于直线作对称，再关于y轴作对称，就得到的终边；或者角的终边首先关于x轴作对称，再关于直线作对称，也可以得到的终边．即为得到，对需作两次对称变换，而对只需要作一次对称变换，体现了数学的简洁美，我们可以以为桥梁，探究角与角之间的关系．
（3）通过观察易得：，．
（4）由于，，
所以，，
因此，（公式六）．
设计意图：“探究3”与前面两个探究相比，采用的研究方法一样，对称轴是y轴，其推导简单易行，这里选择了对点作对称，而不是点，通过引导学生进行更进一步的探索，探究1和探究2中对作了一次对称变换，对于探究3可以通过对作两次变换解决．通过对比发现，探究3所用的方法，感受数学的简洁美．
公式五、六可以概括如下：的正弦（余弦）函数值，等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．
（三）公式一～公式六总结
公式一～公式六可以总结为：
的三角函数值，
（1）当为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
（2）当为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号．
可以概括为：“奇变偶不变，符号看象限，象限怎么判，锐角看”：
例如，将写成因为1是奇数，则余弦函数符号“”变为正弦函数符号“”，又将看作第一象限角时，是第二象限角，符号为“”，故有．
（四）求任意角的三角函数值的步骤
求任意角的三角函数值的步骤可以完善如下图：
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～公式六都叫做诱导公式．利用诱导公式可以进行简单的证明、化简和求值．
例1证明：
（1）；
（2）．
证明：（1）；
（2）．
例2化简
．
解：原式
．
例3已知，且，求的值．
分析：联系条件与结论，注意到，由此可利用诱导公式解决问题．
解：因为，所以由诱导公式五，得
因为，
所以．
由，得．
所以，
所以．
设计意图：三道例题，分别是证明、化简、求值．在三道例题的求解过程中，进一步巩固和完善了教科书中的流程图．例5的分析旨在引导学生形成代数问题的程序化思维，体现了转化的数学思想方法，通过例题形成解决一类问题的思维方法．
练用诱导公式求下列三角函数值．
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）；
（2）；
（3）．
练证明：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
证明：（1；
（2）方法一：
；
方法二：
（3）；
（4）．
练化简：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
练求值：已知，且，求和的值．
解：因为，，
所以，
，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
．
（五）课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容．
师生活动：引导学生完成本节课的梳理．
设计意图：引导学生从诱导公式到归纳口诀，加深学生对诱导公式的理解，回顾求任意角的三角函数值的步骤，加强诱导公式的应用．
（六）布置作业
教材194页——习题5.3
1．复习巩固1，2，3，4．
2．综合应用8．
六、目标检测设计
1．．
2．已知是第四象限角，且，则．
设计意图：第1题主要考查学生对诱导公式的理解程度，以及运算求解能力；第2题主要考查学生对三角函数符号、诱导公式和同角三角函数关系的理解程度，以及化归与转化的思想和运算求解的能力．5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
一、教学目标
课程目标 学科素养
1.理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余 弦函数的图象的方法。 2.利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx, x∈R的图象，明确函数的图象；根据关系cosx=sin(x+π／2)作出y=cosx,x∈R的图象。渗透数形结合和化归的数学思想。 3.通过作正弦函数与余弦函数的图象，培养认 真负责，一丝不苟的学习精神和勇于探索，勤于思考的科学素养。 a.数学抽象：由五点作图法； b.逻辑推理：由正弦函数图像得出余弦函数图像； c.数学运算：特殊三角函数的求解； d.直观想象：运用函数图像分析问题； e.数学建模：正弦函数图像及其变换；
二、教学重难点
1. 教学重点：理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。
2. 教学难点：理解作余弦函数的图象的方法。
三、教学过程
（一）规划研究方案，形成研究思路
问题1：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？
追问：（1）研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？
（2）绘制一个新函数图象的基本方法是什么？
（3）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？
师生活动：教师提出问题，学生回忆函数研究的路线图，师生共同交流、规划，完善方案预设的答案如下．
研究的线路图：函数的定义—函数的图象—函数的性质．
绘制一个新函数图象的基本方法是描点法．
对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一：表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数，的图象，再画正弦函数，的图象．
【设计意图】规划研究方案，构建本课时的研究路径，以便从整体上掌握整个课时的学习进程，形成整体观念．
（二）正弦函数的图象
问题2：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正弦函数，在上任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并画出点？
追问（1）：根据正弦函数的定义思考，一个点的横坐标在单位圆上表示哪个几何量？的几何意义又是什么？
师生活动：教师引导学生，根据定义分析确定，对应的几何量．
追问（2）：根据上述分析，如何具体地作出点？
师生活动：学生思考后，通过提前准备的工具尝试绘制这个点．
具体的操作：方法1:“手工细线缠绕”法．
方法2:利用信息技术．
