(共31张PPT)
集合与常用逻辑用语
第一章
1.1 集合的概念
课程标准 学科素养
1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 通过对集合概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”的核心素养.
课前自主预习
(1)元素：一般地，把______________统称为元素，常用小写的拉丁字母__________________表示．
(2)集合：把一些__________组成的总体叫做集合，简称________，常用大写拉丁字母__________________表示．
(3)集合相等：构成两个集合的元素是__________的．
(4)集合中元素的特性：____________、____________和无序性．
研究对象
知识点1 集合相关概念
a，b，c…
元素
集
A，B，C…
一样
确定性
互异性
[微思考]
(1)本班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)一个集合中可以有相同的元素吗？
提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．
(2)根据集合元素的互异性可知，集合中不能有相同的元素．
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a________A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a________A.
(2)数学中一些常用的数集及其记法
知识点2 元素与集合的关系及常用数集
∈
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ________ N*或N＋ ________ Q ________
N
Z
R
[微体验]
1．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．a A
C．a∈A D．a＝A
答案 C
答案 (1)∈ (2) (3)∈ (4) (5)∈
(1)把集合的所有元素______________出来，并用____________________括起来表示集合的方法叫做____________.
(2)一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为____________.
知识点3 集合的表示方法
一一列举
花括号“{}”
列举法
描述法
[微体验]
1．思考辨析
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．方程x2＝4的解集用列举法表示为( )
A．{(－2,2)} B．{－2,2}
C．{－2} D．{2}
答案 B
解析 由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．
3．集合A＝{x∈Z|－2＜x＜3}的元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 因为A＝{x∈Z|－2＜x＜3}，所以x的取值为－1，0,1,2，共4个．
考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地最美的乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2020年第32届奥运会所设比赛项目．
A．③④ B．②③④
C．②③ D．②④
课堂互动探究
探究一 集合的基本概念
答案 B
解析 ①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合．
[方法总结]
判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点
(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．
答案 B
解析 根据各数集的意义可知，①②正确，③④错误．
探究二 元素与集合之间的关系
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
答案 B
解析 集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B．
[方法总结]
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
[跟踪训练2] (1)已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1 A,2∈A，则
( )
A．a＞－4 B．a≤－2
C．－4＜a＜－2 D．－4＜a≤－2
答案 D
(2)设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1____D，(－1,1)____D.
解析 因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1 D，(－1,1)∈D.
答案 ∈
用列举法表示下列给定的集合．
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
探究三 列举法表示集合
[方法总结]
列举法表示集合的步骤
(1)分清元素：列举法表示集合，要分清是数集还是点集．
(2)书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏．
提醒：二元方程组的解集，函数的图象上的点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－1)}．
[跟踪训练3] 用列举法表示下列集合．
(1)由book中的字母组成的集合；
(2)方程(x－2)2＋|y＋1|＝0的解集．
用描述法表示下列集合．
(1)所有正偶数组成的集合；
(2)不等式3x－2＞4的解集；
(3)在平面直角坐标系中，第一、三象限内点的集合．
解 (1)正偶数都能被2整除，所以正偶数可以表示为x＝2n，(n∈N*)的形式．
于是这个集合可以表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)由3x－2＞4，得x＞2，故不等式的解集为{x|x＞2}．
(3)第一、三象限中的点(x，y)满足xy＞0，于是这个集合可以表示为{(x，y)|xy＞0}．
探究四 描述法表示集合
[变式探究] 若将本例(3)改为“坐标平面内坐标轴上的点组成的集合”，如何用描述法表示？
解 坐标平面内，x轴上的点纵坐标为0，横坐标为任意实数；y轴上的点横坐标为0，纵坐标为任意实数．故坐标轴上的点满足xy＝0.用集合表示为{(x，y)|xy＝0}．
[方法技巧]
描述法表示集合的步骤
(1)确定集合中元素的特征．
(2)给出其满足的性质．
(3)根据描述法的形式写出其满足的集合.
解 (1)列举法：{6,7,8}．
(2)描述法：{x|x≤2，且x≠0，x∈R}．
(3)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(4)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
1．集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合就确定了．这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
随堂本课小结
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a A.
