1.1集合的概念
一、教学目标
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
二、教学重难点
1.重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合.
2.难点：用描述法表示集合.
三、教学过程
1.元素和集合的含义
1.1创设情境，引发思考
【实际情境】人们在交流和讨论问题时往往会不自主地将问题限定在某个特定范围内。比如这家店最好吃的菜，今年新出的好听的歌曲，这场球的最有价值球员等.设想如果没有对问题的讨论范围做出限定，那么问题也就没有意义.
同样地，研究数学问题也要确定研究范围，这是分析和解决问题的基础.而今天要学习的集合就可以用来描述这个研究范围。
【设计意图】以实例为载体，让学生对集合语言的作用有初步的了解，明白学习集合语言的重要性，为进一步学习集合的概念做好准备.
【实际情境】在给出集合的概念之前，我们来看一组实例：（1）深圳市所有的区；（2）我们班所有的男同学；（3）图中所有的平行四边形；（4）110之间的所有偶数.
【设计意图】创设实际情境和数学情境，通过实例，让学生感受无论在实际生活还是数学学习中，确定问题范围都是必要的.同时通过观察实例的共性，引导学生独立地概括问题的共同特征.
问题1：以上几个问题的共同特征是什么？
【活动预设】引导学生归纳概括出问题的共同特征：问题有限定的讨论范围，同一问题中的研究对象具有共同特征.
【实际情境】观察以下这组实例，对比前面的实例，有哪些区别：（1）深圳市西边的区；（2）我们班所有长得高的男同学；（3）图中所有的颜色鲜艳的平行四边形；（4）110之间的小的偶数.
【设计意图】当前学生已经对集合的概念，即问题的研究范围有了初步的认识，需要进一步引导学生对集合的元素，即问题的研究对象也有初步的了解.通过观察和比较两组实例的差异，引导学生对集合的元素有初步的认识.
问题2：对比两组实例，它们之间有哪些相同点和不同点？
【活动预设】引导学生分析两组实例的不同特征，体会问题研究对象的确定性，集合概念的严谨性.
1.2探究典例，形成概念
活动1：通过观察和比较前面两组实例，引导学生概括出集合与元素的概念.最后给出标准的概念，并指出学生总结过程中的错误点.
【活动预设】感受研究范围的概念并用自己的语言进行归纳；感受两组实例中同一问题中不同研究对象的区别，哪些是确定的研究对象，哪些不是.
【设计意图】锻炼学生归纳总结数学概念的能力，数学抽象的能力，体会数学语言的严谨性.
问题3：根据集合的概念，两组实例中哪些是集合，集合中的元素有哪些？哪些不是集合，为什么？
【活动预设】
（1）第一组实例都是集合，指出集合中的元素；
（2）第二组实例都不是集合，指出这些不能构成集合的原因.
【设计意图】通过实例巩固学生对集合的概念的理解.
1.3具体感知，理性分析
活动2：提问同学自己举出一些生活中或者数学中的集合实例，找其他同学判断实例是否符合集合的概念.
【活动预设】分组讨论举出生活中或者数学学习中的集合实例，组内分析实例是否符合要求.讨论完毕后选择两到三组派代表讲出自己找到的实例，然后请其他组同学判断实例是否符合集合的概念.
【设计意图】继续加深学生对集合概念的理解，并且在理解的基础上加以运用.
2.元素、集合及其关系的表示
2.1探究典例，形成概念
问题4：第一组实例中集合与元素的关系是什么？
【设计意图】引导学生得到集合与元素的属于关系.
【活动预设】让学生自己阅读教材，熟记属于和不属于的数学符号，以及常用数集的符号.
【设计意图】让学生熟记集合、元素和属于关系的数学符号以及常用数集的表示方法.
3.集合的表示
3.1探究典例，形成概念
问题5：我们规定了一些常用的数集的表示方法，那么能否也用同样的方式表示所有集合呢？
【预设的答案】不能.
【设计意图】让学生体会无法规定所有集合的固定表示，集合需要统一的泛用的表示方法.
【活动预设】让学生自主阅读教材，结合例1理解集合表示方法的列举法.阅读完毕后找同学用列举法对本节课的集合实例（1）和（4）进行表示.