【设计意图】教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解．通过分析点的坐标的几何意义，准确描点．
问题3：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，类比指数函数、对数函数图象的画法，接下来，如何画出函数，的图象？你能想到什么办法？
师生活动：学生给出设想，选择一种或者多种适合的方法实施．
预设的答案：
方案1：在区间内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．
方案2：为方便操作，可以在区间内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．
追问：这两种绘制方法的异同是什么？（两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件下，用方案2比较可行）．
师生活动：学生用方案2绘制函数图象，教师借助信息技术，用方案1绘制函数图象．
【设计意图】确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷．
问题4：根据函数，的图象，你能想象正弦函数，的图象吗？依据是什么？画出该函数的图象．
师生活动：学生画图，教师予以指导．
预设的答案：根据公式一，可知函数，，且的图象与，的图象形状完全一致．因此将函数，的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象，如图2所示．
图2
教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
【设计意图】绘制函数，的图象，并培养说理的习惯．
问题5：如何画出函数，图象的简图？
追问：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
师生活动：教师提出问题，引导学生观察图2，并说出他们的想法．
预设的答案：观察图2，在函数，的图象上，五个点，，，，在确定图象形状时起关键作用．因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称为“五点法”
【设计意图】观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法．
（三）余弦函数的图象
问题6：如何画出余弦函数的图象？
师生活动：学生可能会类比正弦函数图象的画法，提出用类似的方法画余弦函数的图象，对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题．
追问（1）：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数．诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化．相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象？
师生活动：学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据，教师引导学生通过比较进行选择．从数的角度看，可以选择关系．记，则．因此函数的图象，可以看作将函数的图象上的点向左平移个单位得到．
追问（2）：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？
师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范．教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析，得到图象之后还可以再利用图象进行验证．
预设的答案：设是函数图象上任意一点，则有．
令，则，即在函数图象上有对应点．
比较两个点：与．因为，即．
所以点可以看做是点向左平移个单位得到的，只要将函数图象上的点向左平移个单位可得到函数的图象，如图3所示：
图3
教师指出，余弦函数，的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线．
【设计意图】利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两个函数图象之间的联系性的认识．
问题7：类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何作出余弦函数的简图？
追问：余弦函数在区间上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下表，然后作出，的简图．
x
【设计意图】观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”．
（四）例题
例1画出下列函数的简图：
（1），；
（2），．
师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答．
解：（1）按五个关键点列表：
x 0
0 1 0 1 0
1 2 1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图4）：
图4
（2）按五个关键点列表：
x 0
1 0 1 0 1
1 0 1 0 1
图5
【设计意图】巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能．通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫．
练1：在同一直角坐标系中，画出函数
，
，
的图象．通过观察两条曲线，说明他们的异同．
解：可以用“五点法”画出它们的图象，还可以用信息技术画出它们的图象．两条曲线形状相同，位置不同，例如函数，的图象，可以通过函数，的图象向右平行移动个单位长度而得到．
练2：用五点法分别画下列函数在上的图象：
（1）；（2）．
解：（1）按五个关键点列表：
x 0
1 0 1 0
0 1 0 1 0
图6
（2）按五个关键点列表：
x 0
1 0 1 0 1
3 2 1 2
7
练3：函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（ ）．
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 （E）4个
分析：先画出函数，的图象，分情况讨论取不同范围的值时，交点个数的情况．
解：画出函数，的图象，如下图．
结合图象，讨论取不同范围的值时，交点个数的情况：（结合动图）
当或时，与图象无交点；