3．在用列举法表示集合时应注意
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
4．在用描述法表示集合时应注意
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．(共20张PPT)
集合与常用逻辑用语
第一章
1.2 集合间的基本关系
课程标准 学科素养
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
2．在具体情境中，了解空集的含义．
3．能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 通过对集合间的基本关系的学习，提升“直观想象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
1．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用____________________的__________代表集合．
平面上封闭曲线
知识点1 子集、集合相等、真子集的概念
内部
2．子集、集合相等、真子集的概念
[微思考]
(1)任何两个集合之间是否有包含关系？
提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”与“ ”有何不同？
提示：符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“ ”表示集合与集合之间的关系．
(1)定义：不含__________元素的集合叫做空集，记为________.
(2)规定：空集是任何集合的__________.
知识点2 空集
任何
子集
[微体验]
1．思考辨析
(1)空集可以用表示．( )
(2)空集中只有元素0，而无其余元素．( )
答案 (1)× (2)×
2．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}
答案 B
解析 满足x＞8且x＜5的实数不存在，故{x|x＞8，且x＜5}＝ .]
知识点3 子集的性质
A A
[微体验]
设集合A＝{三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{等边三角形}，则A，B，C之间的真包含关系是__________．
课堂互动探究
探究一 集合关系的判断
答案 C
答案 D
解析 因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．
[方法总结]
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
[跟踪训练1] (1)已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是( )
A．M P B．P M
C．M＝P D．M，P互不包含
答案 D
解析 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含．
(2)判断下列每组中的两个集合的关系．
①A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜1}；
②集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}．
探究二 子集、真子集问题
[方法总结]
求集合子集、真子集个数的三个步骤
[跟踪训练2] 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．
解 ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有 ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
A的真子集有 ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．
已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A B，求实数a的值．
探究三 由集合间的包含关系求参数
[方法总结]
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为 的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
[跟踪训练3] 已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|2a－3＜x＜a－2}，且A B，求实数a的取值范围．(共24张PPT)
集合与常用逻辑用语
第一章
第一课时 并集、交集
1.3 集合的基本运算
课程标准 学科素养
1．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．
2．能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 通过对并集、交集的学习，提升“直观想象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
知识点1 并集
由所有属于集合A或属于集合B
A∪B
{x|x∈A，或x∈B}
B∪A
A
A
B A
[微体验]
1．集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,3,5,7}，则A∪B＝( )
A．{1,3} B．{1,2,3,4,5,7}
C．{5,7} D．{2,4,5,7}
答案 B
解析 集合A与B所有的元素是1,2,3,4,5,7，A∪B＝{1,2,3,4,5,7}．
2．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
答案 A
解析 因为A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}．
3．满足{1}∪B＝{1,2}的集合B的个数是______．
解析 由{1}∪B＝{1,2}，故B＝{2}，{1,2}，共2个．
答案 2
知识点2 交集
所有属于集合A且属于集合B的
A∩B
{x|x∈A，且x∈B}
B∩A
A
A B
[微体验]
1．若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝( )
A．{0，－1} B．{0}
C．{1} D．{1,1}
答案 C
解析 M∩N＝{－1,1}∩{－2,1,0}＝{1}．
2．集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1＜x≤3}，则A∩B＝( )
A．{x|x＞0} B．{x|x＞－1}
C．{x|－1＜x≤3} D．{x|0＜x≤3}
答案 D
解析 A∩B就是找出两个集合的公共元素，由数轴得A∩B＝{x|0＜x≤3}．
3．集合M＝{(x，y)|y＝2x＋1}，N＝{y|y＝x－1}，则M∩N＝( )
A．{－2} B．{(－2，－3)}
C． D．{－3}
答案 C
解析 集合M是点的集合，集合N是数的集合，两个集合没有公共元素，M∩N＝ .
(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )
A．{0} B．{0,2}
C．{－2,0} D．{－2,0,2}
答案 D
解析 M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}．
课堂互动探究
探究一 并集运算
(2)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝( )
A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5}
C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5}
答案 A
解析 在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
[方法总结]
求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集．
(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．
(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．
提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时只能算作一个．
[跟踪训练1] (1)设S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，若S∪T＝R，则实数a应满足( )
A．－3＜a＜－1 B．－3≤a≤－1
C．a≤－3或a＞－1 D．a＜－3或a＞－1
答案 A
(2)A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．
解 A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．
(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
答案 A
解析 A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2，}＝{0,2}．
探究二 交集运算
(2)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
答案 C
解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
(3)集合A＝{(x，y)|x＞0}，B＝{(x，y)|y＞0}，求A∩B并说明其几何意义．
解 A∩B＝{(x，y)|x＞0且y＞0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．
[方法总结]
求集合交集的思路
(1)识别集合：点集或数集．
(2)化简集合：明确集合中的元素．
(3)求交集：元素个数有限，利用定义或Venn图求解；连续数集，借助数轴求解．
[跟踪训练2] (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于
( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
答案 A
(2)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠ ，则a的取值范围是
( )
A．a＜2 B．a＞－2
C．a＞－1 D．－1＜a≤2
答案 C
解析 在数轴上表示出集合A，B，由图可知．若A∩B≠ ，则a＞－1.
