4.1.1 n次方根与分数指数幂
一、教学目标
1. 理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；
2. 正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3. 培养学生观察分析、抽象的能力，感受从特殊到一般的思想，提高数学运算能力，体会数学的理性精神和美学意义.
二、教学重难点
1. 根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
2. 根式概念和分数指数幂概念的理解
三、教学过程
1.概念的形成
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……观察细胞分裂的过程，1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是什么？
同学们观察细胞分裂的过程，得到细胞分裂次数与相应细胞个数的关系：.
【设计意图】创设细胞分裂的数学情境，这样的导入贴近学生的实际生活，引起学生极大的兴趣.用这一实例，借助于实际意义让学生感受“求指数幂”的问题是自然、清楚、明白的.
【问题情境】在上面问题中只能取正整数，而对于式子，取负数整数或零也有意义，那么能否取分数呢？
【设计意图】引发学生思考，讨论，指数能否进一步推广到分数指数幂，引出课题.
1.2探究典例，形成概念
问题1：（1）16的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？（2）-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？（3）如果 ，，，参照上面的说法，这里的分别叫什么名称？
活动：让学生计算，并思考讨论，进行总结归纳.
【预设的答案】；-3；是的立方根，是的4次方根，是的5次方根.
【活动预设】感受在求平方根、立方根，判断个数的过程中，立方根可以直接写出结果，平方根有两个，同学们容易漏掉负的平方根.
【设计意图】让学生计算，类比平方根、立方根的概念，引导学生归纳得出4次方根、5次方根，为引入次方根的概念做铺垫.
教师讲授：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中.
【设计意图】推广到一般情形，理解次方根所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成次方根概念.
活动：求值：（1）-8的立方根=___（2）16的4次方根= ___ （3）32的5次方根=____ （4）-32的5次方根=___ （5）0的7次方根= ____ （6）的立方根=____
【预设的答案】.
【活动预设】学生在求次方根的过程，大部分可以快速正确写出结果，有的却不好表示.
【设计意图】通过变式训练，巩固次方根的概念，让学生体验从抽象再到具体的思想.
问题2：（1）一般地，当n为奇数时，实数的次方根存在吗？有几个？如关于的方程 ， 分别有解吗？(2)一般地，当为偶数时，实数的次方根存在吗？有几个？如关于的方程 ，分别有解吗？有几个解？
【预设的答案】(1)当为奇数时,实数的次方根存在,方程有一个解；(2) 当为偶数时,当，方程有两个解；当，方程有一个解；当,方程无解.
【设计意图】引入次方根概念后，进一步让学生思考次方根的有解问题，引导学生用分类讨论的思想解决问题，为引入根式符号表示次方根做铺垫.
教师讲授：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
读法：的次方根；次根号下；开次方.
【设计意图】形成根式的概念，同学们熟练根式的三种读法.
问题3：(1);;. 观察思考，你能得到什么结论？
(2);;..观察思考，你能得到什么结论？
【预设的答案】当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，的次方根用符号表示. 当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，记为.负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0.
【设计意图】通过探究活动，思考交流，让学生发现规律，总结归纳的次方根的性质.让学生体会分类讨论的数学思想,类比立方根的情况，得到奇次方根的性质，类比平方根，得到偶次方根的性质.
问题4：分别等于什么？
【预设的答案】2，-2,2
【设计意图】学生计算思考，根式的概念源于方根的概念，根据次方根的意义就能得到常用的等式
问题4：表示的=一等成立吗？如果不成立，那么等于什么？计算，，，，，你能得出什么结论呢？
【预设的答案】5，-9,25，，
【设计意图】=是否对任意的正整数都成立，是不能由次方根的意义直接得出的，因此安排一个探究活动，在具体的教学活动中，可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳得出结论：当
当，
问题5：观察下列式子的变形:
你能得出什么结论？
【设计意图】让学生观察式子，思考回答，总结一般结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
问题6：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？
正确吗？
【设计意图】引发学生思考，为引入正分数指数幂做铺垫.