当或时，与图象有1个交点；
当时，与图象有2个交点．所以，选ABC．
（五）课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容，回答下面的问题：
（1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？
（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？余弦函数呢？
【设计意图】通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数
（六）布置作业
教科书第213页——习题5.4第1题．
【设计意图】考查学生对正弦函数、余弦函数图象的基本特征的掌握程度，是否会利用“五点法”作图．
目标检测设计
教科书第200页练习第2题．
【设计意图】考查学生对正弦函数、余弦函数图象的基本特征的掌握程度，是否会利用“五点法”作图．
教学反思
一、内容和内容解析
1.内容
正弦函数、余弦函数的图象，包括正弦函数、余弦函数图象的画法．
2.内容解析
正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，作为函数的下位知识，对于它们的研究基本遵从函数图象与性质的研究思路，可以类比、对比指数函数、对数函数等展开研究：
绘制函数图象—观察图象、发现性质—证明性质．
首先是关于正弦函数的图象，绘制一个新函数图象的基本方法是描点法，如果能多描出一些点，那么就可以使绘制的图象更精确．但是正弦函数在内，如何实现绘制的精确度呢？这是先要解决的问题．
为此，先解决精准绘制某一个点，的问题，此处关键是要理解横坐标的意义，其本质在于对三角函数定义的理解：根据正弦函数的定义可知，在单位圆中，点的横坐标的本质是以为始边，以为终边的角，因此，，如图1所示．过点作x轴，垂足为，则线段的长即为，于是对于任意一个横坐标，其纵坐标可以用几何方法精准描出．
(
C
)
图1
精准绘制一个点的问题解决之后，即可用相同的方法描出其他的点，进而描出正弦函数在一个周期内的图象，并通过平移描出正弦函数的图象．这个过程充分体现了从特殊到一般的研究方法．
在此基础上，通过平移变换，画出余弦函数图象．
基于以上分析，确定本课时的教学重点：正弦函数、余弦函数的图象．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图象的“五点法”．
（2）经历绘制余弦函数图象的过程，理解其中运用的图象变换的思想．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点，再绘制正弦函数在一个周期内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；能说出正弦函数图象的特点，并能用五点法绘制正弦函数的图象．
（2）学生能用图象变换的方法，由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象，并能就一个具体的点清晰地解释图象的变换方式及原因：能用“五点法”绘制余弦函数的图象．
三、教学问题诊断分析
学生之前拥有丰富的绘制函数图象的经验，但是利用定义的几何意义绘制函数图象是第一次，因此在思维习惯上存在障碍，教学时要给予充分的引导，特别强调要准确地绘制出两函数的图象这一要求，让学生感受到这种做法的困难，然后从三角函数的定义上分析点的坐标的几何意义，让学生真正理解．
绘制函数任意一点的操作存在困难．为此，可以先选定一个点的横坐标，然后用“手工细线缠绕”的方法找到弧：找一根没有弹性的细线，在x轴上量出横坐标的长度，然后将长度为的细线以为起点沿逆时针方向缠绕在单位圆上，细线的末端就是，于是图象上的点随之确定．
本课时的教学难点是：掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象．
四、教学支持条件分析
绘制正弦函数图象的关键是准确地绘制图象上的一个点，为此可让学生用“手工细线缠绕”的方法，使用自制教具完成．也可以利用信息技术完成．
后续让学生描出其他的点，并连线描出正弦函数在一个周期内的图象时，同样可以利用信息技术完成．
的理解．5.4.3正切函数的图像与性质
一、教学目标
1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。
2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。
3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。
二、教学重难点
1.教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性
2.教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。
教学过程
1.创设情境，引发思考
【类比联想情境】三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.
【预设的答案】取点作图法，单位圆法，计算机演算法。
【设计意图】创设数学情境，让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
2.提出问题，引发思考，小组讨论
【活动预设】阅读课本《正切函数》该小节的内容，思考并完成以下问题
1. 正切函数图像是怎样的？
2. 类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性
质？
【预设的答案】取点作图法；定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性
【设计意图】学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
3.新知探究，教师讲授
1.1正切函数，且图象：
1.2.观察正切曲线，回答正切函数的性质：
定义域：
值域：R（-∞，+∞）
最值： 无最值
渐近线：
周期性：最小正周期是
奇偶性: 奇函数
单调性：增区间
图像特征：无对称轴，对称中心：
【设计意图】在学生进行小组讨论之后，教师引导学生去探究出新的知识内容。
4.初步应用，理解概念
例1函数的周期为多少？一般地，函数的周期是什么？
【预设的答案】
【设计意图】会求正切函数的周期
例2 比较下列两组数的大小：
（2）
【预设的答案】（1）<（2）<
【设计意图】比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
例3 求满足下列条件的x的取值范围.
