2.2.1等式性质与不等式性质
一、教学目标
1. 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系；
2. 灵活掌握作差法比较两实数的大小, 提高数学运算能力；
3. 通过具体情景, 构建不等式，初步了解数学建模的思想.
二、教学重难点
1. 将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；
2. 在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小.
三、教学过程
1.用不等式（组）表示不等关系
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了圆满的成功.我们知道,它的飞行速度()不小于第一宇宙速度(记作),且小于第二宇宙速度(记作).
问题1：你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？
（1）某路段限速40km/h;（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％,蛋白质的含量p应不少于2.3％；（3）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
【预设的答案】0 ＜v 40;;设△ABC的三条边为a，b，c，则 a + b ＞ c ，a – b ＜ c ;设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE.
【设计意图】不等式和不等式组不是凭空产生的，用这些生活实例所蕴含的不等关系抽象出不等式，让学生感受“不等式和不等式组”来简化表达.
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元
【活动预设】
（1）第一步：审题找出题中数量关系；
（2）第二步：根据数量关系构建不等式或者不等式（组）.
【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.
问题3：如何比较两个实数的大小关系？你能比较与的大小关系吗？
【活动预设】
（1）化简题设中的代数式，观察结构，利用作差法比大小；
（2）总结：实数大小的基本事实.
教师讲授：如果a-b是正数，那么a＞b; 如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是负数，那么a＜b.反过来也对. 比较大小常用方法: 作差比较法 由于-=2>0，
所以>.
【设计意图】在探究实数大小的基本事实的基础上，总结比较大小的常用方法“作差比大小”.
1.2探究典例，理性分析
典例1：用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？
[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值
【活动预设】感受在列不等式的过程中，变量的范围的重要性及不可缺少性.
【设计意图】为加强不等式或不等式(组)中变量范围的限制.
典例2：已知＞1，比较－1与2－2x的大小．
[变条件]将本例中“x＞1”改为“x∈R”，比较－1与2－2x的大小？
【活动预设】感受利用作差法比大小的过程中，变量的范围的重要性.
【设计意图】为给学生贯彻分类讨论的数学思想.
教师讲授：比较两个实数(代数式)大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
1.3具体感知，加强练习
活动：观察2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标.
注:实际上这个图称为“弦图”,三国时期吴国的数学家赵爽,用来证明勾股定理.
【活动要求】
第一组每一排学生讨论在这个图案中含有怎样的几何图形；
第二组相应排学生找出图案中的相等关系；
第三组相应排学生找出图案中的不等关系.
【活动预设】得出当a>0,b>0时，，引导学生思考“当a,b为任意实数时，上式仍成立”的合理性.
【设计意图】
在实践活动中进行认识, 在得出不等关系后，遵循从特殊到一般的思路，从外延的角度加深概念的理解，为基本不等式作铺.
2.初步应用，理解概念
例1 比较大小：与的大小关系；
【预设的答案】
【设计意图】
进行简单的比较大小运算，熟悉作差法.
例2 已知 试比较与的大小；
【预设的答案】
【设计意图】
（1）利用作差法概念以及变形方法,加深对作差法比大小的理解；
（2）从这个例题中归纳概括出变形的方法：有理化.
例3 已知则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【预设的答案】D
【设计意图】
在解题中加深对作差法中对差进行变形的灵活运用.