教师讲授：规定正分数指数幂的意义，即
例如. 那么
因为
规定正分数指数幂的意义，即
注：0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂也同样适用，如下：
【设计意图】形成分数指数幂的概念，并使指数的范围从整数推广到了有理数；给出了有理数指数幂的运算性质.
2.初步应用，理解概念
例1．求下列各式的值
（1）（2）（3）（4）
【预设的答案】,
【设计意图】通过练习，的次方根的性质的应用.
例2．化简
,
【设计意图】进一步的次方根的性质的应用，区分两个公式.
例3．求值.
, ,
【预设的答案】4,,
例4．用分数指数幂的形式表示下列各式.
,
【预设的答案】,
【设计意图】通过一些具体的根式与分数指数幂的互化，巩固、加深对概念的理解.
3.归纳小结，文化渗透
【设计意图】梳理本节课的知识点.4.2.2指数函数的图象和性质
一、教学目标
1.类比研究幂函数性质的过程和方法，通过指数函数图象得出其性质；
2.利用指数函数的图象研究指数函数的性质，并用所得性质进一步理解指数函数的图象；
3.通过信息技术手段更好地理解指数函数的图象和性质。
二、教学重难点
1.教学重点：指数函数的图象和性质
2.教学难点：指数函数性质的理解
三、教学过程
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
1分钟 （一）复习概念，导入新课 问题1：上节课我们学习了一个新的函数——指数函数，你能复述一下指数函数的概念和指数函数解析式的特征么？ 问题2：类比研究幂函数性质的过程和方法，如何研究指数函数的性质？研究指数函数的性质主要研究哪些方面？ 师生活动：教师提出问题，引导学生复习指数函数的概念，指数函数解析式的特征，指数函数的定义域．学生类比幂函数的学习经验，引出本节课的主题：指数函数的图象和性质，以及研究指数函数的图象和性质的方法． 类比已有的学习经验是一个好方法，引导学生回忆幂函数的学习过程，可知对于具体的函数，我们一般按照“概念—图象—性质”的过程进行研究．前面我们学习了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质．我们先从具体的指数函数入手． 设计意图：通过类比已有的研究函数图象和性质的内容和方法，提出研究指数函数的图象和性质的研究内容和研究方法．首先先画出指数函数的图象，再借助图象研究指数函数的性质．
17分钟 （二）绘制图象，自主探究 问题3：我们先从简单的函数入手．请同学们画出指数函数的图象．观察函数的图象，分析函数的性质． 师生活动：从简单的函数入手，教师引导学生分析函数的性质，包括定义域，值域，奇偶性，单调性．由概念知定义域为R，根据指数运算，分析值域为，进而分析出函数的图象应该都在x轴上方．通过特殊点的分析，得出函数不具有奇偶性．单调性需要借助图象研究．学生在列表时，分析x的取值，要兼顾正值和负值，在性质指导下画出函数的图象． 问题4：请同学们画出指数函数的图象，观察函数的图象. 师生活动：教师布置任务，学生自己选择方法作图，观察图象，探究函数的性质． 问题5：你是如何画出函数的图象？描点法还是利用对称性？请讲出选择的理由． 师生活动：教师询问学生作图的方法，学生反馈自己用的是描点法还是利用了函数之间的对称性．因为，点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数图象上任意一点关于y轴的对称点都在函数的图象上，反之亦然．根据这种对称性，可以利用函数的图象，画出的图象．并将此结论推广：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，所以利用这种对称性，可以由一个函数的图象得到另一个函数的图象． 设计意图：根据函数的解析式先初步分析函数的性质，再选择合适的点，利用描点法画出函数的图象，然后由图象概括出函数的性质，这是我们研究具体函数的过程．让学生观察两个具体的指数函数的图象，对指数函数的图象和性质有一个初步的认知．学生在作图的过程中得出结论：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．根据这种对称性，我们将指数函数的图象按底数的取值，分作和两种类型进行研究．让学生学会用联系的观点看待问题． 问题6：我们将指数函数的图象按底数的取值，分作和两种类型进行研究．为了得到指数函数的性质，我们还需要画出更多的具体的指数函数的图象进行观察． 问题7：画出指数函数和的图象，分析它们的性质．