(3)A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
解析 因为A∩B＝{3}，所以a＋2＝3或a2＋4＝3，且a＋2≠a2＋4.
解得a＝1或a2＝－1(舍)．所以a＝1.
答案 1
设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的值．
探究三 并集、交集性质的应用
[跟踪训练3] 若集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，求m的取值范围．
1．交集与并集的联系与区别
联系：交集和并集都是由两个集合的元素组成的一个新的集合．
区别：交集是由两个集合的所有公共元素组成的集合，而并集则是把两个集合的元素合并在一起，由合并后的所有元素所组成的集合．
随堂本课小结
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．(共19张PPT)
集合与常用逻辑用语
第一章
第二课时 补集及集合运算综合
1.3 集合的基本运算
课程标准 学科素养
1．在具体情境中，了解全集的含义．
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
3．体会图形对理解抽象概念的作用. 通过对补集概念的学习，提升“直观想象”“逻辑推理”“数学运算”的核心素养.
课前自主预习
全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的______________，那么就称这个集合为全集．记法：全集通常记作________.
[微思考]
全集一定是实数集R吗？
提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
所有元素
知识点1 全集
U
知识点2 补集
不属于集合A
UA
{x|x∈U，且x A}
[微体验]
1．思考辨析
(1)集合 RA＝ QA.( )
(2)一个集合的补集一定含有元素．( )
答案 (1)× (2)×
2．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，则 UA＝( )
A．{6,8} B．{5,7}
C．{1,3,5,7} D．{2,4,6,8}
答案 D
解析 因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，所以 UA＝{2,4,6,8}．
3．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则 UP等于( )
A．{x|0≤x＜1，或x＞1} B．{x|x＜1}
C．{x|x＜1或x＞1} D．{x|x＞1}
答案 A
解析 因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以 UP＝{x|x≥0，且x≠1}＝{x|0≤x＜1，或x＞1}．
4．已知全集为R，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}，则 RA＝________.
解析 如图所示，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}的补集是 RA＝{x|1≤x＜5}．
答案 {x|1≤x＜5}
已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}．求集合B.
解 方法一：∵A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又 UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
方法二：借助Venn图，如图所示：
由图可知B＝{2,3,5,7}．
课堂互动探究
探究一 补集运算
[方法总结]
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，直接套用定义或借助Venn图求解．
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
[跟踪训练1] 设U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}．求 UA， UB.
解 方法一：在集合U中，
∵x∈Z，∴x的值为－5，－4，－3,3,4,5.
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴ UA＝{－5，－4,3,4}，
UB＝{－5，－4,5}．
方法二：借助Venn图，如图所示：
则 UA＝{－5，－4,3,4}， UB＝{－5，－4,5}．
设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求 RB， R(A∪B)，( RA)∩B.
解 把集合A，B在数轴上表示如下：
由图知 RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
所以 R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．
因为 RA＝{x|x＜3，或x≥7}，
所以( RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．
探究二 集合的交、并、补综合运算
[方法总结]
1．求解与不等式有关集合问题的方法
解决与不等式有关的集合问题时，借助于数轴(这也是集合语言转化为图形语言的常用方法)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．
2．求解集合混合运算问题的一般顺序
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，然后再运算其他，如求( RA)∩B时，可先求出 RA，再求交集．
[跟踪训练2] 设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩( UN)＝{2,4}，则N＝( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
答案 B
解析 画出Venn图，阴影部分为M∩( UN)＝{2,4}，所以N＝{1,3,5}．
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且( UA)∩B＝ ，求实数m的取值范围．
解 由已知A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x＜－m}，
因为B＝{x|－2＜x＜4}，( UA)∩B＝ ，在数轴上表示如图
所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.
探究三 交、并、补运算的应用
[变式探究] 将典例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x＜－m}，又( UA)∩B≠ ，所以－m＞－2，解得m＜2.
[方法总结]
由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．
[跟踪训练3] 已知集合A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R.