【预设的答案】（1）设深圳市所有的区组成的集合为A，则A={南山区，福田区，罗湖区，宝安区，光明区，龙岗区，龙华新区，盐田区，坪山新区，大鹏新区};（2）设110之间的所有偶数组成的集合为B，则B={2,4,6,8,10}.
【设计意图】理解并掌握集合的列举法表示方法.
问题6：我们能够用列举法表示110之间的所有偶数，那么如果是1100之间的所有偶数呢，如果是110000呢？
【设计意图】让学生体会列举法表示集合的局限性，以及需要更简单的方法来表示集合的必要性.
【活动预设】带领学生阅读教材并提炼用描述法表示集合，指出描述法的几个要点和易错点.之后让同学用描述法表示110000之间所有的整数的集合.
【预设的答案】设110000之间所有的整数组成的集合为A，则A=.
【设计意图】集合的描述法相对来说难度较大，要求更多，学生自主阅读比较困难，在老师的带领下学习更容易理解和掌握.同时及时对方法进行巩固训练，加深理解和记忆.
3.2 初步应用，理解概念
【活动预设】做教材例2，感受列举法和描述法在描述集合时的优点和缺点.
【设计意图】在解题中加深对两种集合表示方法的理解和掌握；通过实际运用感受不同表示方法的优劣势以及在什么情况下哪种方法更合适.
四、课外作业
1. P5书后练习
2. P5习题1.1 1,2,3,41.2集合间的基本关系
一、教学目标
1.理解集合之间的包含与相等的含义；
2. 能识别给定集合的子集，了解空集含义；
3. 能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养．
二、教学重难点
1. 教学重点：集合之间的包含与相等的含义；子集、真子集与空集的概念；集合的Venn图表示.
2.教学难点：集合基本关系的符号表述及识别，对空集的了解．
三、教学过程
1.概念的引入
上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题？用什么方法研究？
类比是数学逻辑思考的重要思维方法，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
关 系 特 殊 结 论
实数 0
集合
【设计意图】：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法，通过类比实数关系、特别是因数这样的关系，联想集合关系，提出要研究的问题．
观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？
(1) ；
(2)设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合；
(3)设
【设计意图】：教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括成数学定义，介绍子集、包含关系和相等关系．让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论．这是一个提升学生数学抽象素养的时机．
2.概念的建构
问题1：这几个例子中，集合A中元素与集合B中的元素有什么关系？试分别说明。
子集：一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：（或BA）读作：“A包含于B”（或B包含A）.
符号语言：对任意则AB
(
A
（
B
）
)
图形语言（Venn图） ：
说明：（1）当集合A不包含于集合B时记作AB；
（2）Venn图可以直观形象地表示集合间的关系，它的边界是封闭的，可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线。
（3）集合间关系表示可以用自然语言、符号语言、图形语言
问题2：（3）中集合B中元素与集合A中的元素有什么关系？与实数中的结论“若”相类比，在集合中，你能得出什么结论
相等：若，则中的元素是一样的，因此.
符号语言：
(
A
（
B
）
)图形语言：
问题3：（1）中集合B中元素与集合A中的元素有什么关系？
真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作：AB（或BA），读作：A真包含于B（或B真包含A）.
(
B
A A
)图形语言（Venn图） ：
符号语言：，存在元素 AB
有两种可能：①②AB
空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：。
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
问题4：能否说任何一个集合是它本身的子集，即 对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系
常用结论：
（1）（2）
问题5：思考下列问题.
符号“”与“”有什么区别？试举例说明.