画出指数函数和的图象，分析它们的性质． 师生活动：学生动手操作，观察分析，师生共同评价． 教师指导学生先研究底数的情况，可追问学生在的范围内是否还需要进一步分类，为什么？引导学生还是要从具体的指数函数进行研究．学生画出指数函数和的图象，教师借助几何画板呈现多个函数的图象．观察图象，师生共同总结出图象的直观性质；当时，底数越大越靠近y轴，而当，底数越小越靠近y轴，故底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称。 设计意图：再研究了和这一对函数之后，再研究具有类似对称关系的其他几对函数，概括它们的共同特征．通过选取底数（＞0，且≠1）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象得出结论． 问题8：如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a,b,c,d与1、0的大小关系是 设计意图： 利用刚刚师生总结的结论来解决实际问题，并通过几何画板验证结论的真实性。
10分钟 （三）观察归纳，概括性质 同学们再次观察图象，分析它们的性质，并将它们跟函数的图象进行对比，寻找它们的共性，概括（）的值域和性质．观察函数和的图象，寻找它们的共性，概括（）的值域和性质． 问题9：观察以上这些图象的位置、公共点和变化趋势，你能寻找它们的共性？ 师生活动：学生合作学习，探究性质，师生互动总结． 教师将以上函数的图象放置于同一直角坐标系内，引导学生以小组为单位，观察函数的图象，归纳指数函数的性质，寻找共性． （1）这些函数的图象都过点． （2）函数的定义域都是，值域都是． （3）当时，函数图象均呈下降趋势，即函数为减函数；当时，函数图象均呈上升趋势，即函数为增函数． 问题10：这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们得到的性质是否推广到一般的指数函数的性质？ 师生活动：依靠信息技术，教师根据指数函数的解析式直接作图，并对指数函数（＞0，且≠1）中的底数进行任意取值，追踪函数图象的变化．学生通过观察大量指数函数的图象，归纳的函数的性质． 设计意图：画出几个特殊函数的图象，观察这几个函数的图象来讨论函数的性质．这会带来一系列问题：为什么这几个函数的图象就可以代表一般的指数函数的图象？由此得到的性质是否可靠？为什么要把底数分为和两类？利用信息技术，作图更加方便，学生能够通过大量的函数图象看到其共性，实现 “由特殊到一般”的归纳过程，了解指数函数的性质． 问题10：请同学们归纳概括指数函数的性质，并完成下表． 师生活动：学生从几何和代数两个角度描述函数的性质，将函数的图像特征转化为函数性质，展示其发现的指数函数的性质，师生共同归纳整理函数的性质，完成下表并生成记忆口诀：左右无限上青天，永与横轴不沾边，大一增小一减，定在（0，1）不动弹，由学生课后补上标题，增加趣味性。 设计意图：教师指导学生根据图象归纳概括函数的性质．学生根据函数的图象，归纳其范围、公共点、增减性等共性，概括指数函数的定义域、值域、特殊点和单调性和函数值变化情况．在这个过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”．
10分钟 （四）知识应用 例题：比较下列各题中两个值的大小： （1）（2）（3）（4） 归纳小结： 当同底数并明确底数a与1的大小关系时，直接用函数的单调性来解； 当同底数但不明确底数a与1的大小关系时，要分情况讨论； 当底数不同不能直接比较时，可借助中间数（如1或0等），间接比较两个指数的大小。 巩固练习：比较下列各组值中各个值的大小： （1） （2） （3） 设计意图：学生经历例题——总结——练习的过程，讲练结合，可以更好地理解和解决此类问题。
1分钟 （五）课堂小结 课堂小结：教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题． （1）在本节课，你学习了哪些知识？ （2）总结研究指数函数性质的一般步骤 （3）本节课用到了哪些思想方法和核心素养？ 设计意图：引导学生从知识内容和研究的思想方法核心素养两个方面对本节课进行小结．
1分钟 （六）作业布置 课后作业：教材119页习题4.2的第三题和第六题. 作业拓展：1. 函数的图象必经过点__________ 解不等式 设计意图：分层作业，激发学生的学习兴趣4.3.2对数的运算
教学目标
1.理解对数的运算性质，培养学生利用定义解决问题的能力和数学抽象素养.