例4 已知 , 证明：
【预设的答案】即
即
综上，
【设计意图】让学生掌握证明不等式的方法及书写格式
3.归纳小结
实际问题 不等关系不等式 不等式性质
数学抽象 两个实数大小
关系的基本事实
(作差法)
思考：对于，应该怎样正确读，规范写，它的含义是什么？
【设计意图】
（1）梳理本节课对于对数的认知；
（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习对数的必要性 .2.2基本不等式
一、教学目标
1.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养
熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题，通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．
2. 会用基本不等式求解实际应用题．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
二、教学重难点
1. 熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)
2. 会用基本不等式求解实际应用题．(难点)
三、教学过程
1.复习回顾
已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
1.1问题探究，引发思考
例：（1）用篱笆围一个面积为 100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积时多少？
追问（1）：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本问题中的两个问题属于那两类问题吗？
【师生活动】学生思考后回答：属于。第（1）题可以转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短，实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值的问题。第（2）题可以转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大，实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值的问题。
追问（2）：第1课时中的例2给出了用基本不等式解决问题的数学模型：
（I）如果正数x、y的积xy等于定值p，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值2.；
（II）如果正数x、y的和 x＋y等于定值 S，那么当x＝y时，和x＋y取得最大值
怎样把本题转化为为基本不等式的数学模型求解？
【师生活动】学生思考后回答：第（1）题可以转化为数学模型（I）求解，第（2）题可以转化为数学模型（II）求解。
学生进一步回答解答过程，教师予以规范，并板书。
【设计意图】本例是典型而较简单的能够用基本不等式求解的问题。通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解决问题，进一步发展学生的模型思想。
1.2初步应用，理解概念
例：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800m3，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
【师生活动】学生独立阅读题目，理解题意，教师提出问题：
（1）水池的总造价由什么来确定？（由池底的边长确定）
（2）如何求水池的总造价？（设贮水池池底的相邻两条边的变成分别为，，水池的总造价为 元，则）
（3）此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？（本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少，可以转化为数学模型（I）解决）
【设计意图】本题的背景更加复杂，需引导学生简化问题，再用基本不等式模型求解。本例在上述问题的基础上，进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力，提升他们的数学建模素养。
1.3.归纳小结
教师引导学生回顾本单元的内容，并回答下面的问题：
（1）什么是基本不等式？如何推导得到基本不等式？
（2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上解释？
（3）基本不等式的使用条件是什么？如何利用基本不等式解决最值问题？需要注意什么？
（4）本节课有哪些数学思想方法？
【设计意图】引导学生回顾总结本节课的学习内容和学习方法。在小结中，要注意引导学生体会研究一个特殊代数对象的一般过程
四、课外作业
1、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m。当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【设计意图】考察学生利用基本不等式的模型解决实际问题的能力。2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式
一、教学目标
1.从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。
2.从函数观点看一元二次不等式。经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
二、教学重难点
1.判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集。
三、教学过程
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容,理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。
1.一元二次不等式的概念
1.1创设情境，引发思考
二次函数与一元二次方程、不等式
在初中,我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元次不等式,发现了三者之间的内在联系,利用这种联系可以更好地解决相关问题对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有这样的联系呢
问题1：【数学情境】园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m,围成的矩形区域的面积要大于,则这个矩形的边长为多少米？
【设计意图】通过实际问题，让学生感受“求不等式”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.同时引发学生思考.
1.2探究典例，形成概念
问题2：【数学情境】在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元二次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
【活动预设】通过图象解决不等式求解问题，分析二次函数与一元二次函数不等式之间的关系
【设计意图】从引例中的具体问题入手，树立学生数形结合的数学思想，为推广一元二次不等式求解做准备。
教师的讲授：
下面，我们先考察一元二次不等式与二次函数之间的关系.
(
（图
2.3-1
）
)如图2.3-1，在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，图象与x轴的有两个交点.我们知道，这两个交点的横坐标就是方程的两个实数根，因此二次函数与x轴的两个交点是（2,0）和（10，0）.
一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点.于是，二次函数的两个零点就是.从图2.3-1可以看出，二次函数的两个零点将x轴分成三段.相应地，当x＜2或x＞10时，函数图像位于x轴上方，此时y＞0，即；当2＜x＜10时，函数图像位于x轴下方，此时y＜0，即.所以，一元二次不等式的解集是
因为，因此当围成的矩形的一条边长x满足2＜x＜10，围成的矩形区域的面积大于.
问题3：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式的解集吗？
【设计意图】从实例推广到一元二次不等式的一般解法，引导学生从图象的角度加深对一元二次不等式的理解，为下一个环节作铺垫.
教师的讲授：
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集
我们知道，对于一元二次方程，设，它的根按照可分为三种情况.相应地，二次函数（a＞0）的图象与x轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式的解集（表2.3-1）
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1问题4：一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？
【活动预设】根据图表给出的信息追问，让学生关联一元二次不等式和一元二次函数的相关知识，关注他们之间的关系。
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．
【设计意图】数形结合，让学生从数和形两个角度深刻地理解一元二次不等式和一元二次函数之间的关系。
3.具体感知，理性分析
问题5：【数学情境】
求不等式的解集.
(2)求不等式的解集.
【活动预设】根据图象不同交点情况分析此时一元二次不等式的解集
【设计意图】通过实例具体分析感知一元二次不等式的解题思路，让学生也规范求解一元二次不等式的书写.
【预设的答案】（1） （2）
问题6：【数学情境】对于二次项系数是负数的不等式，该怎样求解呢？
【活动预设】求下列不等式的解集：
(1)－2x2＋x－6<0；
(2)－x2＋6x－9≥0；
(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.
因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．
观察图象可得，原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，
根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}．
(学生)反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤
(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．
(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．
(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．
(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．
【设计意图】让学生通过实际分析二次项系数为负数和时的情况，为结尾用框图总结三类情况作铺垫
问题7 ：含参数的不等式问题如何求解？
解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
学生：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小．
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)．
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x【设计意图】通过含参数不等式的求解，进一步拓展学生的解一元二次不等式的严谨性训练，体会数学的分类讨论思想。
问题8：如果已经知道不等式的解集，反过来求不等式是什么怎么办？
已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2学生：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可知＝－5，＝6.