3.概念的巩固应用
例1、 写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
【设计意图】：巩固子集和真子集的概念和性质，体会分类的原则和方法，为保证不重不漏，要按照一定顺序写出子集，比如可以根据子集中元素的个数分类．
例2、 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：
（1）A=｛1，2，3｝，B=｛x|x是8的约数｝；
（2）A=｛x|x是长方形｝，B=｛x|x是两条对角线相等的平行四边形｝．
【设计意图】：检验学生对子集概念的掌握情况，进一步明确判断两个集合之间关系的基本方法——定义法．
练习：
1．若｛1，2，3｝ A ｛1，2，3，4，5｝，则满足条件的集合A的个数为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【设计意图】：让学生理解集合的个数与元素的关系。
2．已知集合A=｛x|1≤x＜6｝，B=｛x|x+3≥4｝，则A与B的关系是（ ）．
A．A B B．A=B C．B A D．B A
【答案】A
【设计意图】：检验学生对于子集的理解．
课堂检测：
1．集合A=｛x|(x-3)(x+2)=0｝，B=｛x|=0｝，则A与B的关系是（ ）．
A．A B B．A=B C．A B D．B A
【答案】D
【设计意图】：检验学生对集合和子集的理解．
2．已知集合A=｛x|-5＜x＜2｝，B=｛x|2a-3＜x＜a-2｝．
（1）若a=-1，试判断集合A，B之间是否存在子集关系；
（2）若A B，求实数a的取值范围．
【答案】（1）B是A的真子集．
（2）a≥-1．
【设计意图】：这题相对有一定难度，考察学生对于空集的理解，估计很多学生会忽略空集的情况，这也是今后学习时一个重要的考虑情况．
4.归纳总结、强化思想
（1）两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.
（2）了解子集与真子集的区别于联系，注意空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（3）涉及时，不要忘记讨论为空集的情况。
（4）类比方法，分类讨论与数形结合思想。
5.布置作业：教科书习题1.2第1，2，3，4．1.3集合的基本运算（第1课时）
一、教学目标
1.数学抽象：理解两个集合的并集与交集的含义；
2.数学运算：会求两个简单集合的并集与交集；
3.直观想象：能使用Venn图、数轴表示集合的关系及运算.
二、教学重难点
1.【重点】理解并集与交集的概念，求两个简单集合的并集与交集；
2.【难点】理解并集与交集的概念。
三、教学过程
1.创设情境，引发思考
问题1：请同学们观察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗
（1） A=｛1，3，5，7｝， B=｛2，4，6，7｝， C=｛1，2，3，4，5，6，7｝．
（2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝， C=｛x|x是实数｝．
【答案】集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的．
【设计意图】通过实例，让学生感知、了解并集的含义，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
1.2 新知初探
2.1.1并集的概念
【设计意图】用图形来表示并集，提高学生用数形结合法解决问题的能力。
回到问题1：请同学们观察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗
（1） A=｛1，3，5，7｝， B=｛2，4，6，7｝， C=｛1，2，3，4，5，6，7｝．
（2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝， C=｛x|x是实数｝．
【答案】因为集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的，所以集合C是集合A与B的并集．
【设计意图】学以致用，既巩固了新知，又提高了学生运用所学知识解决问题的意识和能力。
2.1.2对并集概念的理解
(1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成，公共元素只能算一次(元素的互异性)．
(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x B”；“x∈B，但x A”；“x∈A，且x∈B”．
【设计意图】加深学生对并集的理解。
问题2：已知A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.
【预设的答案】 A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}
【设计意图】让学生总结求简单集合并集的方法：元素全部拿过来，重复的只写一次。
2.2.1交集的概念
2.2.2对交集概念的理解
(1)运算结果：A∩B是一个集合．
(2)关键词“所有”：A∩B由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
(3) 情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
【设计意图】类比并集的概念，讲授交集的概念，加深学生对这两个概念的理解。
问题3：设M＝{0，1，2，3}，N＝{x|0【预设的答案】 M∩N＝{1,2}．
【设计意图】让学生总结求简单集合交集的方法：公共元素全部拿过来。
题型探索
例1：设集合A＝{x|-1【预设的答案】
A∪B＝{x|-1例2：(1)已知集合A＝{x|-1≤x≤2}，集合B＝{x|0≤x≤4}，求A∩B.
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为？
【预设的答案】
(1)在数轴上表示出集合A与B，如图：
则由交集的定义得，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2)集合A中元素要满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14,所以集合A∩B中元素的个数为2.
【设计意图】引导学生归纳总结求并集、交集的2种基本方法：
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可利用定义直接求解；
(2)数形结合法（数轴法）：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可借助数轴求解，此时要注意端点值的取舍．
例3：已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．
【预设的答案】
∵M∩N＝{3}，∴3∈M；∴a2－3a－1＝3，
即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.
但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．
∴a＝4.
【设计意图】让学生熟悉题型：由并集、交集求参数的值。
例4：设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．
【预设的答案】
如图所示，
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.