（1）
（2）
（3）
【预设的答案】（1）
（2）
（3）
【设计意图】利用函数图像，已知值域求定义域
例4 （1）求函数的周期、定义域、单调区间；
（2）解不等式：
【预设的答案】（1）周期；定义域；
单调增区间：
（2）
【设计意图】解题技巧：（求单调区间的步骤）
用“基本函数法”求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤：
第一步：写出基本函数y＝tan x的相应单调区间、定义域及对称中心；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；
第三步：解关于x的不等式．
例5 求下列函数的值域
（1）
（2）
（3）
（4）
【预设的答案】（1）[-2,1] (2)（3）(-1,0] (4)
【设计意图】利用单调性，换元法求值域
5.归纳小结，文化渗透
思考：对于，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？
1.画正切曲线掌握“三点描图法”（哪三点？）.
2.正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且关于点 对称,正切函数的性质应结合图象去理解和记忆.
3.研究正切函数问题时,一般先考察函数在区间的情形, 再拓展到整个定义域.
4.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是确定图象形状、位置的关键要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲线.
【设计意图】
（1）梳理本节课对于正切函数的认知；
（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .5.4三角函数的图象和性质（复习课）
一、教学目标
1.能画出三角函数的图象；
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值、对称性；
3.理解研究三角函数图象与性质的一般思想和方法；
4.培养数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等素养.
二、教学重难点
1.重点：正弦、余弦、正切函数图象及其主要性质（周期性、奇偶性、单调性、最值或值域、对称性）；研究函数图象与性质的一般思路和方法．
2.难点：复合函数的图象及其性质；根据函数的性质求参数问题．
三、教学过程
1.知识梳理
1.1用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数的图象中，五个关键点是：，，，，．
（2）在余弦函数的图象中，五个关键点是：，，，，．
1.2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间
最大值
最小值
对称中心
对称轴方程
【周期结论】
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻两个对称中心的距离也是半个周期．
2．为常数，：
（1）或周期为；（2）周期为．
2.探究典例
例1.求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）；（4）．
思考：将（4）换成、，定义域又是多少？
【预设答案】
（1）由题意知，，，函数的定义域为.
（2）要使函数有意义，必须使.在同一坐标系中画出上和的图象，如图所示：
在内，满足时或，结合正弦、余弦函数的周期是，所以原函数的定义域为.
（3）函数的解析式为，，所以原函数的定义域为且.
（4）由题意得，又由前面的知识可知将函数在轴下方的图象翻折到轴上方，并去掉轴原下方图象保留原上方图象，就得到了函数的图象，的图象如下图所示：
周期是，在内，时或，所以函数的定义域为.
【设计意图】求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），通常是借助三角函数图象来求解.
【思考题预设答案】
对于，得，结合的图象：
周期是，在内，时或，所以原函数的定义域为
.
对于，得，结合的图象：
周期是，在内，时或，所以定义域为或.
【设计意图】帮助学生复习翻折变化下三角函数的图象和性质.对于函数仍是周期函数，而函数、不是周期函数，他们的图象如下图所示：
例2.已知求下列函数的值域：
（1）；
（2）．
【预设答案】
（1）根据余弦函数图象知当时，单调递增，当时单调递减，所以当时，，当时，，所以原函数值域为．
（2）函数的解析式为，由（1）得，所以当时，，当时，，所以原函数值域为．
【设计意图】本题涉及的三角函数求值域的方法有①利用、的图象性质直接求解；②通过换元，转换为二次函数的形式求值域.
例3.比较下列各数的大小：
（1），，；
（2），，，.
【预设答案】
（1）由，且，结合正弦函数图象知；
（2）由前面三角函数的几何意义可得当时，，所以，又，，因此.
【设计意图】利用三角函数单调性比较大小；并总结三个三角函数图象在同一坐标系中的关系如下图所示：
例4.对于函数回答下列问题：
（1）采用“五点法”如何作出的图象？
（2）求解的最值、单调区间、对称轴方程、对称中心；并判断函数的奇偶性．
【预设答案】
（1）由函数的周期性可知仍是周期函数，令，，由“五点法”令、、、、，得到下表：
得到的大致图象：
（2）法一：由（1）中图象可知，当时，，当时，;单调递增区间为,单调递减区间为；函数对称轴方程为；对称中心坐标为;图象不关于原点对称，也不关于轴对称，是非奇非偶函数.