由a<0知c<0，＝－，
故不等式cx2＋bx＋a<0，
即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，
解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
【设计意图】逆向思考问题，已知不等式的解集求一元二次不等式，提升学生的思考问题的能力。
四、课外作业
P53页练习
1．知识清单：
(1)一元二次不等式的概念．
(2)二次函数的零点．
(3)二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．2.3二次函数与一元二次方程、不等式复习课
一、教学目标
1.通过二次函数图像性质与一元二次方程及不等式的关系的复习，巩固数形结合的思想方法.
2.通过实际问题的解决，发展学生数学建模，数学抽象的核心素养.
二、教学重难点
1.二次函数的图像及其性质.以及二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟悉三个二次的相互转化和应用.
2.数学结合的思想方法与数学抽象的核心素养的培养.
三、教学过程
1.知识点回顾
1.1熟悉二次函数的解析式的三种形式，尤其要熟悉配方
一般式：
顶点式：，顶点坐标
两点式：当时，，
1.2二次函数与一元二次方程，不等式的解的对应关系
的图像
的根 有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实数根
的解集 R
的解集
2.典例回顾：
（1）求方程的解，并分别求不等式与的解集.
解析：梳理二次函数，方程的根，不等式的解集的关系.
解：方程可以化为：即得
从而也可以得到二次函数的示意图，或者得到二次函数的示意图：
求的解集，就是求二次函数在时的自变量的集合，易得：
不等式的解集为：
同理：不等式的解集为：
方法总结：二次函数的图像与x轴的交点横坐标就是对应的一元二次方程的根，而相应不等式可以根据函数值的正负来确定x的取值范围，二次函数是主干，一元二次方程和不等式就像它的两翼.
（2）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个，为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？
解：设这批削笔器每一个的销售价格为（），
则每天销售量为
设销售收入为，
当时，得，
，又
所以.
答：这批削笔器的销售价格应该定在.
方法总结：设未知数，根据题意写出函数，不等式，求解实际问题.以二次函数为例为建立数学模型解决实际问题的学习打下基础.
（3）当取何值时，一元不等式对一切实数都成立？
解：①若，则即对一切实数都成立.
②若，则二次函数的图像开口向上，函数值不可能恒为负数，对一切实数不可能恒成立.
③若，则二次函数的图像开口向下，函数值恒为负数时，函数图像和x轴无交点，即对一切实数恒成立时
即解得：.
综上所得：时，一元不等式对一切实数都成立.
方法总结：关于x的含参的不等式，要关注二次项系数是否为0，根据函数的图像性质对不等式恒成立问题分类讨论.
【活动预设】通过解题重新梳理二次函数与二次方程不等式的解的关系. 老师在教学中也可以指出二次函数的零点的概念，为后面的学习做铺垫.
【设计意图】巩固数形结合的解题方法. 在典例回顾（3）中提升学生的数学抽象思维能力.
3.反思提升：
二次函数和一元二次方程，不等式之间的关系密切，二次函数的图像和性质决定了对应的一元二次方程的根和不等式的解集.所以，二次函数的图像和性质成为重要的解题依据.那么除了上面回顾的典型例题，对于二次函数的应用，还有哪些主要的题型呢？
题型一、利用二次函数图像性质解函数值的范围问题.
例1.已知函数，当时，求函数值y组成的集合.
解：函数图像开口向上，对称轴方程为：，
当时，
当时，函数值y随着的增大而减小，时，
当时，函数值y随着的增大而增大，时，
函数值y组成的集合为：.
方法总结：确定的二次函数在确定的区间中的函数值变化问题，一看函数的开口方向，二看函数的对称轴，三看给定区间上的函数单调性.
变式1. 已知函数，当时，其中为常数，求函数值y组成的集合.
解：，对称轴为
①当时，函数在上递增.，
为所求.
②当时，即时，函数在上递减.，为所求.
③当时，即时，当时函数递减，当时函数递增.时，函数值，为与中的最大者.
当时，区间关于对称轴对称，，
为所求.
当时，，为所求
当时，，为所求
变式2. 已知函数，当时，求函数值y组成的集合.
变式3. 已知函数，当时，求函数值y组成的集合.
变式2函数在动，区间确定，需要讨论函数的对称轴和区间的位置关系，解法和变式1相似，变式3，函数和区间都在动，函数值取值范围又该如何分类讨论呢？请同学们课后完成解答.同学之间可以互相讨论交流.
方法总结：二次函数在给定的区间中的函数值变化问题，一看函数的开口方向，二看函数的对称轴，三看给定区间上的函数单调性.如果有参数，记得分类讨论.