【设计意图】让学生熟悉题型：由并集、交集求参数的范围。
例5：已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．
【预设的答案】
∵A∪B＝A，∴B A.
①当B＝ 时，k＋1＞2k－1，∴k＜2.
②当B≠ ，根据数轴可得解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围为.
例5的变式：将例5中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A。
【预设的答案】
∵A∩B＝A，∴A B.
又A＝{x|－3＜x≤4}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，可知B≠ .
由数轴可知解得k∈ ，
即当A∩B＝A时，k不存在．
【设计意图】让学生熟悉题型：由并集、交集的性质求参数的范围。
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∩B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A A B，A∪B＝B A B等，解答时应灵活处理．
(2)当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝ 的情况，切不可漏掉．
(3)集合的交集、并集性质
A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A，
A∪A＝A，A∩A＝A，
A∪ ＝A，A∩ ＝ ，
A B A∪B＝B，A B A∩B＝A。
课堂小结
（1）两个定义：并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，
交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
（2）两种方法：定义法和数轴法；
（3）八个性质：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A，
A∪A＝A，A∩A＝A，
A∪ ＝A，A∩ ＝ ，
A B A∪B＝B，A B A∩B＝A。
【设计意图】从三个方面对本节课内容进行梳理，构建知识框架，形成知识体系.1.3集合的基本运算（第2课时）
一、教学目标
1.了解全集的含义及其符号表示，正确理解补集及补集符号的意义；
2.会求已知全集条件下集合A的补集，会用Venn图、数轴进行集合间的运算；
3.通过补集的运算培养数学运算素养，借助集合思想培养数学抽象素养。
二、教学重难点
1.【重点】补集及补集符号的意义，会求已知全集条件下集合A的补集。
2.【难点】会用Venn图、数轴进行集合间的运算。
三、教学过程
1.复习旧知，思考新知
【课前复习】上节课我们学习了集合的运算，从自然、符号和图形语言这三个方面对交集和并集的概念、运算和性质有了一定的了解。
【设计意图】通过对上节课知识的整合，让学生再次强化三种语言意识，为本节课学习新内容做思想铺垫，在学生已有的知识体系中更好的建立新知识的学习.
问题1：上课前，老师要判断本班的出勤情况。通过对全班进行迅速巡视，就可以立刻知道哪些同学没到。短短时间内，老师是如何做到的呢？
【活动预设】已知班级全体人员，确定了现有人员，即可确定缺席人员.
【设计意图】创设数学情境，通过与生活实际相联系，让学生感受在很多数学问题来自于生活，对接下来要学习的补集有更直观的理解.
2.新知初探，初试身手
2.1概念形成，加深认识
问题2：在数学上，我们把班级全体人员叫什么呢？
【活动预设】引导学生归纳概括出班级其实就是一个全集.
教师讲授1：
全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．全集通常记作U.
问题3：全集一定是实数集吗？你能列举出哪些全集？如何表示？
【活动预设】全集不一定是实数集，如刚刚的班级就是一个全集。还有前面所学过的R,Z,Q
等等.
【设计意图】对全集的概念进行一个分析，可以加深理解，同时对刚学过的知识进行复习.
教师讲授2：
补集：（1）文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA；
（2）符号语言： UA＝{x|x∈U，且x A}
（3）图形语言：
【设计意图】继续从学生熟悉的三种语言入手 ，对补集的概念进行讲述和理解.
2.2初试身手，总结方法
活动1：已知全集U={1,2,3,4,5,6}.
(1)A={2,3,6},则 UA＝;
(2) UB＝{2},则B＝ .
【预设的答案】（1）{1,4,5};(2）{1,3,4,5,6}
活动2： (1)若集合A＝{x|x>1}，则 RA＝________.
(2)若集合A＝{x|1(3)若集合A＝{x|x>3或x≤0}，则 RA＝________.
【预设的答案】（1）{x|x≤1}；（2）{x|x＞2或x≤1}；（3）{x|0＜x≤3}
【设计意图】通过此活动，让学生掌握求补集运算的方法，并进行归纳总结.
3.提型探索，例题补充
例题1：集合交、并、补的综合运算
设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2(1) RB (2) R(A∪B) (3) ( RA)∩B.