2.通过换底公式的推导，培养学生的逻辑推理能力；能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.运用运算性质进行简单的化简、求值与证明，借此培养学生的运算素养.
二、教学重难点
重点：理解对数运算的性质，换底公式；
难点：灵活应用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
三、教学过程
（一）复习回顾
1.对数的意义：（1）指数幂运算的逆运算.
（2）指数式与对数式互化及相关概念：
2.对数的性质:（1）真数大于零，即负数和零没有对数；
（2）, ；
（3）,
【设计意图】温故知新，通过对上节对数概念及指对数互化，为对数运算性质的推导做准备。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养.
（二）知识准备
指数的运算性质：，，．
【设计意图】通过对指数运算性质的回顾，类比推导对数运算性质，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养.
（三）问题探究
问题1：根据对数定义，结合运算性质你可以做怎样的运算处理？
【探究】两边取对数：= m+n
设，，于是有．
= M+ N------口诀：积的对数等于对数的和（让学生总结归纳）
【设计意图】通过让学生编口诀加深对性质的理解和记忆，为下一步奠定基础.
问题2：类比结论，猜想可以得到什么结论？尝试证明.
【探究】------口诀：商的对数等于对数的差
问题3：可以得到什么结论？
【探究】由----口诀：真数的指数变系数（让学生总结归纳）
【设计意图】通过问题探究培养学生数学思维品质和习惯，深化对指对关系的理解和互化的应用，进一步提高学生分析问题、理解问题和解决问题的能力；通过让学生编口诀加深对性质的记忆.
【得到结论】对数的运算性质：
如果，且时，M>0，N>0，那么：
（1）；（积的对数等于两对数的和）
（2）；（商的对数等于两对数的差）
（3）；（）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）
（四）例题解析
【设计意图】通过简单的计算求值让学生学会直接用性质解决问题.
【跟踪训练】1.log5＋log53等于________；2.lg －2lg ＋lg 等于_________.
【设计意图】通过简单的计算求值让学生学会逆向使用性质解决问题，灵活掌握公式的应用.
概念思辨
【设计意图】强调性质使用的前提条件，特别是对数中真数大于零是个易错点；正确使用性质.
例2、用lnx, lny, lnz表示ln.
【跟踪训练】2.用表示下列各式:
【设计意图】熟练使用性质解决问题，并为引入换底公式做好铺垫.
（五）问题情景
【情景再现】在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 2 的值.现在能否求解？怎么办？
数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数和自然对数表，通过查表即可求出任意正数的常用对数和自然对数.
【设计意图】首尾呼应，解决开篇实际问题，引出本节的难点，探索解决方法.
【探究】由2得1.11x=2两边取以e为底的对数得：ln1.11 x= ln2
根据性质（3）得：xln1.11= ln2，∴x=，即log1.112 =
利用计算器得：ln2≈0.6931，ln1.11≈0.1044，∴log1.112 = ≈≈6.64 ≈7
由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍，
类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数。
问题2：尝试用logca、logcb表示logab（a、b、c>0，a 、c≠1）？
【探究】设logab=x，则ax=b，两边取以e为底的对数得：logcax=logcb
根据性质（3）得：xlogca=logcb，∴x=，即logab=
【设计意图】通过数学背景和实际应用让学生理解换底公式的必要性，提高学生学习和研究的兴趣，培养学生积极主动研究问题的能动性和能力.
【得到结论】2.对数换底公式：
思考：logab换成以a为底的结果是什么？
【设计意图】学以致用，使用换底公式推导出对数运算中的另一个比较常见的性质，让学生体会自己推导公式的成就感.