法二：令，，当，即时，
，当，即时，；
当，即，即
时，单调递增；当，即，即时，单调递减，因此函数单调递增区间为,单调递减区间为；
函数对称轴方程为，即；令
，得，所以函数对称中心坐标为；
【设计意图】图象是函数的直观表示，也是函数性质的集中体现.学生掌握如何作图能帮助其有效解题.五点法作图时应该选取怎样的五个点是关键：抓住一个周期内的最高（低）点、图象与平衡位置的交点就能反映图象的走势.复合函数的最值、单调区间、对称轴、对称中心有两种方法：①利用复合函数图象求解；②通过换元法整体代换，将看作一个整体，转化为利用三角函数的性质求解，选用哪种方法应根据实际情况灵活运用.对于、处理方法也一样.另外本题设置函数，也为后面学习函数图象的平移和伸缩变化做好铺垫．
变式1：求函数的单调递减区间.
【预设答案】
法一：令，得，得，所以原函数单调递减区间为.
法二：，令，得，得，所以原函数单调递减区间为.
【设计意图】
利用复合函数单调性的“同增异减”原则求函数的单调性.令，将函数转化为，若和都单调递增或都单调递减，则原函数单调递增；若和一增一减，则原函数单调递减.
变式2：求函数在区间上的单调递减区间.
【预设答案】令，得，原函数单调递减，又，所以当或时原函数区间上的单调递减区间和.
【设计意图】函数在定区间上求单调递减（增）区间，可以求出原函数在上的所有单调减（增）区间，再与定区间求交集.
变式3：求函数在区间上的最值.
【预设答案】令，原函数转化为，又，所以，又根据图象可知，当，单调递减；当，单调递增，所以当，即时，；当，即时，.
【设计意图】复合函数在定区间上求最值问题，分三个步骤：第一步，令，将函数转化为，第二步，根据的范围求出的范围，第三步，根据的图象单调性得出的最值.
变式4：求函数零点的个数.
【预设答案】函数零点的个数等价为函数与函数交点的个数.当时，，而，做出函数与函数的大致图象：
图象交点个数为5个，因此函数零点有5个.
【设计意图】函数零点个数等价转化为两个函数图象交点的个数，帮助学生利用数形结合思想解决三角函数中的零点问题.
变式5：已知函数的图象关于轴对称，且，求的值.
【预设答案】由函数的图象关于轴对称可知是函数的对称轴，所以，又，因此.
【设计意图】
函数为偶函数的充要条件是，为奇函数的充要条件是；函数为偶函数的充要条件是；为奇函数的充要条件是．
变式6：已知函数在区间上单调递增，求的取值范围.
【预设答案】
由题意，得，再令，原函数转化为在单调递增，所以，即，得，得，因此.
【设计意图】已知函数的单调性求参数的取值范围.
变式7：已知函数在区间上有最大值无最小值，求的取值范围.
【预设答案】由题意，得，再令，原函数转化为在上有最大值无最小值，所以，所以，得或，因此或.
【设计意图】已知函数的最值求参数的取值范围.
变式8：已知函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.
【预设答案】由题意，得，再令，原函数转化为在上恰有一个零点，所以，得，得或或，因此或或.
【设计意图】已知函数的零点求参数的取值范围.
3.归纳小结
思考：本节课我们回顾了哪些知识？用到了那些研究方法和数学思想？
【预设答案】知识：三角函数是刻画周期的现象的的重要模型，图象是周期现象的直观体现，性质是周期变化的规律的代数表现.我们通过图象直观了解三角函数的性质,包括定义域、值域、周期性、单调性、最值、对称性、零点等；
思想方法：划归与转化、模型思想、数形结合等；
【设计意图】
（1）让学生学会自主梳理本节课的学习内容、解题方法、数学思想；
（2）鼓励学生不怕困难，积极攀登知识高峰.
四、课外作业
（1）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值 为.
（2）若函数在区间的最大值为，求的最小值.
（3）已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则.
（4）函数的所有零点之和为.