(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)如果A RC，求a的取值范围．
解 (1)因为A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
所以A∪B＝{x|1≤x＜10}，( RA)∩B＝{x|x＜1，或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|7≤x＜10}．
(2)由题意知 RC＝{x|x≥a}，又A ( RC)，故a≤1.
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
随堂本课小结
(3) UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U；其次是定义 UA＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A，求A.(共16张PPT)
集合与常用逻辑用语
第一章
1.4.1 充分条件与必要条件
1.4 充分条件与必要条件
课程标准 学科素养
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．
2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解性质定理与充分条件的关系．
3．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 通过对充分条件与必要条件的学习，提升“逻辑推理”“数学抽象”的核心素养.
课前自主预习
知识点 充分条件与必要条件
充分
必要
(3)几点说明
①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是____________的．
②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__________条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个__________条件．
③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“____________”，即“若p，则q”是否为真命题．
不唯一
充分
必要
p q
[微体验]
1．思考辨析
(1)已知p q，则“若p，则q”是真命题．( )
(2)已知p q，则q的充分条件是p，p的必要条件是q.( )
(3)p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立”，但即使q成立，p也未必会成立．( )
(4)q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．“x＞0”是“x≠0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．以上答案均不正确
答案 A
解析 当x＞0时一定有x≠0；反之，若x≠0，则不一定有x＞0，故“x＞0”是“x≠0”的充分而不必要条件．
3．“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的________条件．(填“充分”或“必要”)
解析 若“a＞0，b＞0”则必有“ab＞0”；反之，若“ab＞0”，则不一定有“a＞0，b＞0”，故“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的充分条件．
答案 充分
4．“若p，则q”的逆命题为真，则p是q的________条件．(填“充分”或“必要”)
答案 必要
(1)已知p：x＞1，q：x＞2，则p是q的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．以上答案均不正确
答案 B
课堂互动探究
探究一 充分条件与必要条件的判断
(2)判断下列各题中p是q的什么条件．
①p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
②p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形．
解 ①由a2＋b2＝0，得a＝b＝0.从而可以推出a＋b＝0.而由a＋b＝0推不出a2＋b2＝0(如a＝1，b＝－1)，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．
②由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是矩形”．而由“四边形是矩形”可以推出“四边形的对角线相等”，所以p是q的必要不充分条件．
[方法总结]
充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：①如果命题“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．
②如果命题“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2或x＜－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．
探究二 充分条件、必要条件的应用
[变式探究] 本例若换为：是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的必要条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．
[方法总结]
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系，然后构建满足条件的不等式(组)，再进行求解．
[跟踪训练2] 已知p：－2≤x≤10；q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
1．判断充分、必要条件的方法
判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
随堂本课小结(共14张PPT)
集合与常用逻辑用语
第一章
1.4.2 充要条件
1.4 充分条件与必要条件
课前自主预习
1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有____________，又有____________，就记作____________，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为__________条件．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q__________________.
p q
知识点 充要条件
q p
p q
充要
互为充要条件
[微体验]
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 |x|＝|y| x＝y或x＝－y，x＝y |x|＝|y|.
2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______．
解析 因为p q，q r，所以p r，所以p是r的充要条件．
答案 充要条件
3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．
(1)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；
(2)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.
课堂互动探究
探究一 充要条件的判断
(2)a、b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 B．ab＞0
C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0
答案 D
解析 a2＋b2＞0，则a、b不同时为零；a、b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.
[方法总结]
判断充要条件的解题思路以及注意事项
(1)思路：
充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样．
(2)注意事项：
①在定义法中，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性；
②在推出法中，使用的是双向推出法，而不是单向推出法；
③在集合法中，判断的是两个集合互为子集，即判断两个集合相等．
[跟踪训练1] 下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为______．(填序号)
①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
②p：|x|＞3，q：x2＞9.
解析 ①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q p，故p q，
所以p是q的充要条件．
②由于p：|x|＞3 q：x2＞9，所以p是q的充要条件．
答案 ①②
已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
证明 先证必要性：因为a＋b＝1，
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0.