（六）例题解析
例3、利用对数的换底公式化简下列各式
【设计意图】学以致用，会用换底公式进行化简求值，此题训练学生对式子结构的认识和分析，取适当的底数.发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养.
例4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）
【设计意图】通过此理让学生感受到数学来源于生活应用于生活，培养学生的数学建模的核心素养.
（七）课堂总结
1.对数的运算性质及应用；2.换底公式的证明及应用.
【设计意图】学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点.
（八）课堂检测
1．计算：log153－log62＋log155－log63＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
2．计算log92·log43＝( )
A．4 B．2 C. D.
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝( )
A. B. C．ab D．a＋b
4．log816＝________.
5．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8； (2)log2＋log212－log242－1.4.4.2对数函数的图象和性质
一、教学目标
1.能借助描点法、计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点等性质；
2.利用反函数的概念，引导学生类比指数函数的图象探究对数函数的图象及性质，进一步完善对数函数的性质。
3.体会对数函数的性质在具体的生活和数学情境中的作用，能利用对数函数的性质解决一些简单的应用问题，感受数形结合、分类讨论的数学思想和方法，渗透逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养.
二、教学重难点
1.重点：对数函数的图象和性质。
2.难点：对数函数性质的探究和归纳，对数函数与指数函数的联系。
三、教学过程
1.对数函数的图象与性质探究
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】在化学中，溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH= -lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。例如，在我国规定纯净水ph值只要在6.5-8.5之间即是合格产品。如果水的ph值过低则会有腐蚀作用，而ph值过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的ph值都是控制在6.5-8.5之间。又如，人体的胃酸中氢离子的浓度大约为[H+]=2.5×10-2摩尔/升。
问题1：（1）已知某品牌的纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，则它的pH是多少？它是合格产品吗？人体的胃酸pH又是多少（可用计算器）？
【预设的答案】7；是；1.60
（2）请同学们猜想：随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？想要知道溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间有什么样的变化关系，需要研究什么呢？ （提示：若记溶液酸碱度为y，氢离子浓度为x，写出y关于x的函数解析式）
【预设的答案】越强；变化关系为y= —lgx，则需要研究对数函数y=lgx的单调性.
【设计意图】将对数函数性质的学习与生活实际和学生的生活经验、化学学习经验结合起来，同时也复习对数运算和对数函数的概念，充分调动学生学习的积极性，从而自然地引入对数函数的图象与性质的研究问题。
问题2：要研究一个函数的性质，我们已经有了哪些经验？
【活动预设】引导学生回顾幂函数、指数函数等基本初等函数的研究过程：确定要通过作出对数函数的图象来研究其性质的研究方法，同时要注意分类讨论思想的应用。
1.2探究图象，归纳性质
活动1：作出函数的图象
【活动预设】有的学生采用描点法，有的学生采用计算工具直接作图。
【活动意图】引导全体学生回顾描点法作图的基本方法和步骤，也肯定学生采用信息技术工具作图研究。
活动2：在同一坐标系中作出函数的图象。你有什么发现？
【活动预设】有的学生继续采用描点法或计算工具作图并观察两个函数图象的对称关系，有的学生先观察了与的关于x轴对称的性质再来作图。
【活动意图】让学习活动的发生更符合学生自然的认知规律。动手和观察能力较强的学生可以先观察图象获得“函数与的关于x轴对称”的结论，然后利用这个结论，通过思考体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象。逻辑思维能力较强的学生可以先将函数化简为，通过点的对称性来推理获得函数图象的对称性，再作图。殊途同归，目的是让学生学习用联系的观点看问题，通过逻辑推理获得数学结论。这样思考便于将对数函数的图象分为两类来归纳，学生在指数函数中有过类似的研究，可以自然地理解。
活动3：类似地，你还能作出哪些对数函数的图象？试着观察归纳它们的性质。
【活动预设】
（1）学生小组合作大量举例，改变对数函数中底数a的值（a＞0且不等于1），在此环节中，少部分小组会继续采用描点法（包括采用对称性），较多小组会考虑采用计算工具来进行观察。
（2）观察归纳：观察作出的函数图象，进行文字语言的描述后再将图象特征转化为函数特征，完成表格。
问题3：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？
【预设的答案】
【设计意图】鼓励学生分析不同作图方式的效率，鼓励学生采用计算工具作图来观察图象变化规律，而且这样探究a的取值自然，所作函数的图象也是自然产生的，利用信息技术能便捷地作出大量图象，易于进行归纳，体验将文字语言转化为数学语言的一般过程。
小结：利用描点法、对称关系的推理及信息技术工具，我们都可以作出对数函数的图象，从而归纳出对数函数的性质。
教师讲授：反函数的概念
上一节课，在利用碳14同位素法推断出恐龙蛋化石的年代的例子中，我们可以将指数函数等价转化为对数式，这是一个对数函数，且与对数函数为同一个函数。不难发现，交换了x与y的位置后，和这两个函数的定义域和值域正好互换，称这样的两个函数互为反函数。
练习：写出y=log2x的反函数，说明理由. 你能举出更多的例子吗？
【设计意图】用实例加深学生对反函数的理解，明确同底的指数函数与对数函数互为反函数,为下面作图研究性质作铺垫.