（5）关于函数有下述四个结论：
①是偶数；
②在区间内单调递增；
③在上有个零点；
④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是.
【预设答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）①④.
【设计意图】
（1）利用正弦余弦三角函数图象及其性质求最值有如下结论：①在对称轴处函数取最值；②两个相邻的最值点的横坐标之间的距离为半个周期；③若，则为函数的对称轴.而复合函数求最值（值域），则利用换元的方法转化为三角函数求解.
（2）函数的零点转化为两个函数图象的交点问题，利用函数的对称性可以迎刃而解.
（3）带绝对值符号的函数，解题原则是去绝对值符号，变成分段函数的结构分类讨论.5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第3课时）
一、教学目标
1.经历从和角公式推导二倍角公式的过程，体会公式各个公式间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，发展学生逻辑推理素养．
2.掌握并运用二倍角公式，及其变形形式，，能正确运用二倍角公式进行证明、化简、求值；通过综合运用公式，掌握思想方法，来发展学生逻辑推理能力、分析问题，解决问题能力、数学运算素养．
二、教学重难点
1.二倍角公式的推导及灵活运用.
2. 二倍角的相对性.
三、教学过程
1.复习回顾
活动：让学生默写两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并请同学回想并回答公式的推导过程以及描述几个公式之间的联系。
【活动预设】学生大体能正确默写六个公式，对于公式的推理及六个公式之间的联系可能需要老师引导回顾。
2.新知探究
问题1：你能利用推导出的公式吗？你能用不同的方法推出这些公式吗？
【活动预设】学生独立进行推导，教师巡视并收集学生的不同证法，或请学生将不同的证法列举在黑板上．
【预设的答案】这里不同的证法主要体现在两个方面：一是推导的依据具有多样性，例如可以将中替换为推得，也可以由中的替换为，而推导公式时，可以从出发，也可以由合作推出；二是推导的顺序具有多样性，学生可以自行设计三个二倍角公式的证明顺序，由于推导其中最后一个公式时可以借助已推出的两个公式，因此不同的顺序可能会导致最后一步有所差异．
．
三个公式分别简记为，，．
【设计意图】给学生一定的自由度，由学生自己制定计划，并完成二倍角公式的证明．
问题2：如果要求二倍角的余弦公式()中仅含的正弦或仅含余弦，那么你能得到怎样的结论？
【活动预设】学生独立进行推导．
【预设的答案】，．
【设计意图】引导学生发现公式的两种变形形式，为下一课时半角公式做好铺垫．
教师讲授：以上五个公式都叫做二倍角公式，或倍角公式．倍角公式给出了任意角的三角函数与的三角函数之间的关系．这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．此外，这里的“倍角”是一种相对的概念.不仅“”是“”的二倍角，而且 “”是“”的二倍角， “”是“”的二倍角， “”是“”的二倍角.
问题3：从和角公式、差角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式之间存在紧密的逻辑联系，你能设计一张结构图描述它们之间的推出关系吗？
【活动预设】学生进行归纳整理，作出结构图，然后小组交流，最后教师挑选一到两组学生面向全班交流展示.
【预设的答案】
以上关系仅供参考，其中公式的分布及箭头流向的方式并不唯一，也不必完全画出，但所有公式中，起点一定是，其它的每一个公式都至少有一个指向它的箭头．
【设计意图】培养学生总结反思的学习习惯，促使学生对3个课时推导出的所有公式进行简单回顾梳理，并感悟公式作为所有公式推导的起源具有特殊意义．
3.典型例题
例5已知求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．
【预设的答案】.
【设计意图】向学生渗透分析问题的常规方法，即分析化简已知条件，明确待求目标，寻找办法拉近二者之间的距离．加强理解“倍”是描述两个数量之间关系的，是的二倍，是的二倍，是的二倍，这里蕴含着换元思想．
例2 在△ABC中，cos A=，tan B=2，求tan(2A+2B)的值．
【预设的答案】
【设计意图】此题具有一定的综合性，也是和角公式与倍角公式的综合应用问题．由于对2A+2B与A，B的之间关系的看法不同会产生不同的解题思路．不过，它们都是对倍角、和角关系的联合运用，本质上没有区别．此外，在三角形的背景下研究问题，常常伴随着一些隐含条件，如0＜A＜π，A+B+C=π等．凭借本题目，教师可抓住机会提醒学生对此类信息多加关注．
4.总结提升
问题4：结合例题的求解过程，请你思考，利用三角恒等变形公式解决求值问题时，我们应该重点关注其中哪些方面？
【活动预设】学生进行归纳、思考并回答．
【预设的答案】角的差异，三角函数名称等．
【设计意图】挖掘两道经典例题中蕴含的数学思想方法，总结运用三角恒等变形公式化简、求值、证明问题的思维过程和注意要点.进一步体会公式的灵活运用.