【预设的答案】
（1）{x|x≥10或x≤2}；（2）{x|x≥10或x≤2}；（3）{x|2＜x＜3或7≤x＜10}
【设计意图】与前面集合交集、并集的运算相结合，加强学生的运算能力。当遇到有限集合时，常常会采用列举法；当遇到连续且无限集合时，数轴表示会更加清晰.希望通过此活动学生可以掌握这种直观的思想，尤其注意在运算时，数轴端点值的取舍.
例题2：与补集有关参数值（范围）的求解
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【预设的答案】
法一(直接法)：
由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}．
【设计意图】将问题加深，引入对参数范围的求解，层层递进，让学生对交并补的运算能力有所提高和上升.
【一题多变】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【预设的答案】由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x<－m}，又( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.
【设计意图】通过一题多变，一可以对前面的学习进行巩固和练习，二可以促进学生的深度思考，发散他们的数学思维.
问题4：补集有哪些运算性质呢？你能否根据venn图进行总结？
【活动预设】对补集的性质进行直观总结，让学生理解记忆.
【设计意图】从Venn图入手，可以将性质进行直观总结，尤其是第（6）（7）条性质是解决参数问题的关键，为后面活动的探索做铺垫.
例题2：与补集有关参数值（范围）的求解
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【预设的答案】
法二(集合间的关系)：
由( UA)∩B＝ 可知B A，又B＝{x|－2结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2.
【设计意图】通过一题多解，发散学生思维.法一直接法进行计算意在加强学生的计算能力，法二性质法意在让学生掌握等价转化的数学思想方法，也是对补集性质的补充.在最后再次对此类题型进行总结，提示学生注意数轴分析法的边界.
5.课堂小结，完成学习
【设计意图】从四个方面对本节课内容进行梳理，构建知识框架，形成知识体系.
6.课后练习，达标反馈
1. (1)全集一定含有任何元素．( )
(2)集合 RA＝ QA.( )
(3)一个集合的补集一定含有元素．( )
2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则( UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则( RS)∪T等于( )
A．{x|－2一、教学目标
1.，并由此掌握充要条件，充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的概念。
2.在掌握基本概念的基础上，会判断命题之间是否为充分或者必要条件
3.通过学习，知道对条件的判定应该归结为判断命题的真假
二、教学重难点
1.掌握充分条件、必要条件的概念
2.判断命题之间是否为充分或者必要条件
三、教学过程
1.1通过判断熟悉的命题引入充分条件和必要条件
下列“若p,则q”形式的命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？
若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形
若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
若，则；
若、为整数，则为整数。
问题1：在上面的4个命题中，哪些命题是真命题？哪些是假命题？
教师讲授：一般地，“若p,则q”为真命题，记作p推出 q,，其中p是q的充分条件，q是p的必要条件。
“若，则”为真命题，是指由经过推理可以得出.数学讲究简洁美，用符号语言，记作.由于的成立可以使得成立，我们就称是的充分条件，同时称是的必要条件，如果为假命题则记为.
由定义可以得到，“充分条件”、“必要条件”是在“若，则”为真命题时，对命题中的与之间关系的一种描述.
充分的意思就是，充足、足够，有它就够；比如这个命题，如果乐乐是深圳人，那么乐乐是广东人。我们记乐乐是深圳人为p,乐乐为广东人为q，因为深圳市属于广东省，所以这个命题是真命题。通过乐乐是深圳人就足以推出乐乐是广东人，因此p是q的充分条件。
必要的含义是必须，必备，缺它不可。比如刚才这个命题中，如果缺少乐乐是广东人的前提，那么乐乐一定不是深圳人，也就是说乐乐是深圳人就一定不成立，所以乐乐是广东人是乐乐是深圳人的必要条件。
问题2：判断哪些命题中？判断哪些命题中是的必要条件
【预设的答案】
问题1：真命题：（1）、（2）、（4）；假命题：（3）；
问题2：（1）、（2）、（4）中是的充分条件；（1）、（2）、（4）中是的必要条件。
【设计意图】通过熟悉的命题引入充分条件、必要条件的概念。
1.2随堂巩固
在具体情境中充分条件与必要条件是否唯一呢？结合以下5个命题，请大家思考，四边形是平行四边形的充分条件是否唯一？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别平行；
（3）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
（4）若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；
（5）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分；
【设计意图】加深理解充分条件和必要条件的概念。
1.3整理归纳
若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
若，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
若，则是的充分必要条件，是的充分必要条件；
若，则是的既不充分也不要条件，是的既不充分也不要条件；
【设计意图】通过归纳使得学生掌握充要条件，充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的概念。
1.4探究典例，学会应用
①直接说出下列条件之间的关系：
若，则；
若，，则是的条件.