【活动预设】通过定函数定区间，定函数动区间，动函数定区间，动函数动区间的二次函数值域问题求解，掌握如何利用图像性质解题.
【设计意图】巩固数形结合与分类讨论的思想方法.
题型二、一元二次方程根的分布问题
例2.若方程的两实根满足条件：一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求实数m的集合.
解：记，当时，
由于的图像开口向上，根据题意做出二次函数示意图.
所以，即解得：.
方法总结：由一元二次方程根的分布求参数的取值范围问题，可以转为二次函数图像与x轴的交点位置问题。通过二次函数的开口方向以及与x轴的交点位置，进行穿根作草图，写出不等关系式解题.
变式.（2007年广东卷理科数学第20题改编题）已知是实数，方程，在区间上有根，求的取值范围.
解析：令，当时，.
（1）当时，原方程化为，
（2）当时，
①若有一个根在区间上，有一个根在区间外，则：
得
②若有两个根（包括两相等根）在区间上，则
解得：或
综上可得的取值范围是：
【活动预设】引导学生将方程根的问题转化为函数图像与x轴的交点问题，为后面函数的零点的教学埋下伏笔.同时引导学生熟悉如何解不等式组.
【设计意图】巩固化归转化的思想方法.
题型三、可以转化为二次函数型的问题
例3.已知,求函数值y组成的集合.
解：，
令，则
，根据二次函数的图像知，时，t越大，y越小，
当时，当时
所以为所求.
方法总结：要善于观察函数的形式，形如型的函数，均可以通过换元转化为二次函数.从而利用二次函数的单调性求解.
【活动预设】学生根据对函数结构的认真观察，通过换元将其转化为二次函数的求值问题.给二次函数
【设计意图】巩固化归转化的思想方法.这个思想方法在解析几何最值问题的求解中有广泛的用途.
题型四、可以转化为均值不等式问题的二次型不等式问题.
例4.已知不等式对恒成立，求实数的取值范围.
解：分析，如果根据二次函数的图像性质解题，需要讨论对称轴和区间的关系，但是如果孤立参数，就可以将本题顺利转化为均值不等式恒成立问题.
解：已知对恒成立
即，在时恒成立，
时，（当且仅当时取等号）
所以.实数的取值范围为：.
方法总结：形如，，则可以转化为，再进一步求的范围.
变式1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围.
方法一：依题意：得图像开口向上，时，函数值均小于等于0
所以即解得：
（说明：如果用参变分离的方法，需要用到对勾函数的单调性，高一的学生还没有学到这些，可以提出来，为后面的学习埋下伏笔.）
变式2：已知不等式在上有解，求实数的取值范围.
解析：在上有解，
即，在上有解，
时，（当且仅当时取等号）
所以.实数的取值范围为：.
方法总结：
在不等式恒成立问题或者不等式有解问题中，如果孤立参数，会得到一个形如的不等式。通过题意求的最大值或者最小值.
若“”恒成立，则求的最小值；
若“”有解，则求的最大值.
【活动预设】引导学生将不等式恒成立问题或者有解问题，转化为对勾函数的取值范围问题.变式1需要用到函数的单调性，学生还没有学习函数的单调性，可以作为课后思考题，为函数的单调性的学习埋下伏笔.
【设计意图】巩固化归转化的思想方法.
4.课堂小结
（1）掌握了以二次函数图像为核心，解决一元二次方程的根与不等式问题.
（2）掌握了四种主要的题型.
题型一、利用二次函数图像性质解函数值的范围问题.
题型二、一元二次方程根的分布问题
题型三、可以转化为二次函数型的问题
题型四、可以转化为均值不等式问题的二次型不等式问题.
题型千变万变，学会分析问题，掌握核心知识点，就能以不变应万变.
课外作业布置
（1）若关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则实数a的取值范围是________．
（2）实数m为何值时，在内有两个不同的实根？
（3）已知函数在上有最大值4，求的值.
作业参考答案：
（1）解：x2＋x＋＋|a|＝0，即＋|a|＝－(x2＋x)，令y＝－(x2＋x)，分析可得，y≤，
若方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则必有＋|a|≤，而＋|a|≥，
当且仅当0≤a≤时，有＋|a|＝，当且仅当0≤a≤时，有＋|a|＝－(x2＋x)成立，x2＋x＋＋|a|＝0有实根，可得实数a的取值范围为.
（2）解：令，由题意得：
即解得：.
所以当时，在内有两个不同的实根.
（3）解：设，配方得：，
其图像的对称轴为直线，且，
当时，抛物线开口向上，所以函数的最大值为，
令，得；
当时，抛物线开口向下，所以函数的最大值为，
令，得.
综上可得：或者.