所以必要性成立．
再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
探究二 充要条件的证明
[方法总结]
充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论．
[跟踪训练2] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
1．充要条件的概念
既有p q，又有q p，就记作p q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系
(1)p是q的充分不必要条件
(2)p是q的必要不充分条件
(3)p是q的充分必要条件
(4)p是q的既不充分又不必要条件
随堂本课小结
3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A B证明了必要性，B A证明了充分性；“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性，B A证明了必要性．(共28张PPT)
集合与常用逻辑用语
第一章
1.5.1 全称量词与存在量词
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.5 全称量词与存在量词
课程标准 学科素养
1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．
2．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．
3．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 通过对全称量词与存在量词的学习，提升“数学抽象”“逻辑推理”的核心素养
课前自主预习
(1)短语“____________”“______________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
(2)将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：________________________.
所有的
知识点1 全称量词和全称量词命题
任意一个
x∈M，p(x)
[微体验]
1．思考辨析
(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )
(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( )
(3)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是全称量词命题．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．下列命题中，不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
答案 D
解析 A，B，C都是全称命题，D是特称命题．
(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
(2)存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：________________________.
知识点2 存在量词和存在量词命题
存在一个
至少有一个
x∈M，p(x)
[微体验]
1．思考辨析
(1)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )
(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( )
(3)命题“有的无理数的平方不是有理数”是存在量词命题．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
答案 C
解析 “有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．
(1)全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定全称量词命题为“ x∈M，p(x)”，则它的否定为“并非 x∈M，p(x)”，也就是“ x∈M，p(x)不成立”．通常，用符号“ p(x)”表示“p(x)不成立”．
(2)对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题： x∈M，p(x)，
它的否定： x∈M，________________.
也就是说，全称量词命题的否定是______________命题．
知识点3 全称量词命题和存在量词命题的否定
p(x)
存在量词
(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可．也就是说，假定存在量词命题为“ x∈M，p(x)”，则它的否定为“不存在x∈M，使p(x)成立”，也就是“ x∈M，p(x)不成立”．
(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M，________________.
也就是说，存在量词命题的否定是______________命题．
p(x)
全称量词
[微体验]
1．思考辨析
(1)命题 p的否定是p.( )
(2) x∈M，p(x)与 x∈M， p(x)的真假性相反．( )
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√
2．若命题p： x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题 p为( )
A． x＞0，x2－3x＋2≤0 B． x≤0，x2－3x＋2≤0
C． x＞0，x2－3x＋2≤0 D． x≤0，x2－3x＋2≤0
答案 C
解析 命题p是一个存在量词命题， p为： x＞0，x2－3x＋2≤0.
3．已知命题p： x＞2，x3－8＞0，那么 p是__________．
解析 命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，则 p： x＞2，x3－8≤0.
答案 x＞2，x3－8≤0
(1)下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的等差数列也是等比数列；
③三角形的内角和是180°.
A．0 B．1
C．2 D．3
课堂互动探究
探究一 全称量词命题和存在量词命题的判定
答案 C
解析 观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词．命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180° ”，故有两个全称命题．
(2)下列语句不是存在量词命题的是( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．存在x∈R,2x＋1是奇数
答案 C
解析 因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．
[方法总结]
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
(多选题)下面的命题中正确的是( )
A． x∈R，x2＋2＞0 B． x∈N，x4≥1
C． x∈Z，x3＜1 D． x∈Q，x2＝3
答案 AC
解析 对A，由于 x∈R，都有x2≥0，
因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0.
所以命题“ x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
对B，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．
所以命题“ x∈N，x4≥1”是假命题．
探究二 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
[方法总结]
全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧
(1)全称量词命题的真假判断
要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)存在量词命题的真假判断
要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
[跟踪训练2] 判断下列命题的真假．
(1) x∈{1,3,5},3x＋1是偶数；
(2) x∈R，x2－6x－5＝0；
(3) x∈R，x2－x＋1＝0；
(4) x∈R，|x＋1|＞0.
解 (1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,3×5＋1＝16，它们均为偶数，
∴该命题是真命题．
(2)∵方程x2－6x－5＝0中，Δ＝36＋20＝56＞0，
∴方程有两个不相等的实根．∴该命题是真命题．
(3)∵方程x2－x＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3＜0，
∴x2－x＋1＝0无实数解．∴该命题是假命题．
(4)∵x＝－1时，|－1＋1|＝0，∴该命题是假命题．
探究三 全称量词命题和存在量词命题的否定
[方法总结]
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题
(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称量词命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．
2．含有一个量词的命题的否定
(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．全称量词命题p： x∈M，p(x)； p： x∈M， p(x)．
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题．存在量词命题p： x∈M，p(x)； p： x∈M， p(x)．
随堂本课小结