【预设的答案】（1）前者是后者的充分不必要条件，后者是前者的充分不必要条件;
前者是后者的充分不必要条件，后者是前者的必要不充分条件；（3）充分
②记,，你能用Venn图表示上述情况下合与的关系吗？
（1）若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
（2）若，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
【设计意图】通过Venn图的使用，加深学生对充要条件，充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的概念的掌握，提升学生的知识应用能力。1.4.2 充要条件
一、教学目标
1.掌握充要条件的定义；
2.会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件；
3.理解数学定义与充要条件的关系.
二、教学重难点
1.教学重点：充要条件的相关概念.
2.教学难点：充要条件与教学定义之间的关系的理解.
三、教学过程
1.复习回顾
问题1:我们初中学过的勾股定理内容是什么？
答1:设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.
勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.
在勾股定理中：“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的____充分___条件;
“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的____必要_____条件.
问题2:我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？
答2:设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.
勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2，那么ΔABC为直角三角形.
在勾股定理的逆定理中：“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的____必要___条件;
“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的____充分_____条件.
问题3:勾股定理及其逆定理有何关系？
答3:勾股定理及其逆定理的条件与结论相反.
【教师讲授】将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
【设计意图】通过勾股定理及其逆定理引出原命题与逆命题的概念.同时也为后面的充要条件的定义做好铺垫。
2.数学建构
思考1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．
答1:(1)和(4)原命题与逆命题都是真命题.
【教师讲授】如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有pq，又有qp ，就记作pq .
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
【设计意图】结合实例，让学生体会和理解原命题与逆命题之间的关系，并掌握充要条件的定义.
思考2：判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假.
答2:(2)原命题真，逆命题假，即，且；
(3) 原命题假，逆命题真，即，且；
3.归纳小结
【教师讲授】(1) 若，且，则称p是q的充分不必要条件；
若，且，则称p是q的必要不充分条件；
若，且，则称p是q的充要条件；
若，且，则称p是q的既不充分也不必要条件．
【设计意图】结合实例，初步认识充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件的定义.
4.知识应用
【例3】下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1) p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；
(2) p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；
(3) p:xy>0， q:x>0 ，y>0；
(4) p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0 (a ≠ 0)．
【设计意图】通过应用，加深学生对充要条件概念的理解，学会判断p是否为q的充要条件的基本方法.同时，还可以引导学生，结合前面的归纳小结，对p不是q的充要条件的题，具体分析出p与q的关系.
【探究】你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
答：由定义：“四边形的两组对边分别平行”
(1)“四边形的两组对角分别相等”；
(2)“四边形的两组对边分别相等”；
(3) “四边形的一组对边平行且相等”；
(4) “四边形的对角线互相平分”．
思考3：你能给出“三角形全等”或“三角形相似”的其他形式的定义吗？
【设计意图】先回顾平行四边形的定义，根据定义我们知道“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形”，并给出平行四边形的其他4个充要条件，这样让学生体会到每个充要条件都是平行四边形的一种定义形式，它们是从不同的角度刻画了平行四边形的概念。给出思考3让学生课后去研究，从而引发学生对充要条件与数学定义之间关系的更深入的思考.
【例4】已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.
【设计意图】本题为一道证明题，要证明p是q的充要条件.在证明前先要引导学生分析，充要条件需要从“充分性”和“必要性”两方面进行证明，同时还要引导学生发现本题中的描述与前面例子的区别与练习，即“q的充要条件是p”实际上就是说“p是q的充要条件”.另外，前例中侧重对充要条件的理解，考查学生是否掌握了判断充要条件的基本方法，而本题侧重证明，因此更注重数学知识本身的考查.
5.课堂小结
(1) 充要条件的定义
(2) 充要条件与数学定义的关系
【设计意图】通过2个问题，回顾总结本节课所学的知识.