活动4：画出两组反函数的图象，并观察寻找它们之间的对称关系
【设计意图】用实例加深学生对反函数的理解，明确同底的指数函数与对数函数互为反函数，且它们的图象关于直线y=x对称。
问题4：据此你能说说如何画出y=lgx的图象吗？作的图象呢？你对对数函数的图象与性质有什么补充和更进一步的认识？
【预设的答案】先作出的图象，再将其关于直线y=x对称翻折；先作出的图象，再将其关于直线y=x对称翻折。通过指对函数的对称关系，我们可以将指数函数中的结论一一类比到对数函数中来，如，当底数a>1时，同底的指、对函数都单调递增，当底数0
【设计意图】利用同底指数函数与对数函数之间的对称关系作图，加深知识之间的内在联系，加强利用逻辑推理的方法来获取数学结论，是对对数函数性质的进一步理解与补充。
2. 例题解析,学以致用
例1溶液酸碱度是通过pH计量的.随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？对数函数y=-lgx(x＞0)的单调性如何？
【预设的答案】y=lgx是底数大于1的对数函数，在定义域上单调递增，因此随着x（氢离子浓度）的增大，函数y=-lgx值减小，即溶液的pH值减小，酸性越强。
【设计意图】
（1）回归实际情境，让学生体会学以致用的快乐
（2）用对数函数的单调性来解释学生已经有的化学学习经验，加强学科间的融合。
例2 比较下列各组数中两个值的大小:
(1) lg3.4 与 lg8.5 (2) log0.31.8 与 log0.32.7
(3) log0.40.5 与 1 (4) ln0.5 与 0
(5) log45 与 log63 (6) log0.20.5 与 log40.3
(7) loga5 与 loga3
【预设的答案】（1）＜;（2）＞;（3）＞;（4）＜;（5）＞;（6）＞;
（7）分类讨论：当a>1时，loga5 ＞ loga3；0【设计意图】
（1）利用对数函数的单调性比较同底对数的大小,加深对数函数性质的理解；当底数用字母来表示时，注意分类讨论思想的应用；
（2）对数与整数比大小或不同底对数比较大小，需要化为同底对数或者是借助中间量来比较大小，渗透了化归与转化的数学思想，同时也是对对数函数的图象与性质的灵活运用。
3.归纳小结，拓展探究
思考：（1）对数函数有哪些性质？结合图象说明。
（2）我们可以通过哪些方式来探究对数函数的图象及性质？
（3）在探究对数函数的图像及性质的过程中，我们应用了哪些数学思想与方法？你还想探究关于对数函数的哪些问题？
【设计意图】
（1）梳理本节课对于对数函数图象及性质的认知；
（2）进行探究过程的反思和数学思想方法、核心素养的渗透，鼓励学生进一步观察归纳类比拓展。
四、课外作业
1、课本P135，练习2、3
2、拓展探究：阅读课本P135的探究与发现，并思考其中的问题。类比指数函数，你能研究一下对数函数的图象随底数大小的变化规律吗？跟同学分享你的研究方法和结论，并利用信息技术验证你的结论。
3、查阅资料，了解更多关于对数函数图形及性质的实际应用。4.5.2用二分法求方程的近似解
教学目标
1.探索用二分法求方程近似解的思路.