问题5：回顾本节课的内容，你能正确写出二倍角公式吗？你在认识和使用这些公式时有哪些心得体会？
【活动预设】学生进行归纳、思考并回答．
【预设的答案】公式中的二倍角和单倍角分别用与表示，但是使用公式时，它们也可以是与，与等，形式非常灵活；余弦二倍角公式有三种形式：，在使用它们的时候，需要结合题目特征进行选择；我们在解决三角恒等变换问题的时候，往往要从角度差异、函数名称差异、代数式结构差异等方面对已知条件和待求结论寻找差异，然后再根据这些差异选择适当的公式进行变形求解．
【设计意图】回顾反思，使学生在头脑中形成思维网络．5.8三角恒等变换复习课
一、教学目标
1.能够熟练运用两角之差及两角之和的正余弦、正切公式解决问题；
2.掌握辅助角公式的应用；
3.能够解决三角函数的图像与性质有关的综合应用问题。
二、教学重难点
三角公式的逆用，与辅助角公式相关的三角函数综合问题
三、教学过程
1.课前热身，复习巩固
请求解下列式子
1.的值为__________
解析：
2.
解析：
3.=_____
解析：
4. _______
解析：
5._________.
解析：
6.____
解析：
2.知识网络、自主建构
活动：以接龙的形式依次回答，并请学生总结公式之间的区别与联系
；；
；；
；；
；
==；。
辅助角公式:
，
活动：带领学生快速回顾公式，弄清两角差的余弦公式是本章基础，通过逻辑推理可以得到其余八个公式，画出公式间的关系图，让学生明白本章三角恒等变换就是基于这九个公式的变换、推理。
【设计意图】弄清书本的知识体系，公式之间的联系，让学生对本章有个宏观把握。
活动：让学生思考如何利用上述数公式证明
【设计意图】在学生恒等变换公式中半角公式的灵活处理，体会降角升幂的方法，为后面的例题3做知识铺垫。
3.典例再现 、方法提炼
例1：已知，，求的值
解析：
变式1：已知，求，的值
，
活动：先由学生独立思考，再由老师引导学生发现角之间的关系，找到解决问题的突破口，最后由老师展示解答过程，强调解题的关键点。
【设计意图】在给值求值中，当已知角有两个时，先找所求角与已知角的关系，切记盲目展开，提炼“凑角”的方法，属于对角的变换。
变式2：已知，则的值为多少？
(
①
②
)
(
①
+
②
)
活动：先由学生独立思考，再由学生讲解如何解决问题
【设计意图】巩固“化归”的思想，让学生自己体会“凑角”的应用。在给值求值中，当已知角有为一个时，应看作一个整体，用整体换元这种方法会带来意想不到的方便。
例2：设，，，比较大小关系
解析：
因为，所以
活动：先由学生对完成该题，小组之间可以互相讨论。
【设计意图】考察学生对辅助角公式与变换公式综合应用，其中要用到辅助角公式进行“同一变换”，易于求解三角函数的最值、周期性、单调区间。
例3：如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？
(
8
A
E D
B C
)
，要使得W最小，只需让最小即可
，
活动：学生审题，尝试解决问，教师引导学生知道集合关系、列式、利用基本不等式解决问题。让学生发散思维，尝试更多的解题方法。强调含正弦、余弦分式结构中倍角公式的应用。、
【设计意图】能够由题目条件提取信息，列出等量关系式；将问题分解，利用三角相关知识解决集合中的最值问题。
4.课堂小结、经验升华
活动：先由学生分组交流，再请同学总结陈述小组交流的结果，最后老师展示对本章知识汇总的树图。
(
整体换元
整体换元
)
【设计意图】小结一方面是让学生感受到在知识、方法和数学思想上的收获，另一方面也让学生学会学习中的一个重要环节——小结。