当堂检测
完成课本22页的练习1,2,3.
1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；
(2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集．
2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
【设计意图】通过当堂检测，对本节课学生所学的知识进行检查，掌握学生的学习情况与教学效果.1．5．1全称量词与存在量词
一、教学目标
1．理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义．
2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．
二、教学重难点
1． 教学重点：理解全称量词和存在量词的意义；
全称量词命题和存在命题真假的判定．
2． 教学难点：全称量词命题和存在命题真假的判定．
三、教学过程
我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数,无法判断真假，因此它们不是命题． 但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．
1．全称量词和全称量词命题的概念
①概念的引入
下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？
（1）；
（2）是整数；
（3）对所有的，；
（4）对任意一个，是整数．
结论：由命题的定义出发，（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题．
分析（3）（4）分别用短语“对所有的”“对任意一个”对变量进行限定，从而使（3）（4）称为可以判断真假的语句．
②概念的形成
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示．
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
例如：
（1）对任意，是奇数；
（2）所有的正方形都是矩形．
常见的全称量词还有：“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等．
通常，将含有变量的语句用、、表示，变量的取值范围用表示．
全称量词命题“对中任意一个，有成立”．简记为：，
读作：任意属于，有成立．
③概念的巩固应用
例1判断下列全称量词命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2） ；
（3）对任意一个无理数，也是无理数．
（学生练习——个别回答——教师点评并板书）
点评：要判定全称量词命题的真假，需要对取值范围内的每个元素，证明是否成立，若成立，则全称量词命题是真命题，否则为假．
2．存在量词和存在量词命题的概念
①概念的引入
下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？
（1）；
（2）能被2和3整除；
（3）存在一个，使；
（4）至少有一个，能被2和3整除．
结论：由命题的定义出发，（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题
分析（3）（4）分别用短语“存在一个”“至少有一个”对变量进行限定，从而使（3）（4）称为可以判断真假的语句．
②概念的形成
短语“存在一个”、“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示．
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
例如：
（1）有的平行四边形是菱形；
（2）有一个素数不是奇数．
常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等．
存在量词命题“存在中的一个，使成立”．简记为：，
读作：存在一个属于，使成立．
③概念的巩固应用
例2 判断下列存在量词命题的真假．
（1）有一个实数，使；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形．
（学生回答——教师点评并板书）
点评：要判定存在量词命题是真命题，只需要在取值范围内找到一个元素，使成立即可．如果在中，使成立的元素不存在，则这个存在量词命题是假命题．
3．课堂练习
1．判断下列全称量词命题的真假．
（1）每个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）是无理数，是无理数．
2．判断下列存在量词命题的真假．
（1）存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数，使得为奇数；
（3）是无理数，是无理数．
3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
（1）存在实数使；
（2）有些菱形是正方形；
（3）正数的绝对值是它本身；
（4）若，则.
4．课堂小结
1．全称量词与全称量词命题，存在量词与存在量词命题的概念；
2．如何判定全称量词命题与存在量词命题的真假性．1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
一、教学目标
1.掌握全称量词命题与存在量词命题的否定的方法.
2.正确地判断否定命题真假性.
二、教学重难点
1. 教学重点：全称量词命题与存在量词命题的否定.
2. 教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假；以及它们的否定的真假.
三、教学过程
（一）导入新课
一个命题有真有假，对一个命题进行否定，就会得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.
问题1：我们如何对一个命题进行否定呢？一个命题和它的否定之间是什么关系呢？
【活动预设】
（1）“56是7的倍数”的否定是？
（2）“空集是集合A={1,2,3}的真子集”的否定是？
【设计意图】 师生活动：教师举例子，学生进行否定，并判断真假性及总结规律。让学生感受对命题进行否定的方法，以及一个命题和它的否定之间的一真一假的关系，为后面对全称量词命题和存在量词命题的否定作好铺垫.
（二）讲授新课
1.概念的形成
探究1：写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）.
否定形式：（1）存在一个矩形不是平行四边形；
（2）存在一个素数不是奇数；
（3）.