2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.
3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
4.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
二、教学重难点
重点：利用二分法求方程的近似解；
难点：利用二分法求方程的近似解．
三、教学过程
1.二分法的形成
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子.
如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.
每查一次，可以把待查的线段缩减一半.
问题1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？
【预设的答案】取中间、减半等。
问题2：如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？
【预设的答案】 6
【设计意图】通过实例让学生初步接触二分法，了解二分法的一般步骤，让学生感知“生活处处是数学”。
1.2探究典例，形成概念
活动：能否求出方程lnx＋2x－6=0的近似解？
【活动预设】让学生自由发言，教师不做判断。引导学生进一步观察，研探。
【设计意图】为引入二分法及一般步骤做铺垫.
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2. 75)f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=lnx＋2x－6零点的近似值，也就是方程lnx＋2x－6=0近似值。
2、教师讲授
2.1二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2.2初步应用，理解概念
题型一: 二分法概念的理解
【例1】下列函数中不能用二分法求零点的是( )
【答案】B
【训练】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
【答案】D
【设计意图】
理解二分法的适用条件，且不是所有零点都可以用二分法估计。
【归纳总结】
用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.
第二步，求区间(a，b)的中点c.
第三步，计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．
题型二: 用二分法求方程的近似解
【例2】借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）
【设计意图】
让学生规范应用二分法的步骤解决问题。
【训练】用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).
解：经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.
取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b)的中点 中点函数值符号
(1，1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25，1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0
(1.312 5，1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0
(1.312 5，1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)>0
(1.312 5，1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)<0
因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.
2.3.归纳小结
1、二分法的定义
2、给定精确度ε，用二分法求函数零点的近似值的步骤。
【设计意图】
（1）梳理本节课对于二分法的认知；
（2）进一步让学生熟悉二分法、掌握二分法的一般步骤 .
四、课外作业
1．已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．下列函数图象均与轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．
6．在用二分法求函数f (x)的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为_____．
7．方程在上的近似解为___________(精确到0.01)
8．若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数的取值是__________．
答案：1．C 2．C 3．B 4．C
5． 6．0.7 7． 8．44.5.3函数模型的应用
一、教学目标
1. 能够认识数学模型的含义，利用已知的函数模型解决实际问题；
2.体会求解模型的过程，初步体验数学建模的基本步骤，能够正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异；
3.感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建模核心素养.
二、教学重难点
重点：利用已知的函数模型解决实际问题.
难点：对于碳14半衰期及衰减率的理解及验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合.
三、教学过程
1.情境引入
1.1创设情境，引发思考
例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型： ，其中t表示经过的时间， 表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.
（2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿
2.例题讲解
2.1问题串引导，体会建模过程
问题1：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，要确定其中的哪些量？
【预设答案】人口初始量及年平均增长率．
追问1：我国自1950年起的人口增长模型中人口初始量是多少？
【预设答案】依题意是1950年末的人口总数55196万．
追问2：如果1950年为初始年记作，1959年是经过了几年，？
【预设答案】1959年是经过了9年，．
追问３：如何计算1950年－1959年的年平均增长率？
【预设答案】根据已知得，，，利用人口增长模型可以求出年平均增长率．
解：（1）设1950年至1959年我国各年人口增长率为，由，
由计算工具得我国1950年至1959年期间人口增长率 ．
已知，则我国1950年至1959年期间人口增长模型为
．
【设计意图】数学建模是为了解决实际问题，在2021年全国第七次人口普查的背景下借助人口增长这一实例，让学生感受“数学建模”是非常具有现实意义的，有科学价值.
问题2：所得模型与实际人口数据是否相符？
【预设答案】利用我们确定的人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数相比较，检验所得模型与实际人口数据是否相符．
解：首先我们利用人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再查阅国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数列出下表，相比较知所得模型与实际人口数据基本相符．
年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
计算所得人口总数／万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753
人口数/万 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994
【教师活动】我们也可以画出函数的图象，并根据国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数数据画出散点图，通过函数图象观察所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合．
【教师活动】教师通过计算机工具呈现函数图象与实际人口数据散点图．
【设计意图】引导学生验证模型，体会数学建模的思维过程.
问题3：如果利用所得模型计算，那么大约在哪一年我国人口数达到13亿？
【预设答案】将代入，得
即
由计算工具得 ．
那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国人口达到13亿．
问题4：事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿，对由函数模型所得结果与实际状况不符，你有何看法？
【预设答案】因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大的矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此，这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，所以得到的结果与实际不符的情况．
【教师活动】在人口红利出现拐点，老龄化加速的背景下我国逐步放开了二胎政策，有兴趣的同学可以继续关注国家统计局网站中有关人口数据，探究我国人口变化的规律．
【设计意图】使学生明确使用已知模型的前提条件，并正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异.
问题5：根据上述例题建模过程，总结数学建模的过程步骤？
【预设答案】提出问题、建模、求解、检验.
【设计意图】引导学生经历数学建模的完整过程步骤.
3.巩固练习，实际应用
例4 2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
问题1：我们可以建立怎样的数学模型来推断良渚古城水利系统中水坝的建成年代？
【预设活动】学生回答，教师补充（寻找死亡生物体内碳14残留量与时间的关系）
【设计意图】引导学生自主探究，培养学生解决问题的能力.
问题2：根据课本P115的阅读与思考，了解碳14年代推测模型，你能选出合适的函数模型吗？
【预设活动】
学生：可以选择指数模型.
教师：若设死亡生物体内碳14的初始含量为，年衰减率为，生物死亡的年数为，死亡生物体内碳14含量为，则与间有何种对应关系？
学生：（教师各变量范围）
【设计意图】从课本中的拓展材料出发，提高学生解决问题的兴趣与好奇心.
问题3：如果利用这一对应关系由碳14的残留量推断此水坝建成的大概年代，需要确定哪个参数？
【预设答案】需要确定和
教师：如何求解年衰减率
学生：用半衰期求解，阅读材料中已知碳14半衰期为5730年，代入函数关系式求解.
解：由，解得，即.
问题4：利用模型推断此水坝大概是什么年代建成的？
【预设活动】学生代入条件解决问题，教师在一边指导，最后，请学生将他的解答过程通过黑板或者多媒体展示给大家.
解：由已知检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，得
即 ，解得，
由计算工具得 ．
因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此大坝是公元前2902年建成的．
【设计意图】在探究的基础上，遵循严谨的科学原则，巩固建模的思维过程和求解步骤.
4.归纳小结
问题1：在本节课中，我们主要研究了哪些函数模型？它们可以帮助我们解决怎样的实际问题？给定函数模型，如何根据实际数据确定模型中的参数？利用具体的函数模型分析和解决实际问题时需要注意些什么？
【预设答案】本节课主要学习了马尔萨斯人口增长模型和碳14年代推测模型，它们分别在人口增长以及考古研究中有重要的应用.当给定函数模型时，要正确理解所给函数模型中变量的实际意义，结合条件得到方程，并利用信息技术求出参数的值.利用具体的函数模型分析和解决实际问题时，需要注意其适用条件.
【教师活动】通过本节课的学习，我们体会到函数在描述客观世界中变量关系和规律的作用，在面临实际问题时应该选择合适的函数模型刻画规律.
问题2：回顾数学建模的过程和步骤？
【预设答案】提出问题、建模、求解、检验.
【设计意图】
（1）梳理本节课对于数学建模的认知；
（2）回顾本节课所学内容，感悟函数在实际生活中的应用价值.
四、课后作业
课本P150 T1&T3
【设计意图】考察学生本节课的掌握情况，巩固数学建模过程和步骤.