问题2：（1）这三个命题是什么类型的命题？它们的否定是什么类型的命题？
（2）如何对全称量词命题进行否定？
【预设的答案】（1）全称量词命题；存在量词命题；
（2）①将“所有的”“任意一个”等全称量词变为“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可；
②对于形如“”，它的否定为“并非”，即“”，其中“”表示“不成立”.
师生活动：学生根据自己回答问题的情况及相互间的讨论交流，确定全称量词命题的否定是存在量词命题，并逐层递进到归纳出具体的否定形式.
设计意图：通过问题和追问，使学生充分理解全称量词命题的否定形式，以探究的方式自己归纳，更需要通过交流把这个逻辑关系梳理清楚.
2.初步应用，理解概念
【例1】写出下列全称量词命题的否定：
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
（3）对任意，的个位数字不等于3.
【预设的答案】（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数；
（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；
（3）该命题的否定：，的个位数字等于3.
师生活动：学生回答问题，教师展示规范解答.
设计意图：使学生能熟练运用总结出的全称量词命题的否定形式解答问题，加深对其的理解.
3.概念的深化
探究2：写出下列命题的否定：
（1）存在一个实数的绝对值是正数；
（2）有些平行四边形是菱形；
（3）.
否定形式：（1）所有实数的绝对值都不是正数；
（2）每一个平行四边形都不是菱形；
（3）.
问题3：（1）这三个命题是什么类型的命题？它们的否定是什么类型的命题？
（2）如何对存在量词命题进行否定？
【预设的答案】（1）存在量词命题；全称量词命题；
（2）①将“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变为“不存在一个”“没有一个”等短语即可；
②对于形如“”，它的否定为“不存在”，即“”，其中“”表示“不成立”.
师生活动：学生根据自己回答问题的情况及相互间的讨论交流，确定存在量词命题的否定是全称量词命题，并逐层递进到归纳出具体的否定形式.
设计意图：通过问题和追问，使学生充分理解存在量词命题的否定形式，以探究的方式自己归纳，更需要通过交流把这个逻辑关系梳理清楚.
4.概念的巩固应用
例2.写出下列存在量词命题的否定.
（1）；
（2）有的三角形是等边三角形；
（3）有一个偶数是素数.
【预设的答案】（1）该命题的否定：；
（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形；
（3）该命题的否定：任何一个偶数都不是素数.
师生活动：学生回答问题，教师展示规范解答.
设计意图：使学生熟练运用总结出的存在量词命题的否定形式解答问题，加深对其的理解.
小结：的否定是：；
的否定是：；
问题4：（1）用自然语言描述的全称量词命题或存在量词命题的否定形式唯一吗？
答案: 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”；“有一个偶数是素数”，它的否定是“没有一个偶数是素数”，也可以是“所有的偶数都不是素数”
（2）对省略了量词的命题怎样否定？
答案: 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.反之，亦然.
例如：“正方形是平行四边形”，可写成：“所有的正方形都是平行四边形”，进行否定可写成：“存在一个正方形不是平行四边形”.
再例如：“正方形不都是平行四边形”，等价于：“有的（存在）正方形不是平行四边形”,
进行否定可写成：“所有的正方形都是平行四边形”.
例3. 写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）任意两个等边三角形都相似；
（2）.
【预设的答案】（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，他们不相似；假命题.
（2）该命题的否定：；真命题.
师生活动：学生回答问题，教师展示规范解答.
设计意图：通过练习巩固，熟练全称量词量词命题和存在量词的否定的写法，并能够判断命题的真假性.
（三）课堂练习
1.写出下列命题的否定：
（1） ；
（2）任意奇数的平方还是奇数；
（3）每个平行四边形都是中心对称图.
解：（1）该命题的否定: ；
（2）该命题的否定：存在一个奇数，它的平方不是奇数；
（3）该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形.
2.写出下列命题的否定：
（1）有些三角形是直角三角形；
（2）有些梯形是等腰梯形；
（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.
解：（1）该命题的否定：所有三角形都不是直角三角形；
（2）该命题的否定：所有梯形都不是等腰梯形；
（3）该命题的否定：所有实数的绝对值都是正数.
（四）课堂小结
总结：1.全称量词命题和存在量词命题的否定
命题 命题的否定
全称量词命题 存在量词命题
存在量词命题 全称量词命题
2.对省略了量词的命题可补上量词后进行否定.
